Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 31
Текст из файла (страница 31)
П Из этого результата, в частности, следует, что для комплексного числа г в поле С существует не более и различных корней степени и из г, так как все они — корни многочлена х" — г (см. теорему 11.1У). Отсюда же следует, что если Р— бесконечное поле, то существуют не полиномиальные отображения <р: Р— ~ Р. Например, таково отображение у, принимающее значение 0 на бесконечном множестве точек из Р, но не равное тождественно нулю.
(Докажите!) С л е д с т в и е 2. Если Р— бесконечное поле, то многочлены а(х), Ь(х) Е Р[х] равны тогда и пюлько тогда, когда равны функции ар иЬ ~ 4. Кольцо многочленов над полем. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное В этом и следующем параграфах излагается теория делимости в кольце Р[х] многочленов над произвольным полем Р, аналогичная теории, изложенной в главе 1У для кольца целых чисел Е.
Основное сходство между кольцами Р[х] и Е состоит в том, что, согласно теореме 1 и следствию 1 теоремы 2, кольцо Р[х], как и Е, есть коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором опре- делено понятие деления с остатком и любой элемент можно разделить с остатком на любой ненулевой элемент единственным способом. Для дальнейшего описания свойств кольца Р~х~ и сравнения их со свойствами кольца Е введем О п р е д е л е н и е 9.
Элементы а и 6 коммутативного кольца Я с единицей называются ассоциированными, если 6 = иа для некоторого обратимого элемента и е Я. Читатель без труда проверит, что отношение ассоциированности элементов есть отношение эквивалентности на Я. Очевидно, что ассоциированность чисел а,Ь е Е эквивалентна равенству ~а~ = ~6~, которое, в свою очередь, эквивалентно условию: а ~ Ь и Ь ~ а, Эти результаты переносятся на кольцо Р~х~ следующим образом.
У т в е р ж д е н и е 2. В кольце Р~х~ обратимы все многочлены нулевой степени и только они. Для многочленов а(х),6(х) Е Р~х~ следующие утверждения эквивалентны: а) а(х) и 6(х) ассоциированы; б) а(х) ~ Ь(х) и Ь(х) ~ а(х); в) а(х) / Ь(х) и с1еяа(х) = с1еяЬ(х). О Если и(х) Е Р~х~ и и(х)о(х) = е, то по утверждению 1 в) с$ея и(х) + + саяе(х) = 0 и йеяи(х) = О.
Обратимость и(х) при условии деди(х) = = 0 очевидна. Импликация а) ~ б) очевидна. Импликация б) ~ в) легко получается с использованием утверждения 1 в). Наконец, при условии в) справедливы равенства 6(х) = и(х)а(х),с1е8и(х) = О. Следовательно, и(х) Е Р~х~' и в) ~ а). О В кольце Е особую роль играют натуральные числа: множество 1Ч замкнуто относительно умножения и с каждым ненулевым целым числом ассоциировано единственное натуральное. Подмножество с аналогичными свойствами можно выделить и в Р~х~. О п р е д е л е н и е 10.
Ненулевой многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, называют унитарным. Очевидно, что множество всех унитарных многочленов из Р~х~ замкнуто относительно операции умножения, и, так как Р~х~' = Р', то с любым ненулевым многочленом Дх) Е Р~х~ ассоциирован единственный унитарный многочлен, который мы будем обозначать символом ~'(х). Однако аналогия между унитарными многочленами и натуральными числами имеет ограниченную область применения. В частности, ес- ли целое а делится с остатком на 6 Е Я/(О), то остаток г есть либо нуль, либо натуральное число.
Если же многочлен а(х) Е Р~х~ делится с остатком на 6(х) б Р[х]~(0) и остаток г(х) отличен от нуля, то г(х) не обязательно унитарный многочлен. Аналогия между г и г(х) здесь состоит в том, что г удовлетворяет условию 0 < г < ~6~, а г(х) — условию стяг(х) < с1еяЬ(х). Ниже все результаты о многочленах из Р~х~ формулируются по аналогии с результатами о целых числах и излагаются практически без доказательств, которые читателю предлагается восстановить самостоятельно по доказательствам соответствующих результатов из гл.
1У. О п р е д е л е н и е 11. Наибольшим общим делителем (НОД) многочленов а1(х),..., а„(х) Е Р~х~ называют многочлен с((х) Е Р(х~ такой, что: а) с((х) есть общий делитель многочленов а1(х),..., а„(х); б) Ы(х) делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Совокупность всех НОД указанных многочленов обозначают через НОД (а1(х),..., а„(х)). Прежде чем доказывать существование НОД для любого набора многочленов, покажем, что для описания всего множества НОД (а1(х),... ..., а„(х)) достаточно найти один его элемент. У т в е р ж д е н и е 3. а) Если а1(х) = ... = а„(х) = О, то НОД (а1(х),..., а„(х)) = (О); б) Если среди многочленов а1(х),..., а„(х) есть ненулевые и НОД (а1(х),...,а„(х)) ф Я, то для любого с((х) Е НОД (а1(х),... ..., а„(х)) верно равенство НОД(а1(х),..., а„(х)) = (ис((х): и Е Р ), и существует единственный унитарный НОД этих многочленов. О Утверждение а) очевидно.
Докажем б). Из определения 11 следует, что сЦх) ф 0 и ис((х) Е НОД (а1(х),..., а„(х)) для любого и Е Р'. Наоборот, если У(х) е НОД (а1(х),..., а„(х)), то по свойству б) определения 11 У(х) ~ с((х) и д(х) ~ Дх), т. е. по утверждению 2 ~(х) = ис((х) для некоторого и Е Р'.
