Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 28
Текст из файла (страница 28)
О Таким образом, для нахождения решения системы (3) в рассматриваемом случае можно воспользоваться или формулами (5), для чего понадобится вычислить определители п+ 1 матриц и-го порядка, или формулой (6), для чего понадобится найти матрицу, обратную к А. Оба метода при достаточно больших п являются весьма сложными.
В связи с этим теорема Крамера имеет, в основном, теоретическое значение. в Г. Крамер — швейцарский математик (1704 — 1752). (10) С'х~ = у~, (8) (9) Охг + + Охта — О 160 Ж; 6. Заказ М 573. 161 ~ 2. Системы линейных уравнений над полем Рассмотрим один из наиболее распространенных на практике методов решения систем линейных уравнений над полем, называемый методом Гаусса. Пусть дана система уравнений (3) над произвольным полем. Если А = О,т,т,„, то система совместна только при,В = 0 . При выполнении этого условия любой вектор из Р~"~ является ее решением.
Далее считаем, что А — ненулевая матрица. Приведем расширенную матрицу В = (А,81) к специальному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк, что можно сделать согласно следствию 1 из теоремы ЗХ11. Пусть при этом получилась матрица С = (с;7)„,„~„+ц типа Я(г1,..., г,) . Тогда по следствию из теоремы 1 система (3) равносильна системе уравнений где С' = (ст )ттхтт~ а 7~ последний столбец матРицы С. В зависимости от значений параметров т, г1,..., г„возможны следующие три принципиально различных случая.
1) г, = и+ 1. В этом случае по теореме 7Х11 столбец о1 матрицы В не выражается линейно через столбцы матрицы А, и по теореме 4Х1 система уравнений (3) несовместна. 2) г, < п, т = 71. В этом случае матрица С имеет тип Я(1,2,..., п), а тогда по теореме 7Х11 и ее следствию 1 имеем:,В = Агсг„+1+ ... ... + А~ с„„+1 и система столбцов А~~,..., А~ линейно независима. Отсюда и из утверждения 6Х11 следует, что столбец 71 является единственным решением системы уравнений (3). Следовательно, в рассматриваемом случае система (3) совместна и определенна.
3) г, < 71, т < 71. Рассмотрим в этом случае подробнее систему уравнений (8). Удалив из нее все уравнения вида (если такие есть) и перенеся в оставшихся уравнениях все слагаемые, кроме х,,,..., х,„в правую часть, получим систему уравнений Хат = С1тт 11 — С11 +тХт,,+т —... — Сгт„Хт„т Хат Ст'и+1 Ст т,.+ т Хт,.+ т ° ° ° Ст'т,, Хт„т которая, очевидно, равносильна системе (8).
Подставляя в (10) вместо х,,+„...,х,„произвольные элементы а,„+„...,а,„поля Р, мы одно- значно определим значения а,„..., а,„остальных неизвестных х,,,..., х,„ так, что набор ~а1,..., а„) будет решением системы (10). Нетрудно за- метить, что каждое решение системы (10) можно получить указанным способом. Так как т < л, то система (10) (а потому и (3)) имеет в рас- сматриваемом случае более одного решения. Анализируя случаи 1) — 3), нетрудно заметить, что они характери- зуются следующими условиями: 1) гапеС' < гапдС, 2) гапеС' = гапеС = 71, 3) гане С' = гане С < 71. Так как матрицы С', С строчно эквивалентны соответственно мат- рицам А, В = (А, о1), то, учитывая теорему 1Х11, можно сделать сле- дующий вывод.
