Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 16
Текст из файла (страница 16)
.'3'; Пусть а = т(сов2р+ гв1п4)) есть решение уравнения (21). При г = 0 уравнению (21) удовлетворяет лишь число г = О. Поэтому далее будем считать л ~ О. Подставив в (21) числа а и г в тригонометрической форме и воспользовавшись формулой Муавра, получим: т" (сов(пф) + г вш(пф)) = р(сов~р+ г вш ьр).
Отсюда и из утверждения 9 имеем: т" = р, пф = ьр+27гlс, 82 83 ,)))р или ~р + 27гlс где Й вЂ” некоторое целое число, "/р — арифметический корень из действительного неотрицательного числа р. Таким образом, корнями и-й степени из числа г могут быть лишь числа: (р+ 2~гй .. у+ 2~гй а~ =,"/р сов +тяп, /с ~ У,. (22) Непосредственной проверкой, путем возведения в и-ю степень по формуле Муавра, легко убедиться в том, что число (22) при любом целом й является корнем и-й степени из числа г. Выясним, сколько среди чисел вида (22) различных. По теореме 1 любое число й представляется в виде Й = пв+ т, где т Е Е (О,..., и — Ц.
Отсюда и из очевидного равенства а"~+" = а" получаем: ~Д С (ав, а1,..., а„1). С другой стороны, из утверждения 9 следует, ЧтО ЧИСЛа аа, а1,...,ап 1 РаЗЛИЧНЫ. ЗНаЧИт, /г = (Па,а1,...,ап В итоге доказана Т е о р е м а 11. Для любого и Е Я корень и-й степени из комплексного числа: г = р(соа~р+1яп~р) ф 0 имеетп ровно и различных значений и все они находятся ио формуле (22) ири Й = 0,1,...,и — 1. С л е д с т в и е. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратпное уравнение ах~+ Дх+ ~ = О, и его корни находятся ио формуле: —,В+ Ь е =, где сг Е тГ3~: 4о 1.
2а Г1 = (Ц1 Г2 = (11 1Ь П Доказательство проводится по аналогии с выводом формулы для корней квадратного уравнения в Ж. Следует учесть, что здесь множество,/ф — 4о 1 всегда пе пусто. О Рассмотрим несколько подробнее множество Гп всех корней и-й степени из 1. При небольших значениях и, пользуясь формулой (22) при г = 1 = соаО+1а1пО, получим: Га = (1, — 1/2+1~3/2, — 1/2 — 1~3/2), Г4 — — (1, — 1, г, — 1). В общем случае Гп = (евге11" 1еп-1)1 где 27гй .. 27гй еу, = сов — + тяп, /с Е О, и — 1. (23) и и ' У т в е р ж д е н и е 10.
При любом натпуральном и множестпво Г„ всех корней и-й степени из 1 является группой относительно операции умножения комплексных чисел. П Множество Гп замкнуто относительно умножения, поскольку и 1 и 1 с,,( е~) Гп содержит 1 = ев и вместе с каждым элементом еу, — обратный ему элемент е„1,. Ассоциативность операции умножения в Гп следует из ее ассоциативности в С. П С л е д с т в и е. Для любого натпурального числа и существует абелева группа из и элементов.
Отметим одно замечательное свойство группы Гп. Из равенства (23) и формулы Муавра следует, что й Ей = Е11 т. е. все элементы группы Гп являются степенями одного ее элемента Е1. В СВЯЗИ С ЭТИМ ГОВОрят, ЧтО ГруППа Гп ПОрОждавтСя ЭЛЕМЕНТОМ Е1. Возникает вопрос, есть ли в Гп другие элементы, обладающие таким свойством? Прежде чем ответить на этот вопрос, докажем У т в е р ж д е н и е 11. Для любого и Е Я выполняется равенство Гп=ЦГ,, сЦп где объединение множеств Гв берется ио всем делителям й Е Я числа и.
П Обозначим Ц Гв = Кп. Включение Г„с Кп следует из делимости 4п и ~ и. Обратное включение доказывает импликация: е~ =1=реп =1, которая, очевидно, истинна для любого делителя й числа и. П 84 85 Таким образом, среди всех корней и-й степени из 1 содержатся корни из 1 всех меньших степеней, являющихся делителями числа и. Например, имеем: Г1 с Г2 С Г4. В связи с этим естественно выделить из Г„ корни собственно и-й степени из 1. О п р е д е л е н и е 11.
Корень и-й степени из 1 называется примитивным, или первообразным„если он не является корнем т-й степени из1прит<и. Следующая теорема отвечает на поставленный выше вопрос и дает описание всех примитивных корней п-й степени из 1. Т е о р е м а 12. Следующие утверждения эквивалентпны ири любых пЕЯ ийЕО,...,п — 1: а) е~ порождает группу Г, т.
е. Г = (ф е1,..., е", ~); б) еь — примитивный корень и-ой степени из 1; в) число lс взаимно просто с и. П Для доказательства достаточно установить истинность импликаций а) =~ 6) =~ в) =~ а). а) =~ 6). Если еь — не примитивный корень, то е~~ — — 1 при некотором т < и и т > О. Следовательно, еь Е Г, а потому е~ Е Г при любом К е Ж. Следовательно, еь не порождает Г„, и импликация а) =~ =~ 6) истинна. 6) =~ в).
