Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если а1(х),...,а„(х) е Р[х]~(О), то существует единственный унитарный многочлен й(х) е НОК (а1(х),..., а,„(х)) и справедливо равенство НОК(а1(х),..., а„(х)) = (ий(х): и Е Р*) О1 Существование НОК указанных многочленов доказывается индукцией по параметру и. При п = 2 так же, как и при доказательстве утверждения6.1Ч,показывается,что "*" * Е НОК( ( ) ( )) (а1 ж),а0 Х)) а1 х),аг(х)), а затем доказывается, что если и ) 2 и ~1(х) Е НОК (а1(х),..., а„1(х)), ) (х) Е НОК ()"д(х), а„(х)), то )" (х) Е НОК (а1(х),..., а„(х)). Если й(х) = )'*(х) — унитарный многочлен, ассоциированный с ) (х), то он также удовлетворяет определению 13, т.
е. Й(х) Е НОК (а1(х),..., а„(х)). Последняя часть теоремы легко доказывается с помощью того же определения. О Унитарный многочлен й(х), являющийся наименьшим общим кратным многочленов а1(х),..., а„(х) Е Р[х] ~ (О), обозначается следующим образом: й(х) = [а1(х),..., а„(х)]. Теперь результаты теоремы 8 можно коротко записать так: [а1(х),..., а„(х)] = [[а1(х),..., а„ 1(х)], а„(х)].
~ 5. Неприводимые многочлены над полем. Каноническое разложение много члена 1. Понятие неприводимого многочлена в кольце Р[х~ есть аналог понятия простого числа в кольце Ж. О предел ен и е 14. Делитель И(х) Е Р[х~ многочлена ~(х) Е Р[х~ называется собственным, если О ( с1ецс~(х) ( дел~(х), и несобственным в противном случае.
Многочлен Дх) Е Р[х~ называется неприводимым над полем Р (или неприводимым в кольце Р[х~), если дел ~(х) > О и Дх) не имеет собственных делителей в кольце Р[х1. Если многочлен ~(х) имеет собственный делитель в кольце Р[х~, то он называется приводимым. Многочлены нулевой степени (т. е. обратимые элементы Р[х)) и нулевой многочлен не являются ни приводимыми, ни неприводимыми многочленами. Так как по утверждению 1 б) степень произведения любых двух многочленов из Р[х~ равна сумме их степеней, то очевидно У т в е р ж д е н и е 5.
Многочлен ~(х) Е Р[х1 приводим тогда и только тогда, когда его можно представить в виде произведения двух многочленов, степени которых строго меньше, чем Йец Дх). Очевидно, что в кольце Р[х~ неприводимы все многочлены первой степени, однако могут существовать неприводимые многочлены более высоких степеней. Ясно, что если Дх) — неприводимый многочлен из Р[х~ степени и > > 2, то он не имеет корней в Р (в противном случае по теореме Безу он имеет собственный делитель степени 1). Обратное утверждение в общем случае (при и > 4) не верно, однако справедливо У т в е р жде н не 6.
Многочлен ~(х) Е Р[х~ степени 2 или 3 тогда и только тогда неприводим над Р, когда он не имеет корней в Р. О Достаточно заметить, что если ~(х) приводим, то он имеет унитарный делитель степени 1, и воспользоваться теоремой Безу. О П р и м е р 2. Если Р = Уг — поле из двух элементов, то в Р[х~ неприводимы многочлены х + х+ 1, х + х+ 1, х + х + 1, так как они г з 3 г не имеют в Р корней. Многочлен х4 + хг + 1 также не имеет корней в Р, но он приводим: х4 + хг + 1 = (хг + х + 1)г ~(х) = ~„ р1(х) ' ... р,.(х) ", (18) Иногда один и тот же многочлен приходится рассматривать как многочлен над разными полями.
Например, многочлен х — 2 Е Я[х) г можно рассматривать и как многочлен над й. В связи с этим следует подчеркнуть, что неприводимость многочлена это не просто свойство самого многочлена, а свойство многочлена по отношению к тому полю, над которым он рассматривается. Так, многочлен х — 2 непривог дим над Я, поскольку его корни иррациональны, но приводим над Й: хг — 2 = (х — ~/2)(х + ~/2). 2.