При решении системы уравнений (3) методом Гаусса логически возможны следующие взаимно исключающие случаи: 1) гане А ф гане В, система несовместна; 2) гане А = гане В = 71, система совместна и определенна; 3) гапеА = гапеВ < 71, система совместна и неопределенна (при этом все ее решения однозначно определяются наборами значений лишь некоторых 71 — т фиксированных неизвестных). Отсюда получаем ответы на все основные вопросы, связанные с ис- следованием систем линейных уравнений над полем Р. Т е о р е м а 3 (критерий совместности). Система линейных уравне- ний над полем совместна тогда и только тогда, когда рана ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Эту теорему называют теоремой Кронекера — Капелли в честь немец- кого математика Л. Кронекера (1823 — 1891) и итальянского математика А. Капелли (1855-1910). Т е о р е м а 4 (критерий определенности). Система линейных урав- нений над полем имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранги основной и расширенной матриц системы равны числу ее неизвестных. А~ А '1 'т а,,1......а,,„Ь;, В,, а,„1......а,„„Ь;„ В,„ 0 В' = 0......00 0......00 (12) Ах" =0~, (13) 163 162 Т е о р е м а 5. Совместпная и пеопределеппал систпема лииеимых уравнений над нолем Р имеетп бесконечно много решений при бескопечнам поле Р и ц" " решений при ~Р~ = в, где и — число неизвестпных, а т — ранг основной (и расширенной) матрицы системы.
Рассмотрим еще метод решения систем линейных уравнений над полем, основанный на использовании ранговых подматриц матриц этих систем. Пусть дана система (3) с основной матрицей А и расширенной матрицей В = (А,13") и известно, что гапкА = гапяВ = т. Выберем в матрице А произвольную ранговую подматрицу Так как гана В = т и А есть подматрица матрицы В, то А' является ранговой подматрицей и для матрицы В.
Отсюда и из следствий 3 и 6 теоремы 7Х11 легко получить, что система строк В,„..., В;„является базисом системы всех строк матрицы В. Поэтому матрицу В элементарными преобразованиями строк можно привести к матрице вида: Тогда по следствию из теоремы 1 система (3) равносильна системе уравнений А'х" = ~3'", (и) где,У~ — последний столбец матрицы В', а А' получена из В' удалением столбца Д'1. Удалив из системы (11) последние тп — т уравнений вида (9) и перенеся в оставшихся уравнениях в правые части все слагаемые, не содержащие неизвестных х „..., х „получим систему из т уравнений, равносильную системе (3): а;,,х, +...+,, „х„=Ь,, — а,,~,+,х~,,+, —...— а,,~„х~„, а;„~, х~, +... + а~~,,х~,.
= Ь;„— а;„~„+,х~„+, —... — а,, ~„х~.„, в которой (у,» 1,...,.7'„) = 1, п~(у1,..., у,). Подставив в (12) вместо х.„+„..., х „произвольные элементы из Р, мы получим систему т уравнений с т неизвестными х „..., х,, которая по теореме Крамера имеет единственное решение х, = а „...,х.„= = а „. В итоге мы найдем решение (а1,..., а„) системы (12) (а потому и системы (3)). Легко видеть, что таким образом можно получить все решения системы (12). Действительно, если у = (с1,..., с„) — любое решение системы (12), то, заменив в (12) х; нас; при всех ~ е 1,п, получим систему верных равенств, которая свидетельствует о том, что с -„..., с „ есть решение системы, полученной из (12) заменой х „,,..., х „соответственно элементами с „+„..., с „.
3 а м е ч а н и е 1. Вместо того чтобы решать методом Крамера все системы уравнений, получаемые из (12) заменой х „+„...,х~„ всевозможными элементами поля Р, можно решить методом Крамера саму систему (12), считая х „+„..., х „параметрами со значениями из поля Р. В итоге неизвестные х,,...,х „будут представлены в виде аффинных функций от переменных х „+„..., х „. Придавая последним произвольные значения из Р и вычисляя соответствующие значения неизвестных х,,..., х.„получим все решения системы (12), а значит, и системы ~3). 3 ам е ч ан и е 2. Набор неизвестных х „+,,...,х „из правых частей 'г'' уравнений системы (12) называют систамой свободных неизвестпных системы уравнений (3).
