Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 23
Текст из файла (страница 23)
П Для распознавания эквивалентности матриц А, В достаточно найти и сравнить их канонические формы. Дня нахождения матриц У, ~ С л е д с т в и е 1. Матрица А Е У„„обратима тогда и только тогда, когда она представляется в виде произведения элементарных матриц. П Пусть матрица А обратима. Так как А ° К(А), то существуют элементарные матрицы У1,...,У),, ~1,...,Ъг такие, что А = У1...Ц,К(А) ~1... ~г.
По теореме 7 ~А~ = е е (1, — 1). Отсюда и из равенства ~К(А) ~ = = ЙАЙ = 1 следует, что К(А) = Е, и потому А = У1... У),У1... ~г. Если же матрица А есть произведение элементарных матриц, то ясно, что оиа обратима. П С л е д с т в и е 2. Любая обратимая над У матрица А строчно эквивалентна единичной матрице Е. П Из доказанного в следствии 1 имеем: А = У1... У~~~ .. Л~Е.
Это и означает, что А ' Е. П Заметим, что следствие 2 делает возможным нахождение матрицы А 1 с использованием утверждения 8. С л е д с т в и е 3. Для любых матриц А,В Е Ут „равносильны утверждения: а)А В; б) существуют обратимые матрицы У, ~ над Ж такие, что: из (24) при условии А В найдем сначала матрицы У1, К~, Уг, Уг, удовлетворяющие равенствам: У1А~1 — — К(А), УгВУг = К(В). Отсюда с учетом равенства К(А) = К(В) получим: В = Уг У1А~1~г и потому У = Уг 1У1, У = ~~~г 1. Таким образом, задача нахождения матриц У, У из )',24) сводится к случаю, когда В = К(А).
В этом случае У и У можно найти путем перемножения элементарных матриц, соответствующих элементарным преобразованиям, осуществляемым при переходе от А к К(А). Однако процесс этот можно формализовать, если воспользоваться следующим, легко проверяемым равенством Утхт Отхп Етхт Атхв Етхт Отход У УА~ Из него следует, что для нахождения матриц У, У достаточно к мат- рице с Етхт Атхв Овхт Евхп / (25) АХ = В, где А е У „, В е Ут~.
Найдем для А каноническую форму и обратимые матрицы У, У такие, что А = УК(А)У. Умножив обе части уРавнения (25) слева на матрицу У 1, получим уравнение К(А)УХ = У 'В, (26) применить те элементарные преобразования первых т строк и последних п столбцов, которые переводят А в К(А). В итоге получим матрицу и тем самым найдем У, У. П У К(А) Заметим, что приведенным выше алгоритмом можно воспользоваться и для нахождения обратной матрица для А, если она обратима. Действительно, в этом случае К(А) = Е, и из равенства УАУ = К(А) следует, что А 1 = УУ. Канонические формы матриц могут оказаться полезными и при решении простейших матричных уравнений над [Ж]. П р и м е р 4. Решить уравнение 132 133 равносильное (25), т.
е. имеющее с (25) одно и то же множество реше- ний. Так как У вЂ” обратимая матрица, то для решения уравнения (26) достаточно найти все решения уравнения К(А)У = У 'В, (27) с; /6,, если г Е 1,з, увар любое целое число, если г Е з + 1, и. Проверьте это утверждение самостоятельно. Задачи 1. Пусть  — кольцо с единицей. Для любой матрицы А = (а, ) „,х„Е Е В „выполняются равенства: б) Е~" ) АЕ~ '~) = а Е~"~)""" тхт нхн й > ) т'хн~нхг = ~р1~~т'хг ГДЕ Ьlс = р;) р,г) ~,г) О,если 7 ф й, 1,если 7 = Й (6;1, — символ Кронекера). 2. Матрицы, перестановочные со всеми (и х и)-матрицами над коммутативным кольцом В с единицей е ф О, исчерпываются скалярными матрицами, т. е.
матрицами вида аЕ. 3. Являются ли подкольцами кольца матриц В„„(над коммутативным кольцом В с единицей): а) множество всех скалярных матриц; а затем по формуле Х = У 1У найти все решения уравнения (26). Таким образом, решение уравнения (25) сведено к решению значительно более простого уравнения (27), для которого нетрудно указать как критерий разрешимости, так и способ нахождения всех решений, в случае их наличия.
У т в е р ж д е н и е 11. Пусть К(А) = йафб1,...,6~)тх„, где о1,...,о, отличны от О, а о,» 1 = ... — — 6~ — — О, У В = С = (сц)тхй. Тогда уравнение (27) имеет решение в том и только том случае, когда все элементы г-й строки матрицы С делятся на о, при г Е 1, з и равны нулю при г > з. Если уравнение (27) разрешимо, то все его решения исчерпываются матрицами У = (уц)тх~, где б) множество всех диагональных матриц; в) множество всех верхне (нижне)треугольных матриц; г) множество всех матриц с заданным определителем; д) множество всех матриц, в которых первые г строк — нулевые 1 < г < п7 ( а 0 1 4.