Для описания свойств многочленов, связанных с их разложением на множители, нужно сначала описать свойства неприводимых много- членов. По аналогии с утверждением 7.1У доказывается У т в е р ж д е н и е 7. Пусть ~(х) е Р[х~ — неприводимый много- . член. Тогда: а) Ча(х) Е Р[х1: (~(х) [ а(х) или (~(х), а(х)) = е); б) Ча(х), Ь(х) Е Р[х~: (~(х) / а(х) . Ь(х)) ~ (Дх) [ а(х)) ими Дх) [ Ь(х)); в) если д(х) Е Р[х~ — неприводимый многочлен, то либо Щх), д(х)) = = е, либо многочлены ~(х) и д(х) — ассоциированы. О 3 а м е ч а н и е 6. Задача о разложении произвольного многочлена из Р[х~ на множители легко сводится к аналогичной задаче для унитарного многочлена, поскольку для любых Дх), а(х), Ь(х) Е Р[х]ЦО~ многочлен ~(х) неприводим над Р тогда и только тогда, когда ~'(х) неприводим, а равенство Дх) = а(х) Ь(х) влечет равенство ~'(х) = а'(х) Ь'(х).
Переход к унитарным многочленам оказывается весьма удобным, поскольку существенно упрощает формулировки теорем и их доказательства. Например, если Дх), д(х) — унитарные неприводимые многочлены, то для них утверждение 7в) имеет вид: либо (Дх), д(х)) = е, либо Дх) = д(х). Для многочленов над полем справедлив следующий аналог основной теоремы арифметики: Т е о р е м а 9. Любой унитарный многочлен а(х) Е Р[х~ ненулевой степени либо неприводим над Р, либо раскладывается в произведение унитарных неприводимых над Р многочленов, причем это разложение однозначно с точностью до перестановки сомножителей.
О (См. доказательство теоремы 7ЛУ.) О Из первого утверждения теоремы 9 следует, что любой многочлен Дх) е Р[х~ степени и > О можно представить в виде: 188 189 где ~„— старший коэффициент ~(х); р1(х),..., р,.(х) — унитарные, не- приводимые, попарно различные (т. е. попарно взаимно простые) многочлены из Р[х~ и й1,..., й,. Е 1Ч. О п р е д е л е н и е 15. Представление многочлена ~(х) в виде (18) называют его каноническим разложением над полем Р. Каждый многочлен р;(х) называют неприводимым делителем Дх), а показатель й, — кратностью р;(х) в каноническом разложении Дх). Многочлены р;(х)~ называют примарными компонентами многочлена Дх).
Из второго утверждения теоремы получаем С л е д с т в и е. Каноническое разложение многочлена ~(х) е Р[х~ степени и ) 0 определено однозначно, с точностью до перестановки примарных компонент: если ~(х) = ~„д1(х)г' ... д,(х)~' — другое каноническое разложение ~(х), то т = з и существует перестановка (г1,...,г,.) Е Р(1,г) такая, что для т Е 1,г выполняются равенства дтп(х) = р|' (х)"' ~ дтп(х) = рг' (х) и ~тп = ~г, Отметим, что по каноническим разложениям двух многочленов из Р[х~ с помощью формул, которые приведены в ~ 3.1Ч, легко находятся их НОД и НОК.
В частности, с использованием понятий канонического разложения и неприводимого многочлена часто удается просто доказывать взаимную простоту многочленов. В основе таких доказательств лежит очевидное У т в е р ж д е н и е 8. Многочлены а1(х),..., а„(х) Е Р[х~ взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общего неприводимого делителя. В качестве примера использования этого утверждения докажем У т в е р ж д е н и е 9. Если ненулевые многочлены а1(х),..., а„(х) Е е Р[х] попарно взаимно просты, и а,(х) = а1(х) ...
а; 1(х) а;+1(х) ... а~(х) для г Е 1,~, то (а1(х),...,ас(х)) = е. О Пусть утверждение неверно. Тогда по утверждению 8 существует неприводимый многочлен ~(х) Е Р[х~ такой, что Дх) [ а;(х) для г Е 1, 1. Отсюда по утверждению 7б) получаем, что ~(х) [ а (х) для некоторого ~ Е 1, $.