Если (и, й) = с! > 1, то и корень еь — не примитивный, что противоречит условию. в) =~ а). Если (й, и) = 1, то по следствию из теоремы 2 найдутся числа У, ~ Е У, такие, что йУ+ и7 = 1, и потому (lсУ+ тР)з.= з при любом з Е Ж. Следовательно, для любого з Е О, и — 1 имеем: (и3+пУ)в щ ~ ь и~ у~ ев = е1 = е1 =( ) =( ) Таким образом, любой корень е, и-й степени из 1 является степенью корня еь, т. е. еь порождает группу Г„. П В заключение укажем на связь корней и-й степени из любого числа г с корнями и-й степени из 1. Сравнивая формулы (22) и (23), получаем аь = ар еь, lс Е О, и — 1 . Отсюда следует У т в е р ж д е н и е 12. Все корни и-й степени из комплексного числа г получаютпся путпем умножения одного из них на все корни и-й степени из 1. Задачи 1.
Доказать, что при любом целом /с ) 1 и любом и Е Я число а Е О, Й" — 1 можно однозначно представить в виде а = аа+а1/с+а2Й+ +а„1Й", где а; Е О,Й вЂ” 1. (Такое представление числа а называют й-ичным.) 2. Доказать, что при любом целом /с ) 1 и любом и Е Я каждое число а Е О, (и+ 1)! — 1 можно однозначно представить в виде а = ав 1! + а1 . 2! +... + а„и!, где а, Е О, г. (Такое представление числа называют факториальным.) 3.
Пусть а, Ь, т Е Ж и т ф О. Если числа а, Ь дают при делении на т одинаковые остатки, то (а, т) = (Ь, т). 4. Доказать равенство (для любых целых чисел а,, Ь,): (а1,..., а„, Ь1,..., Ь„) = ((а1, Ь1),..., (а„, Ь„)). 5. Если а|,...,а„,Ь Е Ж,и > 2 и (а1,...,а„,Ь) = с!, то существуют такие с2,..., с„е У, что (а1 + с2а2 +... + с„а„, Ь) = с!. 6. Пусть и > 2, а1,..., а„— попарно взаимно простые натуральные числа и Ь, = какао — ' — 'о а. доказать, что (Ьс,..., Ь„) = 1.
7. По каноническому разложению натурального числа найти число и сумму его положительных делителей. 8. В скольких вариантах можно восстановить пару натуральных чисел а, Ь по их НОД и НОК? 9. Пусть и > 2,а1,..., а„Е Ж~(О),с! Е Я. Следующие утверждения эквивалентны: а) (а1,...,а„) = с!; 6) для чисел а1,...,а„число с! является общим делителем вида У1а1 +... + У„а„, где 0'1,..., У„Е Ж; в) с! — наименьшее натуральное число вида У1а1+... + У„а„, У1,... ...,У„е Ж; г) с! — максимальный общий делитель чисел а1,..., а„.
10. Пусть ехр (и) — показатель степени простого числа в в каноническом разложении числа и, и (х] — целая часть числа х Е К. Доказать, что 86 87 [!ой„п] а) ехр (в!) = ~ [~~], (ат 1 ап 1) а(т,п) а = 0(тосе т), а:— 0(шос1 т) <Ф т [ а — Ь. 89 6) ехр (С „) = и — ехр т. 11. Для любых чисел а Е Ж, т, и Е Я справедливо равенство: ( Указание: предварительно доказать равенство (йд + т, й) = (т, й) для любых lс,д,т Е Ж.) 12. Пусть а1,..., а„Е Я, (а1,..., а„) = й, М = 1а1У1 +... + а„У„: У11..., 0'„Е ]Чв). Существует такое в Е Я, что все числа из Я, кратные о, и большие или равные дй, принадлежат М.
13. По аналогии с НОД чисел а1,...,а„определите НОД для бесконечного множества М целых чисел и докажите, что он совпадает с НОД некоторого конечного подмножества чисел из М. 14. Сформулируйте и докажите аналог теоремы о делении с остатком в кольце целых гауссовых чисел (см. задачу 11, РП), определив предварительно в нем понятие о делении с остатком (по аналогии с Ж). 15. Докажите, что отображение т: С => С, определенное равенством т(г) = е, является изоморфизмом поля С на себя.
16. Для корня е), и-й степени из 1 (см. (23)) найти наименьшее натуральное т, при котором е), Е Г~. Глава У КОЛЬЦА И ПОЛЯ ВЫ'ЧЕТОВ В данной главе будут построены бесконечные серии конечных колец и конечных полей, играющих важную роль в математике и ее приложениях. ~ 1. Сравнения целых чисел по модулю Зафиксируем натуральное число т, которое условимся называть модулем. О п р е д е л е н и е 1.
Два целых числа а, Ь называются сравнимыми по модулю т, если они при делении на т дают одинаковые остатки. Утверждение: "а сравнимо с Ь по модулю т" кратко записывается в виде соотношения называемого сравнением. Т е о р е м а 1 (критерий сравнимости). Для любых целых чисел а, Ь: П Разделим числа а, Ь с остатком на т: а = то1+ т1, Ь = тв2 + т2, О < т, < т, г Е 1, 2. Если а = 0(шорт), то т1 — — т2 и разность а — Ь = т(в1 — в2) делится на т.
Обратно, если т ] а — 0, то из равенства а — 0 = т(ц1 — ц2)+(т1 — тг) следует, что т [ т1 — т2. А так как [т1 — т2[ < т, то по утверждению 1 6).1Ч [т1 — т2[ = О, т. е. т1 = т2, или а = 0(шорт). П Т е о р е м а 2. а) Отношение сравнимостпи целых чисел по модулю т является отношением эквивалентности на т. б) Для любых а, Ь, с, о, Е Ж а = 0(шос1т), с = И(шос1т) =« асс = Ьэ о',(шорт), Так как числа т, И взаимно просты, то по теореме 5 6).1У: т ~ (а1 — 01)й =» т ~ а1 — 01. Обратная импликация следует из утверждения 7 в).П1. Теперь осталось применить теорему 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
