Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 44
Текст из файла (страница 44)
с=1 2. Простота описания свойств произведения групп С18...8 Сс через свойства сомножителей С; делает естественным правило: при изучении произвольной группы Н в качестве одного из первых шагов выяснить: не изоморфна ли она некоторому прямому произведению групп? Методика решения этого вопроса опирается на следующие общие понятия и результаты, представляющие значительный самостоятельный интерес. О п р е д е л е н и е 14. Произведением непустых подмножеств А и В группы (С, ) называют подмножество А В = (а Ь: а Е А, Ь Е В). Если групповая операция записывается аддитивно, то вместо произведения аналогичным образом определяется сумма А+ В.
Очевидно, операция произведения на множестве непустых подмножеств группы С ассоциативна и справедливо У т в е р ж д е н и е 7. Если А — непустое подмножество группы (С, ) и А = 1а ': а Е А), то А((С )~(А — 1 АиАгс. А)~(АА-1с. А) Отметим, что даже если А и  — подгруппы группы (С, ), то множество А В, вообще говоря, не является подгруппой в С. Например, в группе Яз (см. ~ 4.П1) произведение любых двух различных подгрупп порядка 2 — не подгруппа. (Проверьте!) Однако верна Т е о р е м а 8.
Произведение АВ подгрупп А и В группы (С, ) есть подгруппа в (С, ) тогда и только тогда, когда подгруппы А и В перестановочны, т. е. АВ = ВА. П Пользуясь утверждением 7, получаем: если АВ < С, то АВ = = (АВ) 1 = В 'А ' = ВА; наоборот, если АВ = ВА, то (АВ)(АВ) = АВВ 1А 1 = АВВА = АВ.
Следовательно, АВ ( С. П 3 а м е ч а н и е 2. Если для подгрупп А и В группы С множество АВ есть подгруппа, то это — наименьшая подгруппа, содержащая А и В, т. е. АВ = (А О В). (Докажите!) С л е д с т в и е. Сумма (произведение) любого конечного семейства А1,..., Ас подгрупп абелевой группы (С, +)(абелевой группы (С, )) есть подгруппа группы С. В дальнейшем произведение А1 ...
Ас подмножеств группы (С, ) будем коротко записывать в виде П А;, а сумму подмножеств группы с=1 с (С, +) — в виде ~ ~, 'А;. Представление какой-либо группы в виде суммы с=1 (произведения) ее подгрупп — один из важнейших способов описания различных классов групп. П р и м е р 16. В группе (Р~2~, +) всех векторов декартовой плоскости, выходящих из начала координат, с операцией + сложения векторов по правилу параллелограмма, подмножество А всех векторов, концы которых лежат на фиксированной прямой, проходящей через начало координат, есть группа. Если  — любая другая подгруппа того же типа и А ~ В, то Р~2~ = А+ В. Последнее равенство иллюстрируется следующим рисунком 254 255 3 а м е ч а н и е 3.
Операция пересечения подгрупп группы (С, +) не дистрибутивна относительно операции сложения подгрупп: если А, В, С < (С, +), то С и (А + В) Э (С и А) + (С и В), однако левая и правая части этого соотношения, вообще говоря, не равны. Например, из рисунка к примеру 16 видно, что А+ В = Р® и С П (А+ В) = С, но С и А = С и В = 0 и (С и А) + (С и В) = О. П р и м е р 17. Пусть С = С1 ®... ® Са — прямое произведение групп и е; — единица группы С; для з Е 1, 1.
Для каждого д; Е С; через д, ОбОЗНаЧИМ ЭЛЕМЕНТ ГруППЫ С ВИда д; = (Е1,..., Е; 1,д;, Е1+1,..., Еа), и положим С; = (д;: д; Е С,). Тогда очевидно, что С1,..., С; — попарно перестановочные подгруппы группы С, С; И С; и С = С1 ... 01. Более того, каждый элемент д = (д1,...,д1) Е С единственным способом представляется в виде д = (1 ... (1, где ~1 Е С1,...,(с Е С1 (это представление имеет вид д = д1, ... д,), и подгруппы С; и С. при з ~ 7 не просто перестановочны, но перестановочны поэлементно, т. е. если 6 Е С; и (',. Е С,, то Я', = Я;.
