Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Т е о р е м а 12. Для любых многочленов а(х), 6(х) Е Р~х1 справедливы равенства: С л е д с т в и е 1. Для любых многочленов а1(х),..., а„(х) Е Р~х~ справедливо равенство: (а1(х)... а„(х))' = а',(х)аг(х)... а (х) + а1(х)а~~(х)аз(х)... а„(х) + ... ... + а1(х)... а„ 1(х)а,',(х). Доказательство легко проводится индукцией по и. Из следствия 1 очевидным образом получаем С л е д с т в и е 2. Для любых а(х) Е Р~х~ и й е 1Ч справедливо равенство: (а(х)")' = й а(х)~ 1 а'(х). 3 а м е ч а н и е 7. Совершенно аналогично производную можно определить для многочленов над любым (не обязательно коммутативным) кольцом с единицей.
При этом остаются справедливыми теорема 12 и ее следствия, доказательства которых проводятся дословно так же. (Проверьте!) Следствие 2 верно для многочленов над коммутативным кольцом. Т е о р е м а 13. Корень а Е Р многочлена Дх) Е Р~х3 является простым тогда и только тогда, когда а не является корнем его производной У'(х). П Пусть к — кратность корня а. Тогда ~(х) = (х — а) "д(х), где д(а) ф ~ О.
Отсюда по теореме 12 имеем: ~'(х) = (х — а)" 'д(х)+(х — а)"д'(х), и если й = 1, то ~'(а) = д(а) ~ О. Если й > 1, то ~'(а) = И(ск — о)" ~д(сх)+ +(а — о)"д'(о) = 0 (т. е. из условия ~'(а) ф 0 следует, что й = 1). О С л е д с т в и е 1. Множество кратных корней в поле Р многочлена Дх) Е Р~х» совпадает с множеством всех корней в поле Р многочлена Й(х) = (~(х), ~'(х)). О Ча Е Р: (Да) = ~'(а) = 0) «~ (х — а ~ Дх) и х — а ~ ~'(х)) «~ «» (х — а ~ сХ(х)) «~ (сХ(а) = 0). П О п р е д е л е н и е 18. Поле Р называется полем разложения многочлена Дх) Е Р~х3 степени и > О, если Дх) раскладывается над Р в произведение линейных множителей, т.
е. если каноническое разложение ~(х) над Р имеет вид: ~(х) = (х — а1)"' ... (х — а„) ". 193 3. Заказ 3а 573. 192 П р и м е р 3. Для многочлена х2 + 1 Е й[х] поле С является полем разложения, а поле Й вЂ” нет. П р и м е р 4. Для любого простого р е 1Ч поле Ер вычетов по модулю р есть поле разложения многочлена х~ — х: х" — х = х (х — 1) ...
(х — (р — 1)). (Докажите!) С л е д с т в и е 2. Если Р— поле разложения многочлена ~(х) Е Р[х], то Дх) не имеет кратных корней в Р тогда и только тогда, когда ®х),~'(х)) = е. П Многочлен с((х) = (Дх), г'(х)) делит ~(х), поэтому, если с%ея сХ(х) ) ) О, то по условию теоремы с((х) раскладывается над Р на линейные множители и имеет в Р корень. В рассматриваемой ситуации отсутствие у Дх) кратных корней в поле Р согласно следствию 1 равносильно условию с1е~с((х) = О. О 3 а м е ч а н и е 8. Если Р не является полем разложения для многочлена Дх), то условие (Дх), ~'(х)) = е является достаточным для отсутствия кратных корней многочлена Дх) в поле Р, но не является необходимым.
(Докажите! ) Полученные результаты можно использовать не только для отыскания кратных корней многочлена, но и для разложения его на множители в случае наличия у него таких корней. П р и м е р 5. Найти кратные корни в поле Е5 многочлена Дх) = х— — 2х +2х~ — 2х+1 Е Е5[х]. Вычисляя наибольший общий делитель ~(х) и ~'(х) = 4х~ — х2+4х — 2, получаем Щх), ~'(х)) = х — 1. Следовательно, 1 — кратный корень Дх) и (х — 1) ] Дх). Выполняя деление, находим ~(х) = (х — 1)2(х2 + 1).
Непосредственной проверкой убеждаемся, что многочлен х + 1 имеет в поле Е8 корни 2 и 3. Таким образом, ~(х) = = (х — 1)~(х — 2)(х — 3). 3. Пусть Š— произвольное поле. Напомним, что подмножество Р С С Г называется подполем поля Е, если Р замкнуто относительно операций сложения и умножения на Е и является полем относительно этих операций. В этой ситуации говорят также, что поле Е есть расширение поля Р.
В главе ХХ1 будет показано, что для любого поля Р и любого многочлена ~(х) е Р[х] существует расширение Е поля Р, которое является полем разложения для Дх). В действительности, справедливо даже более сильное утверждение. О п р е д е л е н и е 19. Поле Е называется алгебраически замкнутым, если оно является полем разложения для любого многочлена Дх) Е Е Е[х], с1е~ ~(х) ) О.
