Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 25
Текст из файла (страница 25)
+ е„а„+а( — 1) = д. 145 144 либо системы векторов-строк, либо системы векторов-столбцов длины п. При этом вместо латинских букв со стрелками будем использовать малые греческие буквы без стрелок. Вектор, все координаты которого нулевые, будем называть нулевым вектором и обозначать буквой О. Нулевые вектор-строка и вектор-столбец будут обозначаться соответственно через 0 и 0~. Пусть произвольная система векторов длины п над полем Р. О п р е д е л е н и е 7. Если для некоторых элементов поля Р выполняется равенство: то говорят, что для векторов системы (4) выполняется (имеет место) линейное соотношение (5).
Это соотношение называется тривиальным, если все коэффициенты с1,..., сь нулевые, и нетривиальным в противном случае. Очевидно, что тривиальное линейное соотношение выполняется для векторов любой системы, наличие же нетривиальных линейных соотношений существенно зависит от заданной системы векторов. П р и м е р 3.
Рассмотрим две системы векторов из В„: а) е1,..., е„, 1 б) е|,...,е„,а, где е, = (0,...,0,1,0,...,0),г Е 1,п,а = (а1,...,а„). Из определения операций в пространстве В" имеем: Чс1,..., с„Е В: е|с1 +... + е„с„= (с1,..., с„). выполняется лишь в том случае, когда с1 —— ... = с„= О, т.
е. для век- торов системы а) выполняется только тривиальное линейное соотноше- ние. Для векторов же системы б) наряду с тривиальным выполняется и нетривиальное линейное соотношение О и р е д е л е н и е 8. Система векторов (4) называется линейно зависимой, если для ее векторов выполняется хотя бы одно нетривиальное линейное соотношение. В противном случае она называется линейно независимой. Пустая система векторов по определению считается линейной независимой.
Более подробно: система векторов (4) называется линейно зависимой, если существуют такие не все равные нулю элементы с1,..., с~ Е Е Р, что выполняется равенство (5). Система (4) называется линейно независимой, если для ее векторов равенство (5) выполняется только при В примере 3 система векторов а) линейно независима, а система б) линейно зависима при любом векторе а. Рассмотрим некоторые свойства линейной зависимости. Напомним, что вектор,в называется линейной комбинацией векторов системы (4), если существуют такие элементы т~,..., ть Е Р, что,в = а1т1 +...+антк.
В этом случае говорят также, что вектор,в линейно выражается через векторы а1,..., аь. Т е о р е м а 5 (критерий линейной зависимости). а) Система вехторов (4) при й > 1 линейно зависима тогда и тольхо тогда, когда хотя бы один ее вехтор линейно выражается через остальные вехторы. б) Система, состоящая из одного вехтора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вехтор нулевой. О а) й > 1.
Если система (4) линейно зависима, то по определению 8 найдутся не все равные нулю элементы с1,..., сь Е Р, при которых выполняется равенство (5). Пусть, например, с, ф- О. Так как Р— поле, то в Р существует элемент с, . Умножив обе части равенства (5) на с, и перенеся все слагаемые, кроме а,, в правую сторону, мы выразим вектор а, линейно через остальные векторы системы (4). Обратно, пусть некоторый вектор а системы (4) линейно выражается через остальные ее векторы: а, =а1т1+...+а,,т,, +а,+,т,+, +...+а„т„. , \„, Тогда имеем нетривиальное линейное соотношение: 1,1, а1т1+...
+а 1т 1+а ( — е)+а 1т 1+... +антк = д, и потому система (4) линейно зависима. б) Пусть система (4) состоит из одного вектора ст1. Если ст1 = тт, то выполнено нетривиальное линейное соотношение а~ е = д, и система (ст1) линейно зависима. Если же ст1 у~ О, то равенство ст1с = д может выполняться лишь при с = О, поскольку умножение ст1 на с производится покоординатно и в поле отсутствуют делители нуля. Следовательно, система (ст1) линейно независима. П Обратите внимание на то, что в линейно зависимой системе необязательно каждый вектор выражается через остальные. Примером может служить система векторов ст, О, где ст у~ О.
В ней вектор 0 выражается через ст (д = ст 0), а вектор ст через д не выражается. С л е д с т в и е . Систпема из двух вектпоров ст, ~3 линейно зависима тогда и только тогда, когда эши вектпоры пропорциональны (т. е. ст = =,8 с или,в = а ° с при некотором с Е Р). У т в е р ж д е н и е 3. Если нехотпорая подсистпема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависимц т. е. любая подсистема линейно независимой систпемы линейно независима. П Справедливость утверждения 3 следует непосредственно из определения 8, поскольку любое нетривиальное линейное соотношение для части векторов системы можно дополнить слагаемыми с нулевыми коэффициентами до нетривиального соотношения для всех векторов системы. П У т в е р ж де н и е 4.