В общем случае система свободных неизвестных для системы (3) находится неоднозначно, а определяется выбором ранговой подматрицы в матрице А. ~ 3. Система линейных однородных уравнений 1ь, О п р е д е л е н и е 6. Система линейных уравнений называется фч системой линейных однородных уравнений, если ее столбец свободных :,К" членов является нулевым вектором.
Произвольной системе линейных уравнений (3) можно поставить в соответствие систему линейных однородных уравнений заменив в (3) столбец свободных членов ф нулевым вектором-столбцом 0". Полученная система (13) называется ассоциированной с системой (3). Заметим, что любая система линейных однородных уравнений совместна, поскольку имеет нулевое решение 0~ = (О,..., О)~. В теории систем линейных уравнений системы однородных уравнений играют важную роль вследствие особых свойств их решений и существующей простой связи между решениями произвольной системы линейных уравнений и ассоциированной с ней системы линейных однородных уравнений. Т е о р е м а 6.
Множество М решений системы линейных однородных уравнений (13) с и неизвестны ки над полем Р является подпространством пространства Р® и с1гт М = и — гапд А. О Если гг~,ф Е М, то Агг~ = О~,Аф = 0~ — верные равенства. Отсюда получаем: А(гг" +,В~) = Агг~+ АФ = 0~+0" = 0", А(а~т) = (Агг") . т = 0~ т = 0", т е Р. Следовательно, гг~ +,Ф,гг~ т Е М, и, согласно определению 11Х11, М вЂ” подпространство пространства Р<"~. Найдем базис пространства М. Если гапеА = и, то по теореме 4 система (13) имеет единственное решение — нулевое и базисом пространства М является пустая система векторов. Следовательно, в этом случае йшМ = 0 = и — гапяА, и утверждение теоремы 6 о размерности пространства М верно.
Если же гане А = т < и, то, как и в общем случае, решая систему (13) с помощью ранговых подматриц, получим равносильную ей систему уравнений вида (12) при Ь,, =... = Ь;„= О. Все решения системы (12) находятся известным способом. Придадим ее свободным неизвестным х „„..., х „ произвольные значения из Р: х~„+, — — с~„+„..., х „= с „, и по ним однозначно найдем значения остальных неизвестных: х, =с„...,х„=с„. Расположив элементы с.„...,с „так, чтобы их индексы шли в порядке возрастания, получим решение системы (12): 7~ = (с1,..., с„)~.
Подчеркнем особо, что все координаты вектора 7~, как и любого решения системы (12), однозначно определяются значениями свободных неизвестных х,,..., х „. Найдем указанным образом и — т решений, придавая поочередно одному из свободных неизвестных значение е, а остальным — нуль. Значения неизвестных х1,...,х„(т. е. координаты) в полученных решениях (14) 71 77г) ~7в-г запишем в таблицу 5.
Таблица 5 Из таблицы видно, что в матрице С, составленной из столбцов (14), минор Мс ( '+1'' ' " ~ отличен от О. Тогда по следствию 3 из тео- ~, 1,...,и — т,~ ремы 7Х11 система векторов (14) линейно независима. Покажем, что она является базисом пространства М. Для этого остается показать, что любой вектор из М является линейной комбинацией векторов (14). Пусть а~ = (а1, аг,..., а„)т Е М, т. е. гг~ — решение системы (12). Рассмотрим следующую линейную комбинацию векторов (14): 7 — 71аз-+ +7газ-+ + . +7п- а,.
Так как М вЂ” пространство и 71,...,7„,. Е М, то 7" Е М, т. е. 7~— решение системы (12). Из таблицы 5 видно, что в решении 7" значения неизвестных х „„...,х „равны соответственно а.„+„...,а „. Таким образом, в решениях гг" и 7~ системы ~12) значения свободных неизвестных одни и те же. А так как значения свободных неизвестных однозначно определяют решения, то гг~ = 7", и значит, а~ есть линейная комбинация системы векторов (14). О О п р е д е л е н и е 7. Система решений системы линейных однородных уравнений называется ее Фундаментальной системой решений (ФСР), если она является базисом пространства всех ее решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
