Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Описать все обратимые элементы в полугруппах бинарных отношений: (В(М), ), (В(М); й), (В(М); 0) при М = 1, и. 13. Описать все конгруэнции и все гомоморфные образы полугрупп (Жр-, '+) и (Ц,.) при простом в. 14. Будут ли подполугруппами в полугруппе (В(М); *), где э Е (П, О, ), подмножества: а) всех рефлексивных отношений; б) всех симметричных отношений; в) всех транзитивных отношений; г) всех конгруэнций? ГЛАВА Х1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП Понятие группы является одним из основных понятий современной математики, широко используемым в различных областях науки и техники.
Как уже отмечалось во введении, понятие группы появилось в связи с исследованиями по проблеме разрешимости алгебраических уравнений иад полем в радикалах. Эти исследования завершили создание теории Галуа. При этом рассматривались лишь группы подстановок. По существу, такие группы использовались до Галуа в работах Лагранжа (1771), Руффиии (1799), Абеля (1824). Однако термин "группа" ввел Галуа в 1832 г. Небольшие и кратко написанные работы Галуа долгое время оставались мало доступными. Существенное развитие теория групп получила в опубликованном в 1870 г. "Трактате о подстановках" французского математика К. Жордана (1838 — 1922).
Эта книга (объемом 667 страниц), названная Жорданом коментариями к работам Галуа, привлекла всеобщее внимание математиков к теории групп. Далее, в конце Х1Х в. и в начале ХХ в. теорию групп успешно развивали такие крупные математики как У. Бернсайд 1', Ф. Х. Клейн, А. Кэли, С. Ли ~~ и др. Благодаря их работам постепенно сформировалось понятие абстрактной группы. Определенные итоги развития групп на этом этапе были подведены в книгах У.
Бернсайда "Теория групп конечного порядка" (1897) и О. Ю. Шмидта "Абстрактная теория групп" (1916). В данной главе будут изложены основы общей теории групп. ~ 1. Определяющие свойства групп Введенная в предыдущей главе терминология позволяет определить группу как полугруппу с нейтральным элементом, в которой для каждого элемента есть обратный. Ниже будет показано, что класс всех групп можно выделить из класса всех полугрупп и некоторыми другими наборами свойств (каждый такой набор свойств называют определяющим).
11 У. Бернсайд (1852-1927 ) — английский математик. 12 С. М. Ли (1842 — 1899) — норвежский математик. О п р е д е л е н и е 1. Элемент еп (ел) группоида (М, ж) называют правым (левым) нейшральнымс, если ч ш Е М: тп э еп = т ( ч ш Е М: ел е т = т). Ясно, что если в группоиде (М, *) есть нейтральный элемент, то он— левый и правый нейтральный.
Наоборот, если в (М, *) имеются левый ел и правый еп нейтральные элементы, то они совпадают: ел = ел * * еп = еп, следовательно, в (М, *) есть нейтральный элемент. Читателю предлагается самостоятельно привести примеры полугрупп, в которых есть один или несколько правых нейтральных элементов и нет ни одного левого. О п р е д е л е н и е 2. Если в группоиде (М, *) есть правый нейтральный элемент еп, то правым обратным для элемента т Е М (относительно правого нейтрального еп) называют элемент т', со свойством т * шп — — еп.
Т е о р е м а 1. Для полугруппы (Н,*) следующие ушверэкдения эквиваленшны: а) (Н,*) — группа; б) для любых д,Ь Е Н каждое из уравнений дух=6 и ужд=Ь (1) однозначно разрешимо в Н; в) для любых д,Ь Е Н уравнения(1) разрешимы в Н; г) в (Н, ~) сущестпвуетп правый нейтральный элемент еп, относитпельно которого для каждого Ь Е Н существует правый обратпный элементп Ьп~~ Е Н.
П Импликация а) =~ б) — это теорема 2.111, а импликация б) ~ =~ в) очевидна. в) =~ г). Зафиксируем д Е Н и обозначим через ед решение уравнения д * х = д. Тогда ед — — еп — правый нейтральный элемент в (Н, ~), поскольку для любого Ь Е Н существует уь Е Н со свойством Ь = уь *д и справедливы равенства Ь '~' ед — — (уь е д) е ед = уь ж (д е ед) = уь е д = и.
П равым обратным для Ь относительно еп является решение уравнения Ь*х = еп. г) =~ а). Для произвольного элемента Ь Е Н, пользуясь равенством еп = Ьд * (Ьп~)дп, получаем Ьп * Ь = (Ьп * Ь) 4' еп = (/~п * ") * Жп * (ьп)п) = = Ь', * (Ь * Ь'и) ~ (Ь'и)'и = (Ь'и ~ еп) ~ (Ьп) и = еп (2) Отсюда, пользуясь равенством еп — — Ь*Ьп~, получаем еп*Ь = Ь*Ьп~*6 = = 6* еп = Ь. Следовательно, еп — нейтральный элемент в (Н,*). Но тогда в силу (2) Ьп~ — обратный для Ь элемент, т. е.
(Н, *) — группа. П Полезно заметить, что эквивалентность утверждений а) и г) теоремы позволяет производить "в два раза меньше" выкладок при проверке того, является ли данная полугруппа группой. Эквивалентность утверждений а), б), в) объясняет важную роль понятия "группа" в математике. В дальнейшем, для обозначения групповой операции используются традиционные символы "+" и ".", соответствующие аддитивной и мультипликативной формам записи. Употребляемые при этом обозначения и терминология приведены в ~ 2.П1. Аддитивная форма используется ниже только для коммутативных операций, мультипликативная — для произвольной групповой операции. ~ 2.
