Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 19
Текст из файла (страница 19)
П Свойства ассоциативности и коммутативности сложения матриц следуют из соответствующих свойств сложения в В. Нейтральным эле- 103 (т~т2)А = т~(т2А), А(ту,т2) = (Ат~)т2, (т~ + тг)А = ту,А+ т2А, ту,(А+ В) = т~А+ т~В, (А~ В)т=Ат+Вт (т~А)тг = т~(Ат2), О т~ =т~ 0=0 А=А.0=0, А(т~ + т2) = Ат~ + Ат2, (А+ В)т~ — — Агу, + Вт~, (т,А)т = т,АГ. Проверьте эти равенства в качестве упражнения. Пользуясь операциями сложения матриц и умножения матриц на элементы кольца В (слева и справа), из заданных матриц А~,..., А~ Е Е В „можно получать матрицы вида: т~А~ + т2А2+... + ткА~, А~т~ + А2т2+...
+ А~ть т, Е В. Такие матрицы называют линейными комбинациями матприц А~,... , А~ над В (соответственно левыми и правыми). 104 ментом является нулевая матрица О „„, а противоположной для матрицы А = (а, ),„„„— матрица — А = ( — а,~),„„„. П О п р е д е л е н и е 3. Транспонированием матприцы А = (а,~.) называется преобразование матрицы А в матрицу Ат = (а~.) „„, в которой а~. = а,, для любых г Е 1,тп, ~ Е 1,п. При этом матрица А~ называется транспонированной к А. Геометрически, транспонирование матрицы — это преобразование симметрии относительно главной диагонали (т. е. прямой линии, проходящей через элементы ап, а22,...). О п р е д е л е н и е 4.
Произведением матприцы А = (а,~)~„„на элемент т е В называется матрица В = (6,~) „„, в которой 6,~ —— а,~т для всех г е 1, тп, ~ е 1, и. Матрицу В обозначают через А.т и называют также результатом умножения А на т справа. Аналогично определяется умножение матриц из В,„на элемент т е В слева, результат обозначается через т А. Если кольцо  — коммутативное, то Ат = тА. Заметим, что умножение матриц из В слева или справа на фиксированный элемент т Е В является унарной операцией на множестве Л Из определений 2 — 4 и свойств операций в кольце В легко следует У т в е р ж д е н и е 2. Для любых элементпов т~, т~ кольца В и матриц А, В Е В„, „выполняютпся равенстпва: О п р е д е л е н и е 5. Произведением матрицы А = (а,.) „„на матприцу В = (6,~)„„~ называется матрица С = (с,")„,„ь, в которой с," = ~ ао6„, г Е 1, т, ~ Е 1, Й.
Обозначение: А В = С или АВ = С. Таким образом, для нахождения элемента с, нужно все элементы г-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы ~-го столбца матрицы В и результаты сложить, или короче, г-ю строку матрицы А умножить на ~-й столбец матрицы В. Если воспользоваться записями матриц через их строки и столбцы, то правило умножения матриц можно записать следующим образом: А~ Ав = (В~1В2...В„) = А А1В~~ А1В2 А1В А2В~ А2В2~ А2В„ АтВ~~ Аш Вг ! А В„ 105 Из определения 5 видно, что умножать матрицу А на матрицу В можно лишь в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Всюду далее в тех случаях, когда говорится о произведении матриц или записывается произведение матриц, указанное условие на размеры сомножителей предполагается выполненным. 3 а м е ч а н и е 1. На первый взгляд правило умножения матриц выглядит искусственным. В действительности к использованию именно такого правила умножения приводят многочисленные применения матриц в теории и на практике. О естественности определения 5 свидетельствует также Т е о р е м а 1. Для любых матприц А, В, С подходящих размеров над кольцом В выполняютпся равенстпва: 1) (АВ)С = А(ВС), 2) А(В+ С) = АВ+АС, 3) (А + В) С = АС + ВС.
АЕ=ЕА=А. в=1 г — — 1 а=1 г=1 в=1 ЕА=А, ВЕ=В г=1в=1 в=1 Е~ „'„)(а), Е~ „'„)(Ь) при а ф О, Ь ф О. (2) (3) 107 106 Если кольцо В коммутатпивно, тпо выполняетпся тпакже равенстпво: 4) (АВ) т ВтАт П Доказываются свойства 1) — 4) непосредственной проверкой. А именно, находят и сравнивают элементы из г-й строки и т'-го столбца матриц в левой и правой частях доказываемого равенства. Докажем для примера свойство 1. С этой целью введем обозначения: А = (а1")тх, В = (Ь;;)пхни, С = (ср)т,хг, АВ = Х = (х р)тхт„ ХС = У = (у»~)тха1 ВС = ~/ = (и1,)»ха, А~/ = 1~ = (и1~)тха.
Для доказательства равенства 1) достаточно доказать, что у, = и, для любых г Е 1,тп,1 Е 1,8. Пользуясь определением 4 и свойствами операций в кольце В,находим: узт' = )' ~~ Хгаевт' = )' ~~(~ а1гЬга)еау' = ~~)' ~~,(а1гЬга)Сар' = = ~~) ~~» а1г(Ьгасар) = ~~) а1г(~~) Ьгвса;) = ~~» авгигу = и1~. Свойства 2 — 4 докажите в качестве упражнения. П Заметим, что произведение двух матриц из В„„всегда определено и является матрицей из В„,„. Следовательно, умножение матриц является бинарной операцией на В„,„при любом и Е 1Ч.
