Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 20
Текст из файла (страница 20)
)З произведениях (4) наборы вторых индексов (г1, ~г гз) пробегают все 3! перестановок из чисел 1, 2, 3. 3. Произведение (4) берется со знаком "+", если перестановка (~1, гг, гз) — четная, и со знаком "—" в противном случае. Отмеченные факты и положим в основу определения определителя и-го порядка. О п р е д е л е н и е 6. Определителем квадратной матрицы А = = (а; )„„„порядка п над кольцом В называется элемент кольца В, равный алгебраической сумме и. 'произведений вида: соответствующих различным перестановкам (г1,~г,...,г„) Е Р(1,п), в которую слагаемое (5) входит со знаком "+", если перестановка (г1, гг,... ..., г„) четная, и со знаком "-" в противном случае.
Определитель матрицы А далее будем обозначать через ~А~ или, подробнее, Пользуясь введенной в ~ З.П функцией четности о на множестве перестановок, можно записать: ~А~ = ~~) о(г1, гг,..., г„)а1,,аг;,... а„,„, (11 ~12 э"'1ю) где суммирование ведется по всем перестановкам: Правую часть равенства (6) называют каноническим представлением определителя ~А~. Заметим, что определением 6 охватывается и известное из средней школы понятие определителя 2-го порядка: а11 а1г аг1 агг = а11агг — а1гаг1. 1~! = ,'~ б(11,..., ......1„)Ь„,...Ь„...~„, = (н ~' ~~га) б(' ($1 ., 1„..., гп) а1,,...
та„... а„,„= (н э вьв) Е ('1~." ~'~~ тп)а11ь .азу„. ап1„— — Г~А~. П (н з ' зюга) Находить определитель матрицы можно непосредственно по формуле (6), однако, такой способ сопряжен с большими трудностями. Так, уже для вычисления определителя 5-го порядка нам придется вычислить сначала 5! =120 произведений вида а11, аг;,аз;.,а4;,аз;„а затем сложить их с нужными знаками.
Однако в некоторых частных случаях определитель матрицы может быть легко вычислен непосредственно по определению 6. П р и м е р 1. Для треугольных матриц (1) произведение (5) может быть отличным от нуля лишь при 1'1 = 1,1г — — 2,...,1„= и. Отсюда следует, что определитель любой такой матрицы равен произведению элементов главной диагонали. На практике часто вычисление определителя любой матрицы сводят к вычислению определителя треугольной матрицы с помощью свойств определителей. Приведем ряд свойств определителей матриц над коммутативным кольцом с единицей. С в о й с т в о 1.
Если матприца В = (6, )п„п получена из А = (а; )„„„ умножением какой-либо строки на элементп т кольца В, то ~В~ = т. ~А~. Иначе этпо свойстпво формулируютп тпак: общий множитель всех элементпов какой-либо стпроки матприцы можно вынести за знак ее определитпеля. П Пусть В получена из А умножением з-й строки на г. Тогда, пользуясь определением 6 и свойствами коммутативности умножения и дистрибутивности умножения относительно сложения в кольце В, получим: С в о й с т в о 11. Если з-я строка А, матрицы А представляется в виде суммы двух векторов-стпрок А',+А'„то определитель матрицы А равен сумме определителей матриц А' и А", т1олученных из А заменой т з-й строки соотпветственно векторами-строками А'„А",: ~А~ = ~А ~ + +~А" ~.
П Обозначим: яу /Ф т т ъ ла то и и Аэ = ~аэ1э адыгэ ' ' ~ агап)т Аэ = ~аэ1 айаг~ ' ' ~ эп) Как и при доказательстве свойства 1, получим: ~А~ = ~~) б(11,...,1„..., 1п)а11, ... а„„... а„;„= (Ч," 1 ) Й11~ ° ~1э ° ° ° ~1п)а1зз '. (аМ + аэ~ )...апь' (з~,...,з ) — ) б($1,..., 1э,, 1п) а1,,... а'„... ап1„+ (41 °" ° ю~ю ) + ~) б(11, ° ~1ат ° . °,1п)а1;,...а",; ...а„;„= ~А'(+ ~А"~.
П (~1е" э~эа) Заметим, что свойство П очевидным образом обобщается на случай, когда з-я строка матрицы А представляется в виде суммы й векторов- строк при любом й е Я. В этом случае определитель ~А~ разложится в сумму й определителей. С в о й с т в о П1. Определитпель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю. П Пусть в матрице А = (а, )„„„равны й-я и 8-я строки, т. е. ат,,; —— = ась, при всех 1 Е 1, и, и пусть, для определенности й ( 8. Представим определитель ~А~ в виде суммы двух слагаемых: ~А~ = Ь1+Ьг, где Ь1 = ~~) б(11,...,1„)а1,,...ап,„, ($1э".,ъзь) 110 о(дд,...,дт„...,де,...,д„)ад,,...ад,„...ае;,...а„,„ из Ьд слагаемое из Ь2.
<т(дд,..., дг,..., 4,..., д„)ад,,... а~,,... ае,„... а„,„. Так как по условию аы„= аг;„, ае,, = аы, и кольцо В коммутативно, то в силу теоремы 4.11 соответствующие слагаемые отличаются лишь знаком. Следовательно, Ь2 = — Ьд, и потому ~А) = Ьд+Ь2 —— О. П Свойство 1Ч. Если к какой-либо стпроке матприцы А прибавить другую ее стпроку, умноженную на любой элемент из В, то определитпель полученной матрицы будет равен определителю матприцы А. П Пусть матрица В получена из А прибавлением к т'-й строке ее д-й строки, умноженной на т, и пусть, например, д ( д.
