Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Приведите пример, когда такое деление невозможно. 8. Приведите пример, показывающий, что если В некоммутативное кольцо, то в теореме 3 условие а(а) = 0 не равносильно условию: а(х) делится на х — а слева. 9. Для любых а(х),6(х) Е В]х] над коммутативным кольцом В положим а(6(х)) = ~. а;6(х)'. Докажите равенство 1)0 а(6(х))' = а'(6(х)) 6(х)'.
10. Пусть а1(х),..., а„(х) — ненулевой набор многочленов над полем Р. Докажите, что для унитарного многочлена а(х) Е Р~х] следующие утверждения эквивалентны: а) а(х) = (а1(х),..., а„(х)); б) Ы(х) — общий делитель многочленов а1(х),..., а„(х) наибольшей степени; в) Ы(х) — общий делитель многочленов а1(х),...,а„(х), имеющий вид а(х) = и1(х)а1(х) + ...
+ и„(х)а„(х); г) а(х) — многочлен наименьшей степени среди ненулевых много- членов вида с1(х) а1(х) +... + с„(х)а„(х), с1 (х),..., с„(х) Е Р(х]. 11. Пусть ао(х), а1(х) — ненулевые неассоциированные многочлены над полем Р, бежав(х) ) 0 и Ы(х) = (ао(х),а1(х)). Докажите, что существуют единственные многочлены ио(х), и1(х) е Р(х] со свойствами: ио(х)ао(х)+и1(х)а1(х) = д(х), деви;(х) < деКа1-;(х) — де~ Ы(х), г ~ 0,1. 214 215 (Рассмотрите сначала случай, когда а(х) = е и поделите и;(х) с остатком на а1;(х).) 12. Покажите, что если многочлены а(х), Ь(х) != Р(х] взаимно просты, то для любого многочлена с(х) != Р(х] многочлены а(с(х)) и Ь(с(х)) также взаимно просты.
13. Докажите, что если многочлен ~(х) != Р(х] взаимно прост со своей производной, то кратность каждого его неприводимого делителя в каноническом разложении над Р равна единице. 14. Составьте таблицы неприводимых многочленов второй степени над полями Жг, Жз, Жз, третьей степени над полями Жг, Жз, четвертой и пятой степеней над полем Жг. 15. Пусть Дх),д(х) — многочлены над полем Р, à — расширение поля Р и аР(х), ЫР(х) — унитарные наибольшие общие делители много- членов Дх) и д(х) соответственно в Р(х] и Г(х].
Докажите, что аР(х) = = ЫР(х). 16. Докажите, что если Р— поле разложения многочлена Дх) != Р(х) над полем Р, то Дх) не имеет кратных корней в Г тогда и только тогда, когда Щх), ~'(х)) = е. 17. Пусть а(х) != Ж~х] — многочлен степени и ) 0 и для каждого й != != 1, п — 1 существует простое р != М такое, что р]' а„и тр(а(х)) не имеет в Жр(х] делителей степени й. Докажите, что а(х) неприводим над Я. 18. Докажите, что если а(х) != Р(х] — приводимый многочлен и Ь(х) != Р(х] ~ Р, то многочлен а(Ь(х)) приводим, а если с1едЬ(х) = 1, то верно и обратное утверждение.
19. Для любого простого р != М многочлен х" 1 +... + х+ 1 над полем Я неприводим (сделайте замену х = у+ 1 и используйте признак Эйзенштейна). 20. Докажите, что для любого простого р != М и любого натурального й '! — -г й — ! Й многочлен хр 1р ц+хр 1р 21+...+хр +1 != Щх] неприводим, а его корнями в поле С являются в точности все примитивные корни степени р1'из единицы. 21. Пусть Р— поле из о элементов. Докажите, что многочлен х~ 1 задает на Р функцию, равную е во всех ненулевых точках. (Пусть Р* = = (а1,...,ад 1) иа != Р'. Сравнитепроизведенияа1 ...