Порядки элементов и экспонента группы Ы Е Ж (та = О). П р и м е р 3. В группе (С*, ) обратимых элементов поля С комплексных чисел есть как элементы конечного порядка (все корни конечных О п р е д е л е н и е 3. Порядком элемента д группы (С, -) называют наименьшее из чисел и Е 1Ч со свойством д" = е, если такие и существуют, и бесконечность — в противном случае. Порядок д обозначают через ого д и пишут, соответственно, ого д = и или ого д = оо. Естественно, в группе (С, +) при определении порядка элемента условие д" = е заменяется на пд = О.
П р и м е р 1. В группе (У, +) все ненулевые элементы имеют бесконечный порядок. П р и мер 2. В группе (У +) т Е 1Ч каждыйэлемент имеетконечный порядок: 240 241 степеней из 1), так и элементы бесконечного порядка (все остальные числа). Очевидно условию огсз д = 1 удовлетворяет липюь нейтральный элемент группы. О п р е д е л е н и е 4. Группа С, состоящая из конечного числа п элементов, называется йруппой порядка и или, просто, конечной группой.
Пишут ]С~ = и или ~С] < оо. У т в е р ж д е н и е 1. Порядок люйио элемента д конечной еруппы 0 конечен. П Если ~0~ = п, то среди элементов д~ = е,д',...,д" есть одинаковые. Следовательно, существуют й, 8 е 1Чо такие, что 0 < й < 8 < и и д" = д~. Умножая обе части последнего равенства иа д ", получаем д~ " = е, 8 — Й Е 1Ч. П Пример 3 показывает, что в бесконечной группе не обязательно порядки элементов бесконечны. Более того, существуют бесконечные группы, в которых все элементы имеют конечный порядок (т.
е. обращение утверждения 1 не верио). П р и м е р 4. Для простого р Е 1Ч множество С(р~) = (( Е С: 3 Й Е 1Ч(4~ = 1)) замкнуто относительно операции умножения. С(р' ) — группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Основные свойства функции ого'д описывает Т е о р е м а 2.
Пусть д — элемент конечного порядка т в группе (С, ). Тогда: а) элемент д 1 равен неотрицательной степени элемента д: д т-1. б) Ы Е Ж (д" = е) с~ (т]й); в) ЖЕЖогйд" = т — „-,' г) если Ь Е С элемент порядка и, (т, и) = 1 и дЬ = Ьд, то огсз дЬ = = огс1д огс1Ь = т и. П а) Равенство д 1 = д//' 1 доказывается умножением равенства е = =д над б) Разделим й на т с остатком: й = дт+ т, О < т < т. Тогда д" = (д'")~ д", и так как т < т = огйд, то (д" = е) ~» (д" = е) с~ (т = 0) с~ (т~й).
в) Пусть Ь = д" и и Е 1Ч. Тогда, пользуясь утверждением б) и теоремой 5 б).1Ч, получаем: (д" = е) с=» (д"" = е) с~ (т]йп) с~ ( ~ 1 с~ ( ]и ~,(т,й) (т,й)/ ~,(т,й) Таким образом, ого Ь < оо и наименьшее и Е 1Ч со свойством Ь" = е есть и = — „. ~т,/су ' г) Так как (дЬ) " = (д )"(Ь"), то огс1дЬ < оо и согласно б) огйдЬ = й, где й]т и.
С другой стороны, так как (дЬ)" = д" Ь" = е, то д = Ь ~ и ого'д" = ого'Ь ~. Отсюда по утверждению в) получаем равенство ~~ — — ~~"„, а так как (тп,п) = 1, то ~ — „~ = ~„— "„-~ = 1. ,3/В, / ~/с,в/ Следовательно, т~й и п~й, а потому тп~й. Таким образом, тп = й. П О п р е д е л е н и е 5. Экспонентой группы (С, ) называют наименьшее из чисел т е 1Ч со свойством ЧдЕС(д =е), если такие т существуют, и бесконечность — в противном случае.
Экспоненту группы С обозначают через ехрС и пишут, соответственно, ехр С = т или ехр С = оо. П р и м е р 5. ехр(У, +) = оо, ехр(У, +) = т, ехр С(р' ) = оо. У т в е р ж д е н и е 2. Экспонента конечной группы С = (д1,..., д„) конечна и удовлетворяет равенству ехр С = ~огс1д1,...,огс1д„]. (3) При этом, если С вЂ” абелева группа, то существует элемент д е С со свойством огйд = ехр С. П Пусть й = [огсз д1,..., огсз д„]. Тогда для любого д б С ввиду теоремы 2б) верно равенство д" = е и потому ехрС < й.
Пусть ехр С = = т. Тогда по определению д, = е и по теореме 2б) огс1д;~т, ~ Е 1,п. Следовательно, й]т, и так как т < к, то к = т, т. е. верно (3). Пусть (С, ) — абелева группа и число т = ехр С имеет каноническое разложение т = р ' ... р~'. Тогда из (3) следует, что для каждого /С1 1 Е 1,1 существует элемент Ь. Е С со свойством р '~огйЬ (иначе не й, выполнялось бы условие р.'~т). Пусть огйЬ = р ' .
и . Положим Д = /с/ /с.. = Ь '. Тогда по теореме 2в) огс1Д = р.', /' Е 1,8, и по теореме 2г) д = ~1 ... ~, — искомый элемент порядка т. П 242 243 Очевидно, что вторая часть утверждения 2 справедлива для любой абелевой группы с конечной экспонентой. Пример группы (Жг)22 показывает, что в этой части утверждения нельзя отказаться от условия коммутативности. Полезно заметить также, что если ехр С = оо, то в группе С не обязательно есть элемент бесконечного порядка, даже если она коммутативна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