Тогда Ад А +тА, А„ Применяя последовательно свойства 11, 1, 111, получим А, = ~А~+т = ~А~+ т О = ~А). тА, При доказательстве следствия теоремы 4.П было показано, что транс- позиция элементов, расположенных на Й-м и т.'-м местах в перестановках из Р(1, п), задает биективное отображение о множества Р(1, и) на себя. По этому отображению можно построить взаимно однозначное соответствие между слагаемыми сумм Ьд, Ь~, сопоставив слагаемому: С в о й с т в о Ч. Если в матприце А поменять местпами две стпроки, то определитель полученной матрицы В будетп лишь знаком отличатпься от определитпел.я матприцы А: ~В~ = — ~А~. П Осуществим перестановку д-й и д-й строк матрицы А, пользуясь преобразованиями матриц, указанными в свойствах 1 и 111.
На основании этих свойств получим: А,+( — А, — А,) А,+А, А +А, А +А, (А +А,)+( — А ) Свойство Ч допускает обобщение. С в о й с т в о Ч1. Если А = (а,~)„„„, (ад,...,а„) — произвольная перестпановка чисел 1,2,...,и и аа1д ° аа1а А' = (7) а,„„д ... а,„„„ А = А,,сд+... + А,„с~, ~ ф (дд,...,д~). то )А') = б(ад,..., а„))А). П Если перестановка (ад,..., а„) имеет ~ инверсий, то по утверждению 3.11 ее с помощью ~ транспозиций можно привести к виду (1,..., и). Для матрицы А' этот факт означает, что ее с помощью ~ перестановок двух строк можно привести к матрице А. Теперь равенство (7) следует непосредственно из свойства Ч. П С в о й с т в о Ч11.
Если какал-либо стпрока матприцы являетпся линейной комбинацией других ее стпрок, то определитпель матрицы равен нулю. П Пусть д-я строка матрицы А является линейной комбинацией ее строк с номерами дд,..., д~, 112 113 (т11" е.тра) (8) а Ь Ь ... Ь Ь а Ь ... Ь А = Ь Ь а ... Ь Ь Ь Ь ... а поскольку таблица ~ ( З1 1 Ь Ь ... а (9) ~А~ = (а + Ь(п — 1)) (а — Ь)" ~АВ~ = ~А) ~В~. 115 114 Тогда, прибавляя к )'-й строке матрицы А ее строки А,,,..., А,„, умноженные соответственно на элементы — с1,..., -ст„получим матрицу В с нулевой т'-й строкой. Ясно, что ~В~ = О. С другой стороны, по свойству 1Ч ~В~ = ~А~. Следовательно, ~А~ = О. П С в о й с т в о ЧП1, Определитпель матприцы, тпранспонированной к А, равен определитпелю матприцы А, тп.
е. ~Ат~ = ~А~. П Обозначим А = (а; )„„„, А~ = (Ь,")„„„. Тогда Ь;~ = а, для г, ) Е Е 1, и, и справедливо равенство: ~А ~ = ~~) о(г1,...,~„)61;,...Ьы„—— (11," ° 1 ) о(г1,..., г„)а;,1... а,„„. (11 ° "1 ) В каждом произведении а;,1... а,„„переставим сомножители так, чтобы первые индексы расположились в порядке возрастания. Тогда их вторые индексы составят некоторую перестановку Ц1,..., )„) Е Р(1, и), и ввиду коммутативности Ж получим равенство: а;,1...
а;„„= а1;, ... а„„. Кроме того, из утверждения 1.П следует, что Ю(~1,..., т ) = Й21,, та) ~" ~) полученаизтаблицы ~ . ''' . ) и г1 ... г„ ) с помощью некоторой перестановки столбцов. В итоге из (8) получим: ~А~~ = ~~) 8(у1,..., )„)а1~, ...а„~„. Заметим, что отображение о: Р(1, и) -+ Р(1, и), сопоставляющее перестановке з = (т',1,..., г„) перестановку о(з) = (т1,..., )„) указанным выше образом, инъективно, а потому и биективно (см.
утверждение 5.1). Действительно, из определения отображения о видно, что в перестановке о(з) число и, есть номер места, на котором находится число й в перестановке з. Значит, если з, з' Е Р(1, и) и з ф з', то найдется такое число Й Е 1, и, которое в з и з' расположено на разных местах, а тогда в перестановках о(з) и о(з') будут находиться различные элементы на месте с номером й, и о(з) Ф о(з').
Следовательно, отображение ст биективно, и потому в (9) суммирование по з = (т',1,...,г„) можно заменить суммированием по о(з) = (~1,...,~„) Произведя эту замену, получим: ~А~~ = ~~) б®,..., )„)а1~,...а„„= )А). П Из свойства ЧП1 следует, что все свойства определителей матриц, доказанные для строк, имеют место и для столбцов. В дальнейшем этим фактом будем пользоваться без оговорок. Приведем пример на использование свойств определителей. П р и м е р 2. Вычислить определитель матрицы: Прибавив к 1-му столбцу матрицы А все остальные ее столбцы и вынеся из 1-го столбца полученной матрицы общий множитель а+6(п— — 1), будем иметь (в силу свойств 1Ч, 1): 1 Ь Ь 1 а Ь ~А~ = (а+Ь(п — 1))~В~, В = 1 Ь а Вычитая 1-ю строку матрицы В из всех остальных ее строк, получим верхнетреугольную матрицу с главной диагональю (1, а — Ь, а— -Ь,...,а — 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