3. Теперь можно ответить на вопрос — при каких условиях группа Н изоморфна прямому произведению групп? О п р е д е л е н и е 15. Группа (Н, ) называется прямым произведением своих подгрупп Н1,..., Н1, если: 1) каждый элемент Ь е Н однозначно представляется в виде: Ь = Ь1 ° .. Ь1, где Ь1 Е Н1,..., Ь1 Е Нс, 2) для любых з,7' Е 1, ~, з' ф 7', группы Н; и Н поэлементно перестановочны, т. е.
(Ь; Е Н1, Ь, Е Н,.) =~ (Ь;Ь, = Ь,Ь;). В этом случае пишут Н = Н1 х ... х Н1. П р и м е р 18. В обозначениях примера 17 справедливо равенство С = С1 х... х С1. Более того, если для некоторой группы Н существует изоморфизм ~о: С1 ю... ю Сс — + и, то н1 = <Р(С1),, н1 = <Р(Сс)— подгруппы группы Н и Н = Н1 х... х Н~. П р и м е р 19. Если й, 8 Е 1Ч, (й, Р) = 1, (К, й) = 1, то Г7,г = Г7, х Га.
П р и м е р 20. С* = Г х К>о, где ((К>о, ) — группа всех положительных действительных чисел. П р и м е р 21. Пусть й,п Е 1Ч,1 < й ( и и (Н, ) — группа всех подстановок Ь множества 1,п, обладающих свойством: Ь(1,Й) = 1,Й. Тогда в Н есть подгруппы Н1 — — (Ь Е Н: Ь(з) = з для з Е 1, Й), Нг = = (Ь Е Н: Ь(~') = у для 7 Е й + 1, и) и Н = Н1 х Н2. У т в е р ж д е н и е 8. Пусть группа Н раскладывается в прямое произведение подгрупп: Н = Н1 х... х Н,.
Тогда: а) ниЙ=н1 ®...®н1, б) если Ь = Ь1 ... Ь1, где Ь1 Е Н1,...,Ь1 Е На, тоогйЬ = [огйЬ1,... ..., ого Ь|], если порядки элементов Ь1,..., Ь1 конечны, и огсз Ь = оо в противном случае; в) если подгруппы Н1,..., На конечны, то [Н! = [Н1[ ... [Н1[, ехрН= [ехрН1,...,ехрН1] П а) Определим отображение ~Р Й вЂ” Н правилом <РЦЬ1 Ьа)) = = Ь1 ... Ьа. Тогда, ввиду условия 1) определения 15, ~о — биекция, а, ввиду условия 2), у — гомоморфизм: ~Р((Ь1,...,Ь,).(Ь1,...,Ь',)) =РЦЬ1.Ь'„...,Ь,.Ь',)) =Ь, Ь', Ь, Ь', ... ...
° Ьс ' Ьс = Ь1 ' ° ° Ьс Ь1 ... Ь1 = ~РЯ~1,..., Ь1)) ИЬ1,..., Ь1)). Утверждения б) и в) следуют теперь, соответственно, из утверждений бв) и бг). П 3 а м е ч а н и е 4. Если группа (Н, ) — абелева, то для любых ее подгрупп Н1,..., Н1 условие 2 определения 15 выполняется автоматически, и равенство Н = Н1 х ... х Н1 эквивалентно условию 1 этого определения. 3 а м е ч а н и е 5. Если Н вЂ” абелева группа с аддитивной формой записи операции, то в определении 15 мультипликативная терминология также заменяется адцитивной: группу (Н, +) называют прямой 9.
