Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

164 165 Так, например, (14) является фундаментальной системой решений системы уравнений (13). В общем случае ФСР находится неоднозначно. Даже в указанном выше способе нахождения ФСР системы уравнений (13) имеется большой произвол. Он связан и с выбором ранговой подматрицы матрицы А, а значит, и системы свободных неизвестных, и с выбором значений для свободных неизвестных, Вместе с тем, из теорем 6 и 8ХП имеем С л е д с т в и е 1.

Любая систпема линейных однородных уравнений имеетп ФСР и любая ее ФСР содержитп ровно и — т векторов, где и— число неизвестпных, а т — ранг основной матприцы заданной систпемы уравнений. С л е д с т в и е 2. Если а~,...,ст„, — любая ФСР систпемы линейных однородных уравнений, тпо множество всех решений систпемы совиадаетп с множестпвом векторов М = (а~ с1 + . ' + ап — гсп-г .' с1,..., сп-т Е Р) 1 При этом выражение се~ с~ +... + ст„,с„„ (15) называют общим решением системы (13). Т е о р е м а 7. Множество М всех решений произвольной совместной системы линейных уравнений иредстпавляетпся в виде + Мо~ с~ +Мо ~М, М< с~ +Мо. Пусть у~ Е а~ + Мо, т.

е. ~~ = а" + 6~, где Ф вЂ” подходящий вектор из Мо. Тогда имеем Ау~ = А(а~ + Ф) = Аа~ + АФ =,В~ + О = ф. Значит, .у~ е М, и потому а~ + Мо С М. 166 где ст~ — любое одно ее решение, а Мо — множестпво всех решений ассоциированной с ней системы линейных однородных уравнений. О Пусть а~ — любое решение, М вЂ” множество всех решений системы (3), Мо — множество всех решений ассоциированной с ней системы (13). Докажем включения: Пусть .71 Е М, т.

е. Ау" = ~3~. Тогда А(.у~ — а") = А у~ — Аа~ = ~3~ —,О = О, и потому у~ — а~ Е Мо. Следовательно, у~ е а~+ Мо и М С а~ + Мо. О Если а~ — решение системы (3), а (15) есть общее решение ассоциированной с ней системы (13), то, как следует из теоремы 7, множество М всех решений системы (3) можно записать в виде М = (а~ + а,с~ +... + ст„,с„-„: с~\ ° ° 1си-т ~ П. В связи с этим выражение ст + а,с~ +... + с~„,ся-г называют общим решением системы (3).

Задачи 1. Уравнение с неизвестными х~,...,х„называют следстпвием совместпной системы уравнений с теми же неизвестными, если ему удовлетворяют все решения этой системы. Доказать, что уравнение а~к~ +... ... + а„х„= о является следствием совместной системы Ах =,В о- А 1=ОТ гда и только тогда, когда вектор (а~,..., а„, о) является линейной комбинацией строк матрицы (А,ф).

Сформулируйте основанный на этом утверждении критерий равносильности систем уравнений. 2. Докажите, что совместные системы уравнений А~х~х~ = ф~ Стихах равносильны тогда и только тогда, когда матрицы (А,р ) и строчно эквивалентны. 3. Привести примеры систем линейных уравнений, в которых одно из переменных: а) не может быть включено ни в какую систему свободных неизвестных; б) входит в любую систему свободных неизвестных; в) входит в одну систему свободных неизвестных и не входит в какую- либо другую систему свободных неизвестных. 4.

Сколько решений может иметь система из и — 1 линейных уравнений с и неизвестными над полем СГ(2)? 167 5. Дать геометрическую интерпретацию для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными над полем К и множества ее решений при всех возможных значениях рангов основной и расширенной матриц. 6. Оценить сверху сложность решения системы п линейных уравнений с п неизвестными над полем Р методом Гаусса, понимая под сложностью число всех арифметических операций над элементами поля Р. 7.

