Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так, например, Ферма, рассмат- 76 77 2ти ривая числа вида 2 +1, выдвинул гипотезу о том, что эти числа являются простыми при всех натуральных и (проверив ее лишь для и Е 1, 4). Однако позднее Эйлер показал, что число 22 + 1 — составное. В насто2п ящее время числа вида 2 + 1 называются числами Ферма. К настоящему времени известно много составных чисел Ферма и не найдено ни одного нового простого числа Ферма.
Французский математик М. Мерсенн (1588 — 1648) особо интересовался простыми числами вида 2" — 1, называя их совершенными. Теперь они называются простыми числами Мерсенна. Большое внимание математиков привлекла гипотеза Гольд- баха — Эйлера о возможности представления любого четного числа 4 п > 4 в виде суммы двух простых чисел, а любого нечетного и > 7 в виде суммы трех простых чисел.
Для нечетных чисел, больших некоторой константы, эта проблема была положительно решена советским академиком И. М. Виноградовым (1891 — 1982). Для четных чисел она остается открытой. Приведенные здесь проблемы, как и многие другие проблемы теории чисел, носят, на первый взгляд, чисто познавательный характер. В действительности же результаты, полученные в ходе решения проблем теории чисел, не только отвечают на загадки натурального ряда чисел, но и находят применение в самых различных областях науки и техники. Так, например, числа Мерсенна и алгоритмы разложения натуральных чисел на простые множители находят приложения в теории кодирования и в теории линейных рекуррентных последовательностей, метод тригонометрических сумм, созданный И. М. Виноградовым для решения проблемы Гольдбаха — Эйлера, применяется при вычислении неэлементарных интегралов,при исследовании статистических свойств последовательностей и т.
д. х2+1= О. (13) В качестве исходного множества возьмем множество упорядоченных пар действительных чисел: С = ((а, Ь): а, Ь е Ж). Подчеркнем, что две пары (а, Ь), (с,й) из С считаются равными в том и только том случае, когда а = с, Ь = а. Определим на множестве С операции сложения и умножения, положив для любых пар (а, Ь), (с, д) Е С: яовмм полем (кольцам).
Из приведенных выше примеров полей числовыми полями являются Я и Ж. Существует много и других числовых полей. Так, например, нетрудно убедиться в том, что полем является множество чисел (а+ Ь /р: а, Ь е Щ из Ж, где р — фиксированное простое число. Для читателей, знакомых с математикой лишь в объеме средней школы, поле Ж является самым широким числовым полем. Однако в математике и ее приложениях используются и не входящие в Ж числовые поля. Самым широким числовым полем (по определению) считают поле комплексных чисел.
Это поле возникло в результате попыток построить поле, содержащее в качестве подполя поле действительных чисел Ж и лишенное известного недостатка поля Ж вЂ” неразрешимости в нем квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами. Так как этот недостаток объясняется невозможностью извлекать в Ж квадратный корень из — 1, то мы будем строить поле комплексных чисел, исходя из двух основных требований: оно должно содержать подполе, изоморфное полю Й, и корень урав- нения ~ 4.
Числовые поля. Поле комплексных чисел Поле (кольцо), элементами которого являются числа, а операциями — арифметические операции сложения и умножения, называют чис- 4 Х. Гольдбах 11690 — 1764) — немецкий математик. С 1725 г. Жил в России, в 1725— 1740 гг. был секретарем Петербургской академии наук.
78 (а, Ь) + (с, а) = (а + с, Ь + а), (а, Ь) (с, д) = (ас — Ы, ад+ Ьс). (14) (15) Т е о р е м а 9. Множество С с операциями сложения и умножения, определяемьмми равенствами (14) и (15), является полем. В нем содержится подполе, изоморфное Ж, и разрешимо уравнение (13). П Ассоциативность и коммутативность операции сложения в С следуют непосредственно из соответствующих свойств сложения в Ж. Нулевым элементом группоида (С;+) является пара (О, О), а противоположным к (а, Ь) — пара ( — а, — Ь). Следовательно, (С;+) — абелева группа. 79 Ассоциативность и коммутативность умножения в С, а также дистрибутивность умножения относительно сложения, доказываются непосредственной проверкой (которая предоставляется читателю).
Тем же путем легко показать, что единицей кольца (С; +; ) является пара (1, 0), а элементом, обратным к (а, Ь) ф (О, 0), пара (а/аг+Ьг, — Ь/аг+Ьг). Последняя находится из уравнения (а, Ь)(х, у) = (1, 0). Таким образом, С вЂ” поле. Рассмотрим в С подмножество С~ = 1(а,О): а Е В~. Нетрудно видеть, что множество С~ замкнуто относительно операций +, в С, а именно: (а,О)+ (Ь,О) = (а+Ь,О), (16) (а, 0) (Ь, 0) = (аЬ, 0). (17) Отсюда следует, что отображение о: й С~, определенное условием Ча Е Й: о(а) = (а, 0), является изоморфизмом относительно операций +, .
Следовательно, по теореме 6.П1 С~ есть поле, изоморфное полю Й. Для завершения доказательства теоремы остается заметить еще, что уравнению (13) удовлетворяет пара (О, 1). П О п р е д е л е н и е 7. Построенное поле С называется полем комплексных чисел, а его элементы — комплексными числами. Из равенств (16), (17) видно, что операции над числами (а, 0), (Ь, 0), по существу, сводятся к соответствующим операциям над действительными числами а, Ь. В связи с этим естественно отождествить комплексное число (а,О) с действительным числом а и тем самым включить множество й в С. Заметим, что такой способ включения й в С является частным видом более общей конструкции (см.
