Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 48
Текст из файла (страница 48)
й;. Так как по утверждению 10е) подстановки йв1,..., йгв попарно независимы, то по утверждению 10 г): в .) ргв ~гв .) Теперь очевидно, что огс1д = [огс161,..., огс16г]. П Например, порядок подстановки (18) равен [5,2,2] = 10. 2. Другой способ представления подстановок в виде произведения циклов (уже зависимых) тесно связан со следующей классификацией подстановок, которую мы, для простоты изложения, введем сначала в 5„. 12...п'1 Определен ие33. Подстановкуд =... ) Е Я„наг1 гг .. г„ ) зывают четной, если перестановка (гг, гг,..., г„) четная, и нечетной— в противном случае. О п р е д е л е н и е 34.
Транспозициейв Я„называют любой цикл длины 2. Л е м м а 1. Если д,й Е Я„и й — транспозиция, то четности подстановок д и дЬ противоположны. 1 2 ... п П ПУсть д =... и й = (гу„ге) й с К. Тогда гд гг .. г„ Остается заметить, что перестановки (гг... г~... ге... г„) и (гг... г~ 1гегь+г... гггьге+1...
г„) различаются транспозицией и их четности противоположны. П Т е о р е м а 19. Всякая подстановка д Е Я„раскладывается в произведение транспозиций, причем в любом таком разложении число сомножителей четко, если подстановка д четка, и нечетно — в противном случае. П Если д = е, то д = (1, 2) (1, 2).
Если д = (аг,..., а~) — цикл, то д = (аг,..., аа) = (а1, аг) (аг, аз) .... (аг, аь). (21) Теперь первая часть теоремы следует из теоремы 17. Пусть д Е Я„и д = 1г 1г ... 1, — произведение зтранспозиций. Тогдад = е Фг 1г ... ~, т. е. д получается из четной подстановки е з-кратным умножением на транспозиции. Отсюда, применяя лемму 1, получаем: д — четная подстановка тогда и только тогда, когда число з четко.
П 274 275 С л е д с т в и е 1. Цикл длины й является четкой подстановкой тогда и только тогда, когда число й нечетно. П См. (21). П С л е д с т в и е 2 (теорема о декременте). Если подстановка д Е Я„ каким-либо способом представлена в виде произведения т циклов длин К1,...,К,„, то она четка тогда и только тогда, когда число К1+ ... ... +К вЂ” т четко. П Цикл длины 8, раскладывается в произведение 8; — 1 транспозиций (см. 21), поэтому д раскладывается в произведение К1 +...
+ 8 — т транспозиций. П Если в условиях следствия 2 циклы попарно независимы,то число К1 +... + К вЂ” т = с~(д) называют декрементом подстановки д. С л е д с т в и е 3. Совокупность А„всех четных подстановок из Я„есть подгруппа группы Я„индекса 2. П Если д, й Е А„, то по теореме каждая из подстановок д, й есть произведение четного числа транспозиций. Тогда и д6 — произведение четного числа транспозиций, т. е.
по теореме д6 е А„. Отсюда по следствию 1 утверждения 4 получаем: А„( Я„. Теперь заметим, что Я„~ А„= А„(1, 2), так как А„(1, 2) с Я„~ А„и (Я„~ А„) (1, 2) с А„. Следовательно, Я„= А„0 А„(1, 2) и ~Я„: А„~ = 2. П О п р е д е л е н и е 35. Подгруппу А„всех четных подстановок группы Я„называют знакопеременной группой степени п. Знакопеременная группа играет в теории групп подстановок, и вообще в теории групп, роль не менее важную, чем сама симметрическая группа.
Она очень часто встречается в приложениях. П р и м е р 28. Если М вЂ” тетраэдр, то Р(М) = А4. Действительно, Р(М) ( 54 и по следствию 2 теоремы 16 ~Р(М) ~ = 12 = ~А4~. Остается заметить, что А4 С Р(М), так как А4 ~ (е) состоит из подстановок вида д = (а, Ь)(с,а) и й = (а„В, у): подстановка д осуществляет вращение тетраэдра вокруг оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер аЬ и Ы, а подстановка 6 — вращение вокруг оси симметрии, проходящей через вершину. Теперь можно показать, что обращение теоремы Лагранжа для конечных групп неверно. П р и м е р 29.
