Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Из свойства 1Ч с учетом примера 1 имеем: ~В~ = (а — 6)" 1, и потому В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о вычислении определителя произведения квадратных матриц. Т е о р е м а 5. Определитпель произведения двух квадратпных матприц равен произведению определитпелей этпих матприц: Отсюда по свойству У1 имеем: (11 а" ° а1аа) а„д Вд + а,гВг +...
+ а„„В„ (11 а" ° а1аа) а„д Вд + а„гВг +... + а„„В„ ад;,В,, аг,,В,, В,, В„ 1С! = ад;, аг, а„;„ а„,„В;„ 11а...,1ааЕД,11 11 а...,1„ЕД,11 В,„ ад1 а ~й В,, В4, ~С~ = ~~ ад,,...а„,„ 'дд дд (10) (11 а" а1аа) В,„ 116 117 П Пусть А = (а, )„„„, В = (О, )„„„, С = АВ, Из соотношений (2) имеем: аддВд + адгВг +... + ад„В„ агдВд + аггВг+ .. + аг В„ Так как первая строка матрицы С есть сумма и векторов-строк, то, пользуясь обобщением свойства 11 определителей, разложим определитель ~С~ в сумму и определителей для матриц вида: ад,,В,, агд Вд + аггВг + ..
+ аг~В„ , гд61,п. Определитель каждой из этих матриц снова можно разложить в сумму и определителей по 2-й строке, и т. д. В итоге определитель |С~ будет представлен в виде суммы и" определителей: Здесь каждый индекс д„в е 1, п независимо от остальных индексов пробегает все множество чисел 1,п. Заметим, что в последней сумме многие слагаемые равны нулю. А именно, всякое слагаемое, соответствующее набору индексов гд, дг,..., д„, содержащему хотя бы два одинаковых элемента, равно нулю по свойству П1 определителей. Поэтому в последней сумме можно оставить лишь те слагаемые, которые соответствуют наборам различных индексов, т.
е. перестановкам из Р(1, и): ~С~ = ~~) ад,,...а„,„д(гд,...,д„)~В~ = о(дд,..., а„)ад,, ... а„;„~В~ = ~А~ . ~В~. П 3 а м е ч а н и е 4. Все изложенные здесь свойства определителей (включая теорему 5) справедливы и для матриц над коммутативным кольцом В без единицы. Выясните, в каких из приведенных здесь доказательствах появятся дополнительные трудности и постарайтесь преодолеть их. ~ 3. Подматрицы матриц. Миноры и их алгебраические дополнения В данном параграфе будет показано, как вычисление определителя и-го порядка можно свести к вычислению определителей меньших порядков.
При этом матрицы будут рассматриваться над произвольным коммутативным кольцом В. О п р е д е л е н и е 7. Подматирицей матрицы А называется любая матрица, полученная из А удалением некоторых ее строк и столбцов. Подматрипу, полученную из А удалением всех строк, кроме строк с номерами гд < ... < гд„ и всех столбцов, кроме столбцов с номерами гд ( ... с ~е, будем обозначать через О п р е д е л е н и е 8. Определитель квадратной подматрицы / дд,...,дд, 1 А ~ .д' ' ' ' ' .
/ матрицы А называется минором й-го порядка матрицы ЗД1 аЗй ,l А и обозначается: а;,~,а,,~,...а;д„ а;,,а,,,...а;, „ 11 ,~Ь а;„,а;„,...а,„.„ см, ( "." ".' ) . СМ Таким образом, (в>,...,вв ) ЕР(1,3с) б(з1> ° ° ° > з>>) = б(3в» ° ° > 3вв). 118 119 Про этот минор говорят также, что он находится в строках номерами г1,..., г1, и в столбцах с номерами 71,..., Ь матрицы А. Из определения 8 видно, что для А = (а;~)>„„„ Укажем каноническое представление этого минора. Утверждение4.ЕслиА=(а,) „„, 1<г1«...4<и, 1 < 71 «...
71, < п, то мА( . ) = 1 щ,...,»)а;„,... >,„, )и) (Ф»" >~в)ЕР()>э" >>в) П Введя обозначение а;„. = о„для т, з Е 1, й и воспользовавшись формулой (6), получим: МА . ' ' . = ~, б(З1> ° ° >ЗЬИ1в> ° ° а~вв = .71> ° > Яй (в>,...,вв)ЕР(1,й) б(з1,..., з),,)а,д.... а,„.„.
Е Так как 71 « ... 71„то неравенство 7' < 7'ь равносильно неравенству а < о. Следовательно, в перестановках (з1,..., з„) и (7'„,..., 7,„) содержится одно и то же число инверсий, и потому Кроме того, соответствие (з1,..., з„) (7'„,..., 7в„) задает биективное отображение у: Р(1, /с) Р(Я,..., 71,). Следовательно, в последней сумме вместо суммирования по всем перестановкам из Р(1,й) можно суммировать по всем перестановкам множества (71,..., Ь), и потому (Зв,> ° ° ° >3в,) >Д., >,~.„° 21 ° ° ,.7Е / О,", р',,) ЕР(>'>,...,>'в) Теперь осталось заметить, что правая часть последнего равенства отличается от правой части равенства (11) лишь обозначениями индексов суммирования.