гл. ХП). Если теперь ввести обозначение (О, 1) = г, то можно будет получить новое представление для любого комплексного числа: (а,Ь) = (а,О)+ (О,Ь) = (а,О)+ (Ь,О)(0,1) = а+6|. В такой форме чаще всего и используются комплексные числа на практике. При этом г называют мнимой единицей, а — действительной частью числа а+ Ьг, Ь вЂ” коэффициентом перед мнимой единицей, Ьг— мнимой частью числа а+ Ьг. Заметим, что название "мнимая единица" за числом г сохранилось лишь в силу исторических традиций, поскольку символ г использовался вначале для обозначения "несуществующего" квадратного корня из — 1. В новых обозначениях равенства (14), (15), определяющие операции сложения и умножения комплексных чисел, примут вид: (а + Ьг) + (с + й) = (а + с) + (Ь + й)г, (а + Ьг)(с+ йг) = (ас — Ы) + (ай + Ьс)г.
Запишем еще в новой форме разность двух комплексных чисел и частное от деления на комплексное число, отличное от 0: (а + Ьг) — (с+ йг) = (а — с) + (Ь вЂ” а)г, а+ Ьг ас+ Ы вЂ” ай+ Ьс. г г+ г г~ (18) с+ с1г сг + дг сг + дг О п р е д е л е н и е 8. Комплексное число а — Ы называется сопряженным к числу е = а + Ьг и обозначается через Г. У т в е р ж д е н и е 8. Для любых комплексных чисел е, е~ имеют место равенства: 1) Т = е, 2) е + е~ = Т+ Г~, 3) й~ = Т Г~. Если е ф О, то выполняется также равенство 4) л ~ = е Равенства (1) — (4) доказываются непосредственной проверкой.
Проделайте ее в качестве упражнения. Наряду с представлением комплексных чисел в виде а+ба в математике и ее приложениях часто используется их представление в тригонометрической форме. Для определения такого представления введем сначала геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Возьмем на плоскости декартову систему координат ХОУ и изобразим комплексное число е = а+ Ьг точкой плоскости ХОУ с координатами а, 6 (см. рисунок). 80 81 )в) = т/ов -Ь Ьв где ъ'ов -Ь Ьв есть арифметический корень ив неотрицательного действительного числа аг + Ьг, а аргумент числа г = а + Ьг' ~ 0 находится из соотношений: а Ь сов(агав) =, игл(агав) —, 0 < агав < 2н.
ов ьЬ2 ов -Ь Ьв Отсюда видно также, что комплексное число г = а+ Ы представимо в виде г = 1г1(сов(агд ~) + г в1п(агя г)). (19) О п р е д е л е н и е 10. Триаонометпричесхой формой хомплехсноао числа г называется любая его запись вида (20) г = р(сов ьр + ь' в1п ьр), где р, ьр Е Й и Р > О. У т в е р ж д е н и е 9. Всяхое хомплехсное число г предстпавимо в тприаонометпричесхой форме. Если л ~ 0 и (20) есть предстпавление его в тприаонометпричесхой форме, тпо р = 1л1, а ьр = атд л+ 27гlс, lс Е Ж.
П Из (19) и очевидного равенства 0 = 0(совО+ гв1пО) видно, что тригонометрическая форма существует для любого г Е С. Пусть теперь л ~ О, и выполняется равенство (20). Разделив обе части равенства (20) на соответствующие части равенства (19) (по формуле (18)), получим: 1 = — соя(ьр — агя г) + г — в1п(ьр — агя ~). Р Р 14 11 В итоге комплексному числу г будет сопоставлена точка М плоскости.
Легко видеть, что это соответствие между комплексными числами и точками координатной плоскости ХОУ биективно, поэтому иногда множество комплексных чисел отождествляют с множеством точек координатной плоскости. О п р е д е л е н и е 9. Расстояние от точки О координатной плоскости ХОУ до точки М, изображающей комплексное число г, называют модулем числа г и обозначают в виде 1г1. Наименьший угол, на который нужно повернуть ось ОХ против часовой стрелки до совпадения ее направления с направлением вектора ОМ, называется аргументом числа ~ ~ 0 и обозначается в виде ага г. Для ~ = 0 аргумент не определяется.
Непосредственно из чертежа 1 видно, что модуль числа г = а+ Ьг находится по формуле: Отсюда имеем: — сов(ьр — агцг) = 1, — в1п(ьр — агцг) = О, Р Р 11 '11 и потому р = 1г1, ьр = агя г + 27гlс, /с е ж. и Тригонометрическая форма комплексного числа полезна тем, что в ней проще, чем в алгебраической форме, осуществляется умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел и извлечение корней из комплексного числа. Т е о р е м а 10. Для любых хомплехсных чисел г1 = р1(сов ьр1 + +2 в1п ьр1) в гг = рг(сов ьрг + 2 в1п ьрг) справедливы равенства: а) г1 ~г = р1рг(сов(ьр1 + ьрг) + ь в1п(ьр1 + ьрг)); 6) г = р (совтьр1+гв1пт~р1), т Е 1Ч. Если же гг ~ О, тпо выполняетпся также равенстпво: в) г1/гг = р1/рг(сов(ьр~ — ьрг) + г яш(ьр1 — ьрг). ',4',,'' П Равенства а) и в) проверяются непосредственно с использованием определения операций над комплексными числами.
Проделайте это в качестве упражнения. Равенство 6) есть следствие равенства а). П Равенство 6) из теоремы 10 называют формулой Муавра в честь английского математика А. де Муавра (1667 — 1754). Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения корня и-й степени >, из комплексного числа ~ = р(сояьр+ гв1пьр), т. е. формула нахождения "Ь)) всех корней уравнения: х" =г (21) относительно неизвестного х. Как и для действительных чисел, множество всех корней и-й степени из комплексного числа г обозначают в .,'";Ф;, виде /Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