Из утверждения 1 и теоремы 1 следует Т е о р е м а 2. Множество В„„квадратпных матприц порядка и над кольцом В являетпся кольцом относительно от1ераций сложения и умножения матприц. Выясним, в каких случаях кольцо (В„„;+, ) обладает некоторыми дополнительными свойствами. Т е о р е м а 3. а) Кольцо (В„„;+, ) коммутпатпивно в тпом и тполько тпом случае, когда либо 1) и = 1 и  — коммутпатпивно, либо 2) и > 1 и  — кольцо с нулевым умножением. б)Кольцо (В„,„;+, ) являетпся кольцом с единицей в тпом и тполько в тпом случае, когда единица есть в кольце В.
П а) Коммутативность кольца В„„в случаях 1) — 2) очевидна. Докажем обратное утверждение. Пусть кольцо В„„коммутативно. При и = 1 это равносильно коммутативности кольца В. Рассмотрим случай и, > 1. Вычисляя и приравнивая произведения матриц: ЕЫ(а)Е~ хх,~(Ь) и ЕЫ(Ь)Е~'х',~(а), получим аЬ = 0 для любых а, Ь е В.
Следовательно,  — кольцо с нулевым умножением. б) Пусть кольцо В„,„имеет единицу и ею служит матрица е = (е,;) „„„. Тогда из равенства Е~„'„)(а)е = еЕ~„'„~(а) получим: ае11 = е11а = а (1,1) (1,1) для любого а Е В. Следовательно, е11 — единица кольца В. Обратно, пусть кольцо В имеет единицу е. Тогда в В„„есть единичная матрица Е„х„ = Е.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том,что для любой матрицы А из В„„выполняются равенства: Следовательно, Е есть единица кольца В„„. П Легко проверить,что равенства: выполняются вообще для любых матриц А е В„», и В Е В 3 а м е ч а н и е 2. Кольцо В„„является полем лишь в том частном случае, когда и = 1 и В есть поле. В этом случае В„„, по существу, совпадает с В. Тот факт, что при и > 1 В„„не является полем, следует непосредственно из теоремы 3. Однако в этом случае можно сказать больше. А именно, при и > 1 кольцо всегда имеет делители нуля: например, матрицы: Найдем условия разрешимости простейших матричных уравнений АХ = С, ХВ = С, в которых А, В, С вЂ” известные матрицы над кольцом В соответственно размеров тп х и, и х И, тпх й, а Х вЂ” неизвестная матрица подходящих размеров.
Для этого нам понадобится вспомогательное 'У т в е р ж д е н и е 3. Для любых матприц А = (а; ) „„, В = = (Ьц)~х»,, С = (с; ) х», равенстпво АВ = С равносильно любой из следующих систпем соотношений С, = а,1В1 + атгВг +... + а,„В„, г е 1, т; С~~ = ~1~ц+~2Ь2з+... +А~,Ьа~~ 3 ~ 11/с. (4) а11,аг,аз, ° (5) а1,,аг,...а„;„, а11 а1г аг1 агг а„1 а г .. а„„ (6) ап а1г а1з аг1 агг агз аз1 азг азз (т1 гг, ° °, г~) Е Р(1, п). — а|заггаз1 — а1гаг1азз — а11агзазг.
109 108 Доказывается утверждение 3 непосредственной проверкой. Проделайте ее в качестве упражнения. Непосредственно из утверждения 3 следует Т е о р е м а 4. Для матриц над произвольным кольцом В уравнение АХ = С (ХВ = С) разрешимо в том и только том случае, когда столбцы (строки) матрицы С являются правыми (левыми) линейными комбинациями столбцов (строк) матрицы А(В). П Уравнение АХ = С разрешимо тогда и только тогда, когда существует некоторая матрица В = (о, )„„,~, удовлетворяющая равенству АВ = С.
Последнее же равносильно существованию элементов о, е В, удовлетворяющих системе соотношений (3). Для уравнения ХВ = С рассуждения аналогичны, при этом вместо (3) используется (2). П 3 а м е ч а н и е 3. Указанный в теореме 4 критерий разрешимости матричных уравнений носит больше теоретический характер и в общем случае не дает метода решения уравнений. Ниже такой метод будет указан для матриц над кольцом Я и для матриц над полями. ~ 2. Определители матриц над коммутативным кольцом с единицей Зафиксируем произвольное коммутативное кольцо В с единицей е и будем рассматривать квадратные матрицы порядка п над кольцом В.
Как было показано выше, кольцо В„,„таких матриц является кольцом с единицей Е, и потому естественно ставить вопрос об описании обратимых элементов кольца В„„, т. е. обратимых (и х и)-матриц над В. Для его решения введем понятие определителя квадратной матрицы порядка и, или, короче, определителя и-го порядка. С этой целью проанализируем сначала известное из аналитической геометрии понятие определителя матрицы 3-го порядка над полем действительных чисел: = а11аггазз + а1гагзаз1 + а1заг1азг— Рассматривая этот определитель, замечаем следующие факты: 1. Определитель Ь есть алгебраическая сумма 6 произведений вида 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