Если в системе вектпоров (4) й > 1 и первый вехтпор ненулевой, то она линейно зависима тпогда и только тогда, когда хотя бы один ее вехтпор линейно выражаетпся через предыдущие векторы. П Если какой-либо вектор системы (4) линейно выражается через предыдущие, то система (4) линейно зависима по теореме 5. Обратно, пусть система (4) линейно зависима и (5) есть нетривиальное линейное соотношение для ее векторов. Выберем максимальное ~' Е 1, Й такое, что с. у~ О. Так как ст1 у~ д, то т' > 1, и из соотношения (5) вектор ст. выразится через предыдущие векторы ст1,..., ст 1.
П Выделим особо один практически важный случай утверждения 4. У т в е р ж д е н и е 5. Если систпема векторов (4) линейно независимц то систпема векторов ст1,..., аь„в линейно зависима тогда и только тпогдц когда вектор,З линейно выражаетпся через вехтпоры системы (4).
У т в е р ж д е н и е 6. Если система вектпоров (4) линейно независима и вектор ~3 линейно выражается через вектпоры системы (4), то его предстпавление в виде линейной комбинации векторов из (4) единственно. П Пусть выполняются равенства:,8 = ст1с1+... + аьгь,,В = ст1с~~+ ... + ст1с~1. Вычитая почленно из 1-го равенства второе, получим ст1(с1— — с1)+...+сто(ст, — с~~,) = д. Отсюда и из линейной независимости системы (4) получаем с; = с',, г Е 1, Й.
П О п р еде л е н и е 9. Подсистема Т системы векторов (4) называется ее максимальной линейно независимой подсистпемой, если: а) система Т линейно независима, б) добавление к системе Т любого вектора из системы (4) приводит к линейно зависимой системе. П р и м е р 4. Нетрудно видеть, что максимальными линейно независимыми подсистемами системы векторов ст1 = (О, 0~ 0)1 О2 = (1, 01 0)~ стз ~Оз 11 1) э ст4 (1э 11 1) будут подсистемы (аг, аз), (Й2, а4), (йз, й4). П р и м е р 5. Максимальной линейно независимой подсистемой системы нулевых векторов д, д,..., д является пустая система векторов.
Непосредственно из теоремы 5 и утверждения 5 следует У т в е р ж д е н и е 7. Если система (4) содержит хотя бы один ненулевой вектор, то совокупность условий а) — б) определения 9 эквивалентна совокупностпи условий а) и б'). Любой вектор системы (4) линейно выражается через векторы системы Т. П В связи с этим максимальную линейно независимую подсистему системы векторов называют ее базисом. Далее мы обычно будем использовать этот, более короткий, термин. У т в е р ж д е н и е 8.
Любая конечная система векторов имеет базис. Более того, любую ее линейно независимую подсистему можно дополнить до базиса. П Пусть (4) — любая система векторов и Т вЂ” любая ее линейно независимая подсистема (возможно, и пустая). Рассмотрим всевозможные линейно независимые подсистемы векторов системы (4), содержащие Т, и выберем среди них подсистему с наибольшим числом векторов. Очевидно, что она удовлетворяет условиям а) — б) определения 9, и потому является базисом системы (4), содержащим Т.
П В связи с изучением линейной зависимости систем векторов из Р" (Р~"~) естественно возникают следующие задачи алгоритмического характера: 146 147 Ч,~ Е 1, и: А~ = ~~» А,"'„зь . й=1 (6) (7) 148 149 1) Выяснить, является заданная система векторов линейно зависимой или нет? 2) Выяснить, выражается заданный вектор линейно через векторы заданной системы или нет? 3) В случае положительного ответа на вопрос 2), найти представление указанного вектора в виде линейной комбинации векторов заданной системы. 4) Найти базис заданной системы векторов.
5) Выяснить, является ли базисом системы векторов ее подсистема. 6) Дополнить заданную линейно независимую подсистему системы векторов до ее базиса. В принципе все эти задачи разрешимы и сводятся, по существу, к решению систем линейных уравнений над полем Р, которые мы научимся исследовать и решать в следующей главе. Вместе с тем, для решения задач 1) — 6) можно указать более простые алгоритмы, основанные на использовании алгоритма приведения любой матрицы к ступенчатой или специальной ступенчатой матрице. С этой целью докажем предварительно две теоремы.
Т е о р е м а 6. Если матрицы А, В из Р,„стпрочно эквивалентны, то между спюлбцами матрицы А и между спюлбцами матрицы В выполняютпся одни и ше же линейные соотпношения, т. е. Чс1,..., с„Е Р: (А~1с1 +... + А~ сп = О~) «=> (В1 с1 +... + Вне„= О ). В часшносши, система стполбцов матрицы А линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима соответствующая система стполбцов матрицы В. П По условию и утверждению 7.Ч1 существует такая невырожденная матрица У е Р„,„, что УА = В, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