Доказать следующее обобщение теоремы Кронекера — Капелли: матричная система уравнений АХ = В совместна тогда и только тогда, когда гана(А,В) = гане А. 8. Сколько фундаментальных систем решений имеет система уравнений А„,„„х = 0 над полем Р, если ганя А = т, и как все их найти? — 1 9. Пусть а~ — решение системы уравнений Ах~ = ф, где ф ф 0~, и а~~,..., а, — ФСР системы уравнений Ах = 0 .

Доказать, что система векторов а, а~~,..., а~~ линейно независима. 10. Доказать, что любое подпространство М пространства Р~" ~ совпадает с множеством всех решений подходящей системы однородных линейных уравнений. 11. Доказать, что для любой линейно независимой системы векторов а, а1,..., а, из Р существуют матрица А~„,~„„ранга и, — т и вектор (а) ,В Е Р~ > такие, что а~ + а,с1+... + а~с, есть общее решение системы уравнений Ах" = ф. Глава 1Х МНОГО ЧЛЕНЫ Как читатель уже заметил, один из основных методов алгебры состоит в том, что решение какой-либо задачи для данного алгебраического объекта сводится к решению более простой задачи для другого алгебраического объекта, определенным образом построенного из исходного. Например, решение системы линейных уравнений над кольцом В сводится к решению простейшего уравнения над кольцом матриц В„,„, решение сравнения над Ж сводится к решению уравнения над кольцом вычетов Ж,„. В связи с этим, в алгебре много внимания уделяется различным способам конструирования из данных алгебраических объектов новых объектов и изучению свойств последних.

В этой главе изучается еще одна важная конструкция подобного типа — кольцо многочленов над данным кольцом, К необходимости использования и изучения понятия многочлена приводят многие алгебраические задачи. Простейшая (по формулировке) и древнейшая из них— задача о решении уравнения вида: а„х" +... +а1х+ав — — 0 над данным кольцом. Этим, однако, далеко не исчерпывается область приложений многочленов в алгебре. Как читатель увидит далее, с помощью многочленов описываются преобразования колец и полей, изучаются свойства матриц, из исходных полей строятся различные новые поля с заданными свойствами и решаются многие другие задачи.

Читатель уже знаком с понятием многочлена из средней школы. Однако мы начнем изложение теории многочленов с их формального определения, которое, на первый взгляд, может показаться неестественным и неудобным, но в действительности позволяет наиболее экономным способом добиться нужной строгости и перейти к общепринятой терминологии. 169 (а,) = (ао, а1,..., а„,....) т+ (а,) = (т,О,...,О, ) + (а,).

х = (О,е,0,...,0,...), (6) 1 нулей (2) (с;) = (а,) + (Ь,), е' = ф,...,О,е,О,...) дея е е яе. (7) (4) = (а,) (Ь,), з у) й з+1+й ~ ~ у й) (8) (4) (5) ах' = (О,...,О, а, О,...) = х'а, 171 170 ~ 1. Кольцо многочленов над кольцом с единицей 1. Пусть  — произвольное кольцо с единицей е. О п р е д е л е н и е 1.

Мноеочленом над В назовем любую бесконечную последовательность элементов а, Е В, з Е Яо, в которой все а;, за исключением конечного их числа, равны нулю. Элементы а, назовем коэффициентиами многочлена (1). Многочлен (0) = (0,0,....) назовем нулевым. Обозначим через М(В) множество всех таких последовательностей. О п р е д е л е н и е 2. а) Суммой мноеочленов (а;), (Ь;) Е М(В) называют последовательность в которой с; = а; + Ь, для всех г е 1Чо. б) Произведением мноеочленов (а,) и (Ь,) называют последователь- ность в которой а), = ~ айЬ; А.. для всех г Е 1Чо а=о в) Произведением мноеочлена (а,) Е М~В) на элемента т Е В слева или справа называют, соответственно, последовательность т(а,) = (тао, та1,...) или (а1)т = (аот, а1т,...). г) Суммой элементпа т Е В и многочлена (а,) е М(В) называют последовательность т + (а;) = (а,) + т = (ао + т, а1,..., а„,...).