Т е о р е м а 14 (Штейницг). Для любого поля Р существует расширение Р, которое являетпся алгебраически замкнутпым. Доказательство этого результата выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь лишь указанием одного очень важного примера. Т е о р е м а 15 (Гаусс). Любой многочлен ненулевой стпепени над полем С комплексных чисел имеет в этпом поле корень (другими словами, поле С алгебраически замкнуто).
Эта теорема, долгое время называвшаяся основной теоремой алгебры, не имеет чисто алгебраического доказательства и будет выведена как простое следствие из более общих результатов при изучении теории функций комплексного переменного. Мы, однако, уже сейчас будем широко использовать эту теорему. В частности, теперь может быть коротко доказано следующее утверждение (см. теорему 11.1У).
С л е д с т в и е. Для любого ненулевого комплексного числа г и любого и Е 1Ч в поле С сущестпвуетп ровно и различных корней степени п иэ г. О По теореме 15 многочлен х" — г раскладывается на линейные множители над С, а по следствию 2 теоремы 13 он не имеет кратных корней в С, т. е. в поле С у него есть ровно и различных корней. П ~ 7.
Многочлены над числовыми ПОЛЯМИ Здесь приводятся полное описание неприводимых многочленов над полями С и Й, некоторые важные достаточные условия неприводимости многочленов над Я и способы вычисления рациональных корней многочленов из Я[х]. 1. Описание неприводимых многочленов над полем С легко следует из теоремы Гаусса.
У т в е р ж д е н и е 10. Над полем комплексных чисел неприводимы все многочлены первой стпепени и только они. 9 Э. Штейннц (1871 — 1928) — немецкий математик. 194 195 корнем а(х), то о [ а"„, и [ ао и то — и [а*(т) для любого т е Е, в частности, е — и [ а*(1), и+ и [ а*( — 1). О Достаточно заметить, что а*(х) = (х — а)*с*(х) для подходящего примитивного с*(х) Е Е[х] и (х — а)* = их — и. О Напомним, что для любых т Е 1Ч и с е Е через г,н(с) обозначается остаток от деления с на т, который можно рассматривать как элемент кольца Е .
Операции в этом кольце и кольце многочленов Е [х] обозначим символами ® и Э. Для любого многочлена а(х) = ',~ а;х' Е Е[х] через г,„(а(х)) обозначим многочлен из Е [х] вида ',~ г (а;)х'. Исполь- 1>о зуя свойства отношения сравнимости в Е (см. следствие 2 теоремы 2.Ч), легко получить, что для любых многочленов 6(х), с(х) Е Е[х] выполняется соотношение т,„(Ь(х) с(х)) = г,„(6(х)) Э г,„(с(х)). С л е д с т в и е 3. Если а(х) Е Я[х] — приводимый многочлен степени и и Ст(а*(х)) = а"„х", то для каждого простого р Е 1Ч, не делящего а"„, многочлен тр(а" (х)) приводим в кольце Ер[х].
О Если а(х) = 6(х)с(х), где с1ея 6(х) = й Е 1, и — 1, то тр(а*(х)) = = тр(6*(х)) Э гр(с*(х)), причем ввиду условия р [ а,", можно утверждать, что р]'6~ и йедгр(а"(х)) = п,йедтр(6" (х)) = к. О Полученные результаты можно использовать для перечисления рациональных корней и проверки неприводимости многочленов из Я[х].
П р и м е р 6, Найти рациональные корни многочлена а(х) = хз— — ~х — ~. Заметим, что а*(х) = 2х — Зх — 3 и если элемент а = и е Я, где и Е Е,о Е 1Ч, (и, о) = 1, есть корень а(х), то по следствию 2 и [3 и о [ 2, т. е. а Е 1~3, ~1, ~2, ~ 21. Кроме того, должны выполняться соотношения о — и [ а*(1) = — 4 и и+ и [ а*( — 1) = — 2, поэтому остается лишь один кандидат в корни а(х): а = — 3. Но а( — 3) = — 24 ф 0 и потому многочлен а(х) не имеет корней в Я. Отсюда по утверждению 6 следует также, что а(х) неприводим над Я. П р и м е р 7.
Проверить, является ли неприводимым многочлен а(х) = х + т~х~+ Зх + 4х+ 5 Е Я[х]. Воспользуемся следствием 3. Получаем а*(х) = 7х4+ Зх + 21х + 4х+ 35. Будем перебирать простые числа р ф 7. Для р = 2 имеем: г2(а"(х)) = х +х +х +1 — приводимый многочлен в Е2[х]: т2(а*(х)) = (х+ 1) Э (х + х+ 1). Для Р = 3 получаем: гз(а*(х)) = х4+ х+ 2 Е Ез[х]. Этот многочлен неприводим над Ез, так как он не имеет корней в Ез и не делится ни на один из трех существующих в Ез [х] неприводимых унитарных многочлена степени 2: х2+1, х~+х+2, х2+2х+2 (непосредственная проверка). Следовательно, многочлен а(х) неприводим над Я. Для доказательства неприводимости а(х) можно и не убеждаться в неприводимости гз(а(х)), а заметить лишь, что гз(а(х)) не имеет корней в Ез, поскольку из рассмотрения многочлена г2(а(х)) следует, что если а(х) приводим, то он имеет делитель первой степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