В группе А4 ( имеющей порядок 12 ) нет подгруппы порядка 6. Из теоремы о декременте и теоремы 18 следует, что любой элемент из А4 ~ (е) имеет порядок 2 или 3. Если С ( А4 и ~С~ = 6, то ~С ~ (еЦ = 5. Множество С ~ (е) не может состоять только из элементов порядка 2, так как А4 содержит всего три таких элемента, и не может состоять только из элементов порядка 3, так как их количество в любой конечной группе четно.
(Докажите!) Следовательно, в С есть подстановки вида д = (а, Ь)(с,а), (а, Ь) П (с, а) = Я и 6 = (а, Д, у). Остается заметить, что (д, и) = А4. (Докажите!) 3 а м е ч а н и е 7. Если Й вЂ” произвольное конечное множество, то для подстановок из 5(Й) также можно ввести понятие четности и получить результаты, аналогичные теореме 19 и ее следствиям. Упорядочим каким-либо образом элементы Й: Й = (а1,..., а„).
Тогда каждой подстановке д Е Я(Й) соответствует единственная перестановка (г1,... ...,с„) Н Р(1,о) такая, что д = ( ' "' " ). Подстановка д навывватся четной, если (г1,...,г„) — четная перестановка, и нечетной — в противном случае. При таком определении для подстановок из Я(Й) практически так же, как и для подстановок из Я„, доказывается лемма 1, и дословно так же — теорема 19 и ее следствия. Из теоремы 19 следует, что четность подстановки д Е Я(Й) определяется лишь четностью числа транспозиций в ее разложении и не зависит от способа первоначального упорядочения множества Й.
Подгруппа всех четных подстановок из 5(Й) обозначается через А(Й) и называется знакопеременной группой подстановок множества Й. ~ 9. Системы образующих симметрической и знакопеременной групп С целью упрощения обозначений, мы будем рассматривать лишь группы Я„и А„. Предварительно докажем вспомогательное утверждение, позволяющее по заданному разложению на независимые циклы подстановки д Е Я„быстро вычислять такое же разложение для любой подстановки ~ ~д~, где ~ Е 5~. Л е м м а 2. Пусть подстановка д представлена в виде произведения циклов: д = (а1, а2,, ак) (Ь1, Ь2,..., Ьг).....
(с1, с2,, с,„). (22) 276 277 Тогда верно равенство: д~ = (Да~), Даг),, ~(а~)) (ДЬ~),..., ~(Ьг)) (Дс~),..., Дс )). (23) ППустьа Е 1,пи,В = д(а).ТогдаД,В) = Дд(а)) = Дд(~ ~(Да)))) = = (~ ~д~) Ща)). Таким образом, подстановка д переводит а в,В тогда и только тогда, когда подстановка ~ ~д~ переводит Да) в Щ). В частности, отсюда следует, что шоЬ(~ д~) = ДшоЬд), и если д = (а~,...,а~) — цикл, то ~ ~д~ = (Да~),...,~(а~)).
Теперь (23) следует из (22) ввиду равенства д~ = ~ (а~,...,а~)~ ~ (Ь~,...,Ь|)~ ... ~ (с~,...,с )~ П Отметим, что в условии леммы 2 не требуется, чтобы циклы в разложении (22) были независимы. Но, разумеется, если в (22) циклы независимы, то они независимы и в (23). Большие возможности для упражнений в применении леммы 2 дает читателю доказательство следующей теоремы.
Т е о р е м а 20. Группа Я„порождается: 1) множеством всех транспозиций; 2) множеством всех транспозиций вида (1, а), а Е 2, и; 3) множеством всех транспозиций вида (а, а+ 1), а Е 1, п — 1; 4) транспозицией (1, 2) и полным циклом (1, 2,..., п). П Для г Е 1,4 обозначим через Н, подгруппу в Я„, порожденную множеством подстановок, описанном в пункте (г) теоремы. Наша задача — доказать равенства Н, = Я„,г' Е 1,4.