Нетрудно видеть, что в последовательностях (2) — (5), так же как и в исходных последовательностях, все коэффициенты, за исключением ко- нечного их числа, равны нулю, и потому эти последовательности при- надлежат М(В). 3 а м е ч а н и е 1. Операции сложения, введенные в пунктах а) и г) определения 2, различны, хотя для удобства и обозначаются одним и тем же символом +.

Последнее обстоятельство не может вызвать путаницы, поскольку природа суммируемых элементов ясно указывает на то, какая из операций имеется в виду. Кроме того, различие между этими операциями имеет, по существу, лишь формальный характер, поскольку операция из пункта г) легко выражается через операцию из пункта а): Используя заданные на М(В) операции, можно следующим образом перейти к традиционной форме записи многочленов. Введем обозначения: Заметим, что ввиду определения 2 б) для любых г, й е 1Чо выполняются равенства: Й ее+и еее = (О,...,О, еО,...) (О,...,О, еО,...) = ~~,...,О еО,...) = е~~.

Поэтому для любых г,~, й е Яо верны равенства: и для г Е Я символ х' обозначает ни что иное, как г-ю степень элемента х: х' = х ° х ....х. Пользуясь определением 2 в), получаем, что для любых а Е В и г Е Е 1Чо верны равенства: а(х) = ао + а1 х + а2х + . + апх". (9) Ст(а(х)) = — Ст(Ь(х)); М(В) = В[х]. Ь(х) = Ьв + Ь1х+ + Ьтдх™ (10) а(х) = ~а,х' = ~а,х'. более простой вид: >о а=о з>0 173 172 и поэтому любой многочлен (а,) = (ав,..., а„,О,...) Е М(В) может быть записан в виде суммы: (а;) = (ав, 0,...) + (О, а1, 0,...) + ...

+ (О,..., О, а„, 0,...) = =авх +а1х +...+а„х = т ах. о 1 Пользуясь замечанием 1 и обозначением (6), последнюю запись много- члена (а,) можно еще упростить, записав его в общепринятом виде: О п р е д е л е н и е 3. При введенных обозначениях многочлен (9) называют многочленом отп х над кольцом В, а элементы а; е В называют его коэффициентами. Говорят, что а, — козффициентп многочлена а(х) при х', а ав — его свободный член.

Множество М(В) называют множеством многочленов отп одного переменного х над кольцом В и обозначают: 3 а м е ч а н и е 2. Подчеркнем, что многочлен а(х) Е В[х] вида (9) имеет бесконечно много коэффициентов а,, т, е Яо, а равенство (9) означает, что а„+1 = а„+2 =... = О. При этом возможно, что и а„= О. В частности, согласно определениям 1 и 3, многочлен (9) равен много- члену тогда и только тогда, когда а, = Ь, для всех г е Мв. О п р е д е л е н и е 4. Степенью многочлена а(х) е В[х] называют параметр Йеяа(х), равный наибольшему из номеров т', его ненулевых коэффициентов а,, если а(х) ф О, и равный — оо, если а(х) = О.

Если деда(х) = и Е Яв, то коэффициент а„многочлена а(х) называют его стпаржим козффициентпом, а слагаемое а„х" — стпаршим членом многочлена а(х) и обозначают через Ст(а(х)): а„х" = Ст(а(х)). Как нетрудно увидеть из определения 2 а), б), сумма и произведение многочленов (9) и (10) могут быть записаны следующим образом: а(х) + Ь(х) = ~(а, + Ь,)х', й = шах(т, и); а(х) Ь(х) = аоЬо + (аоЬ1 + а1Ьо)х + ... ... + (а,1 1Ьш + ааЬш 1)х"'+'" + ат,Ьтх Отсюда легко следует.

Характеристики

Список файлов книги