ад 1и (аа1) ... "( -)) 22. В условиях предыдущей задачи докажите, что любая функция <р: Р™ -~ Р представляется многочленом а(х1,..., х„) = ~~~~ <р(с1,..., с„) (е — (х1 — с1)~ 1) !с!,...,с )ЕР™ (е — (х„— с„)~ 1).
23. Докажите, что если Р— поле порядка о, то все его элементы— корни многочлена хч — х != Р(х]. 24. Докажите, что если Р— поле из о элементов и многочлен Дх) = = ~ц + ~~х+... + ~ц 1х1 1 != Р~х] задает на Р подстановку, то ~ц 1 —— О. (Покажите, что для любого Й != 1, о — 2 выполняется равенство ~: а~ = аЕР = О, и просуммируйте все значения подстановки Дх).) 25. Опишите все многочлены, задающие подстановки на поле Жз. 26. Найдите многочлен степени, большей, чем 1, задающий подстановку на поле Жз.
27. Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие симметрические многочлены из Р(х1, хг, хз]: г+ г+ г. б) хз+ хз + хз. в) х1х2 + х1хз + х1х2 + хгхз + х1хз + хгхз) г г г г г г. 1) х1 + х2 + хз 28. Пусть Дх) != Р(х], à — поле разложения Дх) над Р и а1,..., а„Е != à — все корни Дх) с учетом их кратностей. Дискриминантом Дх) называют элемент поля Г: Докажите, что Ь(~) != Р и Ь(~) не зависит от выбора поля Г. 29.
Найдите дискриминанты многочленов хг+ Ьх+ с и хз+ Ьх+ с над данным полем Р. 216 217 где р — простое число, 1 Е М. 218 219 ГЛАВА Х ГРУППОИДЫ И ПОЛУГРУППЫ Основными понятиями, связанными с изучением алгебр, являются понятия подалгебры, гомоморфизма алгебр, конгруэнции на алгебре, факторалгебры, системы образующих алгебры. Все эти понятия можно определить для произвольной универсальной алгебры, т. е. для множества с любым набором операций. Однако ради простоты изложения и восприятия, мы в данной главе введем указанные понятия для алгебр с одной бинарной операцией, т. е. для группоидов.
При этом в общих рассуждениях будет использоваться, в основном мультипликативная терминология. Заметим, что в неассоциативных группоидах при записи произведения более двух элементов необходимо расставлять все скобки, определяющие порядок выполнения операций. Это обстоятельство в некоторых случаях значительно усложняет изложение. В связи с этим, мы будем особое внимание уделять ассоциативным группоидам, т. е. полугруппам (в которых произведение любого набора элементов можно записывать без скобок). ~ 1. Подгруппоиды и подполугруппы Напомним (см.
определение 5.111), что подгруппоидом группоида С = (С, ) называется любое его непустое подмножество С1, замкнутое относительно операции " " и рассматриваемое как множество с этой операцией. В частности, подгруппоидом любого группоида является сам этот группоид. Если группоид содержит нейтральный элемент, то последний один образует подгруппоид. Приведем и менее тривиальные примеры подгруппоидов. П р и м е р 1. Подгруппоидами группоида (Ма, ) будут его подмно- жества Р = (Р: и Е Щ) Р™ = (Р ~: и Е 1Ч6), Если С1 — подгруппоид в С и С вЂ” полугруппа, то С1 — также полугруппа. Ее называют подполугруппой полугруппы С. Заметим, что подгруппоид С1 группоида С может быть ассоциативным и в том сл- У чае, когда С неассоциативен.
В связи с этим имеет смысл О п р е д е л е н и е 1. Подгруппоид С1 группоида С, являющийся полугруппой, называется подполугруппой группоида С. У т в е р ж д е н и е 1. Если (С;: г Е 1) — семейство подгруппоидов группоида С и Н = П С;, то либо Н = о, либо Н вЂ” подгруппоид 161 группоида С. П Достаточно доказать, что если Н ф И, то Н замкнуто относительно операции " " в С. Пусть 61, Ьг е Н, т. е.