Последнее противоречит утверждению 8, так как ~(х) [ а~ (х), а в силу теоремы 8а) (а (х),а (х)) = е. О С использованием теоремы 9 доказывается аналогичная теореме 8.1У Т е о р е м а 10. Для любого поля Р множество унитарных неприводимых многочленов в кольце Р[х1 бесконечно. Ясно, что это утверждение нетривиально лишь для конечных полей и в этом случае из теоремы вытекает очевидное С л е д с т в и е. Если Р— конечное поле, то для каждого натурального т в кольце Р[х~ существует неприводимый многочлен степени п>т.
Более подробно со свойствами неприводимых многочленов над конечными полями читатель познакомится в главе ХХ11. Здесь мы отметим лишь, что в современной прикладной математике весьма важными являются задачи разработки алгоритмов, позволяющих с помощью ЭВМ быстро строить неприводимые многочлены больших степеней над конечными полями и раскладывать многочлены над такими полями на неприводимые множители. ~ 6.
Корни многочленов над полем. Производная 1. Напомним, что, согласно теореме Безу, элемент а е Р есть корень многочлена ~(х) Е Р[х~ тогда и только тогда, когда х — а ~ ~(х). В алгебре и ее приложениях широко используется следующая классификация корней многочленов. О п р е д е л е н и е 16. Кратностью корня а Е Р многочлена ~(х) Е Р[х~ называют число Й е 1Ч со свойствами (х — а)" [~(х), (х — а)"+ ~ Дх), и говорят, что а — простой корень ~(х), если Й = 1, и а — кратный корень Дх), если й ) 1. Очевидно, что кратность корня а многочлена Дх) совпадает с кратностью многочлена х — а в каноническом разложении У(х) над Р. Следующий результат существенно усиливает следствие 1 теоремы 4.
Т е о р е м а 11. Многочлен ~(х) степени и ) 0 над полем Р имеет в этом поле не более и корней с учетом их кратностей, т. е. если а1,..., а~ — различные корни Дх) в поле Р и их кратности равны соответственно Й1,..., И„„то Й1 +... + И, < и. О Так как по теореме 7а) многочлены (х — а1)"',..., (х — о,„)""' попарно взаимно просты и каждый из них делит Дх), то по теореме 7 в) 190 191 (х — а1)~' ...
(х — ак»»)~" ~ ~(х). Отсюда по утверждению 1в) и > >~,+...+~ .и 2. Удобный способ различения простых и кратных корней много- члена в поле связан с понятием производной многочлена. В алгебре это понятие вводится формально, по аналогии с известным из курса математического анализа описанием производной многочлена в К[х]. Напомним, что элементы поля Р как элементы абелевой группы (Р, +) можно умножать на целые числа так, как это делалось в ~ 2.111.
Ниже используются сформулированные там законы ассоциативности и дистрибутивности такого умножения. О п р е д е л е н и е 17. Производной многочлена а(х) = ао+ а1х+... ... + а„х" Е Р~х» называют многочлен а'(х) = а1 + 2агх+... + па„х~" Ц. (19) (а(х) + 6(х)) = а'(х) + 6'(х), (а(х) 6(х))' = а'(х) . 6(х) + а(х)6'(х). (20) О Равенство (19) легко следует из определения 17. Равенство (20) очевидно, если один из многочленов является константой.
Рассмотрим теперь случай, когда а(х) = а х", 6(х) = 6 хк, й, 8 Е 1Ч. По определению (а(х) 6(х))' = (абх"+ )' = (к+ 8)аЬх"+~ 1, т. е. в этом случае равенство (20) верно. Наконец, в общей ситуации, пользуясь равенством (19) и доказанными выше соотношениями, получаем (а(х)6(х))' =~» ~~» ((а~,х")(Ьгх )') = ~» Я((а~х")'(Ьгх )+ ~>о г>о ь>о г>о + (ау,х )~(6|х ) ) = Я (а~х )'~) Ь|х + ю>о г>о + ~~» ау,х" ~~» (6|х )' = а'(х)Ь(х) + а(х)Ь(х)'. О ю>о г>о Несмотря на столь формальное определение, производная сохраняет свойства, известные из курса математического анализа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