доказать, что множество матрица вида ~ ( над полем Ж образует поле, изоморфное полю С. 5. Является ли полем множество матриц вида ~ О 5 над Ж. 6. Для любой обратимой матрицы А над коммутативным кольцом с т-1 1Т единицей выполняется равенство: (А ) = (А ) 7. Доказать равенство 6 1 1 ... 1 аг а2 г а„ 2 а„ а1 а2 1 = П (28) (а,— а ). 1<1<~ <и п — 1 аг н-1 а„ н-1 а1 9. Если в матрице А„х„есть нулевая подматрица размеров й х с и й + ~ > и, то ~А1 = О. 10. Найти сумму произведений всех миноров порядка Й матрицы А„х„на их алгебраические дополнения, 1 < й < и.
е Определитель (28) называют определителем Вандермонда в честь французского математика А. Г. Вандермонда (1735 — 1796). т Равенство из задачи 8 называется формулой Бине-Коши в честь французских математиков Ш. Ф. М. Бине (1786 — 1856) и О. Л. Коши (1789 — 1857). У к а з а н и е. Примените метод полной математической индукции по и.
Для перехода от и к и + 1 следует вычесть из каждой строки предыдущую, умноженную на а1. 8. Доказать следующее утверждение. Для любых матриц А Е В „, В Е В„,ь и натуральных чисел г, з1,... ..., з„, 11, ..., 1„, удовлетворяющих неравенствам г < пип(т,п,й), 1 < з1 « ... з„< т, 1 < 11 « ... ~, < и, справедлива формула 7 134 135 11. Доказать, что матрицы А„„„, В„„„обратимы тогда и только тогда, когда обратима матрица С = АВ. При этом С ~ = В ~А 12. Даны матрицы над У' — 2 2 3 — 3 2 3 4 5 А~ = -4 1 4 2 А2= -3 -4 2 -6 — 3 2 4 5 3 5 14 9 1 2 1 3 В= 4 — 3 2 — 5 — 2 1 3 4 а) Найти канонические формы матриц А~, А2 и такие обратимые над У матрицы У,, К, что У,АЯ = К(А,), г = 1,2.
б) Решить матричные уравнения АгХ = В, г' = 1, 2, над У. 13. Являются ли обратимыми матрицы над У' , А~ —— В случае положительного ответа найти соответствующую обратную матрицу. — 3 3 5 — 4 — 4 5 8 — 4 3 4 — 2 — 3 — 3 — 5 3 5 2 3 4 3 — 2 2 1 — 5 — 2 3 1 2 — 2 — 3 ? — 1 4 А = (а~,а2,...,а„), 6~ = а„ Глава 'Ч11 МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ В данной главе мы более подробно изучим матрицы над произвольным полем Р. Обратимость всех ненулевых элементов поля Р дает возможность найти сравнительно простые алгоритмы решения таких задач о матрицах, для которых в общем случае (т.
е. над произвольным коммутативным кольцом с единицей) алгоритмы решения или неизвестны или более сложны. Так, например, для матриц над полем можно указать несложный алгоритм распознавания их эквивалентности, в то время как в общем случае алгоритм решения такой задачи неизвестен. Полученные здесь результаты о матрицах будут применены в следующей главе к исследованию и решению произвольных систем линейных уравнений над полем. В качестве основного средства изучения матриц над полем будут использоваться элементарные преобразования систем их строк и столбцов.
Вектор-строки и вектор-столбцы над полем Р условимся обозначать латинскими буквами с горизонтальной и вертикальной стрелкой, например, 136 Элементы векторов будем называть их координатами. Множество всех векторов-строк (столбцов) длины п над полем Р обозначим через Р" (Р®). Для векторов из Р" (Р®), как для матриц, определены операции покоординатного сложения и умножения на элементы поля Р. О п р е д е л е н и е 1. Множество векторов-строк Р" (векторов- столбцов Р®) с операциями сложения векторов и умножения векторов на элементы поля Р называют п-мерным арифметическим пространством над нолем Р. Понятие и-мерного арифметического пространства является естественным обобщением понятия трехмерного пространства Рз, изучаемого в школе и в аналитической геометрии.
Действительно, при фиксиРованной системе координат каждый вектор из Рз определяется упорядоченной тройкой действительных чисел (координат) и потому Рз можно отождествить с множеством Жз. При этом соответствующие операции 137 сложения векторов из Жз и их умножения на числа из Ж осуществляются также покоординатно. Этой связью Р с Пз объясняется проникновение в алгебру геометрических терминов "вектор", "пространство" и др. ~ 1. Ранг матрицы Зафиксируем произвольное поле Р и будем рассматривать матрицы над полем Р.
В этом случае обратимыми в кольце матриц Р будут все матрицы с отличными от нуля определителями. Они называются также невырожденными. Матрицы с определителем, равным нулю, называют вырожденными. В ряде задач и, в частности, в задаче исследования и решения систем линейных уравнений важную роль играют невырожденные подматрицы данной матрицы. Наибольший порядок таких подматриц называют рангом матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