Заказ Ма 573. 256 257 суммой своих подгрупп Н~,..., Нс и пишут Н = Н~+... + Н~, если любой элемент 6 Е Н однозначно представляется в виде 6 = 6| +... + 6~, где 6| Е Н~,..., Ьс Е Нс. П р и м е р 22. В обозначениях примера 16 Р~2> = А+ В. 4. Следующий критерий важен для многих последующих разделов курса. Т е о р е м а 9. Пусть Н~,..., Нс — подгруппы группы (Н, ), удовлетворяющие условию 2) определения 15, и Н = Н~ ... Нс.
Тогда следующие утаерждения эквивалентны: а) Н = Н~ х... х Н~, б) еслие=6~ ... 6,где6;ЕН;,гЕ1,1,то6|=...=6| — — е; в) для каждого г Е 1,8 Нь П(Нд ... Н; д. Н;+1 .. Не) = (е). П Импликация а) =~ б) следует из свойства 1 прямого произведения подгрупп и соотношений е = е ... е, е е Н;, ь Е 1, Ф.
б) =~ в). Пусть 6Е Н;П(Н~ ... Н; ~ Н;+~ ... Н). Тогда 6=6, и 6 = 6~ ... 6; ~ 6;+~ ... Ь|, где 6 Е Н. для ~' Е 1,Ф. Отсюда ввиду условия 2 получаем е = 6.6 ~ = 6|.... 6; ~ 6,~ 6;+~ ... 6| и согласно б) 6, ~ = е. Следовательно, 6 = 6; = е. в) =~ а). Пусть 6 Е Н и 6 = 6~ ... 6~ —— 6~~ ... 6~„где 6;,6~ Е Н;, г Е 1,$. Достаточно доказать, что 6; = 6; 'для ь Е 1,Ф. Допустим, что, например, 6| ~ 6~~. Тогда, пользуясь свойством 2, получаем е = 6 ~6 = =6;~6~~ ...
6-~6 е еи (6д 61Г =62 62' '6ь 6ь Е Нд П(Н2 .. Нс), 6,, '6', ~ е, что противоречит утверждению в) при г = 1. П С л е д с т в и е. Если Н~,..., Н~ — конечные подгруппы абелевой группы (С, +), имеющие попарно взаимно-простые порядки, и Н = = Н~+... + Н~, то Н = Н~+... + Н~. П Пусть ~Н;~ = т; для г е 1,8. Ввиду коммутативности групповой операции, очевидно, достаточно доказать, что если д Е Н~ П (Н2 +... ...+Нс), то д = О. По теореме Лагранжа из включений д Е Н~ и д Е Н2+... ... + Н~ следуют, соответственно, равенства т~у = О и т2....
т~д = = О. Отсюда и из условия (т~, т2,..., т~) = 1 по теореме 2б) следует равенство огану = 1, т. е. д = О. П 5. О п р е д е л е н и е 16. Группа (С, ) называется разложимой, если она представляется в виде прямого произведения двух собственных подгрупп.
В противном случае, группа С называется неразложимой. Очевидно, что задача описания (с точностью до изоморфизма) всех конечных групп сводится к описанию всех конечных неразложимых групп. Однако в классе некоммутативных групп вторая задача не легче первой. Качественно иная картина наблюдается в классе конечных абелевых групп. Здесь удается описать все неразложимые группы и дать полную классификацию конечных абелевых групп (см. гл. Х11). Первый шаг в этом направлении состоит в следующем.
О п р е д е л е н и е 17. Группа порядка р", где р — простое число, называется р- группой или примарной группой. Т е о р е м а 10. Циклическая группа (С, +) неразложима тогда и только тогда, когда она бесконечна, или примарна. Любая конечная циклическая не примарная группа однозначно, с точностью до перестановки слагаемых, раскладывается в прямую сумму примарных циклических подгрупп. П Если С вЂ” бесконечная группа, то она изоморфна группе (Ж, +), которая неразложима по теореме 9, поскольку любые две ее ненулевые подгруппы тЖ и пЖ имеют ненулевое пересечение: тЖПпЖ Э тп, тп ~ ~ О. Если ~С~ = р~, то в С также любые две ненулевые подгруппы А и В имеют ненулевое пересечение. Действительно, по теореме 4в) А и  — циклические группы, и по теореме Лагранжа они — р-группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