61,6г е С; для всех г Е 1. Так как С, — подгруппоиды в С, то 616г е С; при всех г е 1, и потому 6162 е Н. Следовательно, Н вЂ” подгруппоид группоида С. П Заметим, что каждый из вариантов (Н = Я и Н вЂ” подгруппои ) д для множества Н из утверждения 1 возможен.
П р и м е р 2. Для подгруппоидов полугруппы (Мо, ) примера 1 имеем: р П р = р — подгруппоид, 2И ЗИ 6И р П о = И при различных простых р и о. И И Используя операцию пересечения подгруппоидов, можно указать один из широко используемых в алгебре способов задания группоидов и в ) частности,полугрупп. Пусть С вЂ” группоид и о ф М с С. Если подмножество М не является группоидом, то естественно поставить задачу о наиболее экономном пополнении М элементами из С до группоида.
Для этого необходимо добавить к М все элементы из С вида ао, если а,о е М и ао ф М. Затем то же самое проделать с полученным множеством и т. д. до тех пор, пока не получится замкнутое, относительно операции " " множество. Оно и будет искомым подгруппоидом. Формально и более строго этот группоид определяется следующим образом. О п р е д е л е н и е 2. Подгруппоидом группоида С, порожденны.м непустым подмножеством М С С, называется подгруппоид ~М) яв) ляющийся пересечением всех подгруппоидов из С, содержащих М. При этом множество М называется системой образующих группоида ~М) (и самого группоида С в случае (М) = С).
[М) = ПС,. т1 ... т~, Ча, 6 Е С: у(а6) = у(а) о у(6). (2) 221 220 Если обозначить через (С,: т е Х) семейство всех группоидов из С, содержащих множество М, то можно будет записать Из утверждения 1 следует, что определение 1 корректно. Следующее утверждение дает описание элементов из [М). У т в е р ж д е н и е 2. Подгруппоид [М) группоида С совпадаетп с множестпвом Н всех элементпов группоида С, котпорые или содержатпся в М или предстпавляютпся в виде произведений элементпов из М. П Из определения множества Н видно, что Н вЂ” подгруппоид из С, содержащий множество М. Тогда из (1) получаем: [М) С Н.
С другой стороны, каждый подгруппоид С; из (1) содержит М и, будучи замкнутым относительно умножения, содержит Н. Следовательно, Н с [М). В итоге имеем: Н = [М). П В случае когда группоид С является полугруппой, произведения элементов записываются сравнительно просто, и мы из утверждения 1 получаем С л е д с т в и е. Если (С, ) — полугруппа и Я ф М с С, тпо ее подполугруппа, порожденная множестпвом М, состпоитп из всех элементов, предстпавимых в виде где й Е Я, а тп1,...,т~ — произвольные, не обязатпельно различные, элементпы из М. П р и м е р 3. Пользуясь следствием, нетрудно проверить, что в полугруппе (Яц, ) из примера 1 ее подполугруппы р'",р'"' порождаются соответственно множествами (р'), (1, р'). Сама полугруппа (1Чо, ) в силу основной теоремы арифметики (см.
теорему 7,1Ч) порождается множеством П 0(1), где П вЂ” множество всех простых чисел. О п р е д е л е н и е 3. Группоид С называется конечно порожденным, если он имеет конечную систему образующих, и циклическим, если порождается некоторым одним элементом. П р и м е р 4. Из примера 3 видно, что полугруппы р'", р'"' — конечно порождены. Полугруппа же (Яо, ) не является конечно порожденной. Докажите это в качестве упражнения, пользуясь теоремой Евклида о бесконечности множества простых чисел (см. теорему 8.1Ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