О Т е о р е м а 5. Если среди многочленов а1(х),..., а„(х) Е Р~х~ есть ненулевые, то для них в Р~х~ существует единственный унитарный наибольший общий делитель. О По утверждению Зб) достаточно доказать существование одного НОД рассматриваемых многочленов. Это делается так же, как и для 182 183 ( ) 5+2 4+2 3+ 2+ +2 х + х +х 6(х) = х5 + х~ «-х х5 + 2х4 + 2х2 + х х +2х х +2х +2х +1 т (х) = 2х + х + х «- 2 4 «2 х +2 х +2х т2(х)=х +2 х2 х+2 О = т4(х) 184 целых чисел, индукцией по параметру и > 2. При и = 2 доказательство проводится с помощью алгоритма Евклида, который для многочленов а~(х) = а(х) и а2(х) = 6(х) ф О реализуется следующим образом.
Если 6(х) ~ а(х), то 6(х) Е НОД (а(х),6(х)). Если 6(х) 1 а(х), то строится цепочка соотношений: а(х) = 6(х)д~(х) + т~(х), О < склеит~(х) < с1е86(х); 6(х) = т~(х)д2(х) + т2(х), О < йеит2(х) < йеит~(х); (16) т~ 2(х) = т~ ~(х)д~(х) + т~(х), О < беат~(х) < йед т~ ~(х). Эта цепочка при некотором й е 1Ч обязательно обрывается соотношени- ем т~ ~(х) = тк(х)д~+~(х), тк+~(х) = О, (17) поскольку степени остатков в (16) образуют строго убывающий ряд чисел из 1%в. йец 6(х) ) йеК т~(х) )... ) йеК т~(х), и этот ряд не может быть бесконечным, а в случае, когда т~+~(х) ф О, к этому ряду можно приписать справа еще один член.
При условиях (16), (17) так же, как и в теореме 2Л~, доказывается, что т4,(х) Е Е НОД(а(х),6(х)). О Т е о р е м а 6. Если с((х) е НОД(а~(х),...,а„(хЦ, то существуют многочлены и~(х),..., и„(х) Е Р~х~, такие, что с((х) = и~(х)а~(х) + ... + и„(х)а„(х). О Индукция по п > 2. При и = 2 нужные многочлены находятся из соотношений (16), (17) точно так же, как это делается в следствии теоремы 4.1Ч для целых чисел. П П р и м е р 1. Пусть Р = Жз — поле вычетов по модулю 3 и требуется найти НОД многочленов а(х) = Х5 + 2Х4 + 2Хз + Х + Х + 2 и 6(х) = = Х + Х + Х и представить этот НОД в виде линейной комбинации а(х) и 6(х) над Р~х~. Выполняя цепочку последовательных делений с остатком, получаем: (а1(х),...,а„(х)) = е.
а1(х)а2(х) ) = [а1(х),аг(х)], 186 187 Таким образом, гз(х) = х+ 2 Е НОД (а(х),Ь(х)~, и для построения многочленов и(х), о(х) Е Р[х], удовлетворяющих соотношению х + 2 = и(х)а(х) + о(х)Ь(х), нужно по правилам, изложенным в ~ 2 1Ч, построить последовательность пар многочленов и1 (х), о~ (х), 1 Е 1, 3, удовлетворяющих соотношению и~(х)а(х) + о~(х)Ь(х) = г~(х). Тогда и(х) = = из(х), о(х) = оз(х). Строим таблицу, аналогичную таблице из ~ 2 1Ч: Отсюда имеем: (хз+2х+1)а(х) + (х +х +2)Ь(х) = х+ 2. уни врный наибольший общий делитель многочленов а1(х),..., а„(х) Е е Р[х], не все из которых равны нулю, обозначим через (а1(х),..., а (х)).
В случае а1(х) =... = а„(х) = 0 положим (а1(х),..., а„(х)) = О. О п р едел ен не 12. Многочленыа1(х),...,а„(х) Е Р[х] называют взаимно простыми (в совокупности), если У т в е р ж д е н и е 4. Многочлены а1(х),...,а„(х) Е Р[х] взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют многочлены и1(х),..., и„(х) Е Р[х] такие, что и1(х)а1(х) +... + и„(х)а„(х) = е. О См. доказательство утверждения 4.1Ч. О Т е о р е м а 7. Для любых многочленов а(х), Ь(х), с(х) Е Р[х] справедливы утверждения: а) ((а(х),Ь(х)) = е и (а(х),с(х)) = е) ~ (а(х),Ь(х) с(х)) = е; б) ((а(х), Ь(х)) = е и а(х) [ Ь(х) с(х)) ~ (а(х) [ с(х)); в) ((а(х), Ь(х)) = е, а(х) [ с(х), Ь(х) [ с(х)) =~ (а(х) .
Ь(х) ) с(х)); г) Иа(х), Ь(х)) = е(х) ф 0) ~ ЦфЯ, -",)";)) = е). О См. доказательство теоремы 4ЛЧ. О О п р е д е л е н и е 13. Наименьшим общим кратным (НОК) многочленов а1(х),..., а„(х) Е Р[х] называют многочлен Й(х) Е Р[х] со свойствами: а) Й(х) — общее кратное многочленов а1(х),..., а„(х); б) если Й1(х) — любое общее кратное многочленов а1(х),..., а„(х), то Й(х) [ Й1(х). Совокупность всех описанных многочленов й(х) обозначается через НОК (а1(х),..., а„(х)), Очевидно, что если среди многочленов а,(х) есть нулевой, то НОК (а1(х),..., а„(х)) = (О). В противном случае справедлива Т е о р е м а 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