Мы сделаем это, доказав цепочку соотношений 5„= Н~ С Нг С Нз С Н4. По теореме 19 каждая подстановка из Я„раскладывается в произведение транспозиций, т. е. принадлежит Н~. Следовательно Н~ — — Я„. Подгруппа Нг — — ((1, 2), (1, 3),..., (1, и) ) из Я„содержит любую транс- позицию (а„В) Е Я„. Действительно, если а = 1 или В = 1, то включение (а„В) Е Нг есть непосредственное следствие определения Нг, а если а ф 1 и,В ~ 1, то (1, а), (1„В) Е Нг и (а,,В) = (1, а) .
(1„В) (1, а) Е Нг. Следовательно, Н~ С Нг. Подгруппа Нз — ((1, 2), (2, 3),..., (п — 1, и)) содержит все транспозиции (1,а), так как (1,2) Е Нз, и если (1,а — 1) Е Нз, то (1,а) = = (а,а — 1)(1,а — 1)(а — 1,а) Е Нз. Следовательно, Нг С НзНаконец, подгруппа Н4 содержит все транспозиции (а, а+ 1), так как (а,а+1) = (1,2,...,п) ~(1,2) (1,2,...,п) б Н4. Следовательно, НзСН4. П В ~ 3 были описаны, с точностью до изоморфизма, все конечные группы с одним образующим. В связи с этим возникает естественное желание получать дальнейшие классификационные результаты в теории конечных групп, описывая все группы с т образующими для г = 2, 3,....
Однако теперь можно высказать предположение, что уже в случае т = 2 эта задача будет мало отличаться от задачи классификации всех конечных групп, поскольку справедливо С л е д с т в и е. Любая конечная группа изоморфна подгруппе группы с двумя образующими. П Достаточно использовать теорему Кэли и утверждение 4) теоремы 20. П Т е о р е м а 21. Знакопеременная группа А„степени п > 3 порождается всеми циклами длины 3. П По следствию 1 теоремы 19 все циклы длины 3 из Я„принадлежат А„. С другой стороны, любая подстановка й е А„представляется по теореме 19 в виде произведения четного числа транспозиций: Й = ~ь ~г ..
~ги-~ ~гь Теперь, очевидно, достаточно доказать, что любое произведение (а „В) х х (~, б) двух транспозиций представляется в виде произведения циклов длины 3. Для этого рассмотрим все возможные соотношения между множествами (а„В) и (у, б). Если (а„В) = ( у, б), то, очевидно, (а„В) (у, б) = е = (1, 2, 3)з. Если (а,,В) й (у, б) = (а), то можно считать, что у = а, и тогда (а„В) (у,б) = (а„В) (а,б) = (а„В,б). Если (а„В) й ( у, б) = Я, то (а, ~3) ( у, б) = ф, а, у) (.у, ~3, б). П Отметим, что в системе образующих группы А„, указанной в теореме 21, есть много "лишних" элементов. Читателю предлагается самостоятельно доказать,что верно равенство А„= ((1, 2, 3), (1, 2, 4),..., (1, 2, и) ).
278 279 ад...ад> Ьд...Ье сдд ай А. А (28) х ддх= Ь (24) д = 6 = (ао, ад,..., а„— 1) (27) 281 280 В частности, если М вЂ” тетраэдр, то вместо Р(М) = ((1, 2, 3), (1, 2, 4), (1,3,4)) (см. пример 28) можно написать Р(М) = ((1,2,3), (1,2,4)). ~ 10. Сопряженные элементы в симметрической группе. Уравнение Коши Цикловая форма записи подстановок позволяет описать классы сопряженных элементов в группе Я„и предложить методику решения уравнения вида: в этой группе называемых уравнениями Коши. Заметим, что по определению 18, сопряженность подстановок д,й Е Я„ в группе Я„ равносильна разрешимости уравнения (24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