П О п р е д е л е н и е 9. Дополнительным минором для минора (10) квадратной матрицы А называется определитель подматрицы, полученной из А удалением строк с номерами ~1,...,4 и столбцов с номерами ®,...,7~). Этот минор будем обозначать: О п р е д е л е н и е 10. Алгебраическим дополнением для минора (10) квадратной матрицы А называется его дополнительный минор, умноженный на ( — 1)" +" +'"+з'+ -+з". Обозначение: СМ ~ .1' ''' .~ ( — — ( — 1))" +-'+'"+ '+"'+ "СМ А~ /=( ) А ~ .)) / ~ .71,"., Ь Приведем формулу, выражающую определитель матрицы А через ее миноры Й-го порядка и их алгебраические дополнения. Т е о р е м а 6 (Лаплас 5).
Для любых фиксированных натуральных чисел й < и, г1 « ... г1, < п определитель квадратной матрицы А = (а, )„„„над кольцом В равен сумме произведений всех ее миноров порядка й, содержащихся в строках с номерами г1,...,гь, на их алгебраические дополнения, т. е. )А)= 1' МА( .>' ~ )СМА( .. ) (>>) П 1. Рассмотрим сначала случай, когда ~1 —— 1,..., г1, = й. Обозначим в этом случае правую часть равенства (12) через Ь и будем вычислять ее, пользуясь определениями миноров и их алгебраических дополнений: 5 П.
С. Лаплас — французский математик и физик (1749 — 1В27). (16) ауб,.Ас — — О при г, й Е 1, п, г ф й; (17) ~~) а, А,~ = О при ~, Й Е 1, и, ~ ф й. 1=1 (18) ~А~ О ... О О 1А~ ... О АА* = А*А = О О 122 123 3 а м е ч а н и е 5. Ясно, что теорема Лапласа останется верной, если вместо й вьщеленных строк матрицы взять й столбцов. В качестве отдельного утверждения вьщелим один практически важный частный случай теоремы Лапласа, когда Й = 1. В этом случае минор Мл ) матрицы А = (а,з)„„„совпадает с ее элементом а„, и потому его алгебраическое дополнение называют алгебраическим дополнением элемента а„и обозначают также через А„. По определению 9 для нахождения А„нужно удалить из А г-ю строку и з-й столбец, вычислить определитель полученной матрицы и умножить его на ( — 1) "+'.
С л е д с т в и е 1. Определитель матрицы А = (а, )„„„равен сумме произведений всех элементов любой строки (любого столбца) матрицы А на их алгебраические дополнения: ~А~ = ~~ ацА,, г е 1,п; ~А~ = Я а,~А,з, г Е 1,п. Правые части равенств (16) называются разложениями определителя А соответственно по г-й строке и ~-му столбцу.
С л е д с т в и е 2. Сумма произведений всех элементов любой строки (любого столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (другого столбца) этой же матрицы равна нулю, т. е. для А = (а; )„„„ О Рассмотрим вспомогательную матрицу В = (Ь;.)„„„, которая получается заменой в А г-й строки ее Й-й строкой ~при сохранении неизменными остальных строк). Разложим ~В~ по г-й строке. По следствию 1 получим: Так как в матрице В есть две равные строки, то ~В~ = О, и поэтому выполняется равенство я > Ь,В; =О. (19) з=1 Теперь заметим, что Ь,.
= ац, В; = А,, для всех ~ Е 1, п. Произведя в равенстве (19) указанную замену, получим равенство (17). Аналогично доказывается равенство (18). П ~ 4. Обратимые матрицы. Критерий обратимости Рассмотрим кольцо В„„квадратных матриц порядка п над коммутативным кольцом В с единицей е и найдем все его обратимые элементы.
Т е о р е м а 7. Матрица А е В„„обратима в кольце В„„то- , $; гоа и только тогда, когда ее оиргдглитель ~А~ леллетсл обратиммм элементам кагьиа Л. П Пусгь мвгрвцв А обрвгвмв в кольце П„л, г. е. двв нее сущесквуег матрица А 1, удовлетворяющая условию: АА ' =А 'А=Е, где Š— единичная матрица из В„,„. Отсюда и из теоремы 5 имеем: ~А~ )А ~~ = ~А ~) ~А) = е. Эти равенства означают, что ~А 1~ есть обратный элемент для ~А~, т. е. ~А~ — обратим в В и ~А~ 1 = ~А 1~. Обратно, пусть |А~ — обратимый элемент кольца В. Построим матрицу А* = (С; )„„„, в которой С; = А;. Непосредственным перемножением матриц с использованием следствий 1 и 2 из теоремы Лапласа, получим: г) Ф; ,'Р ~ чК' Отсюда следует, что А (~А~ 1 А') = (!А~ 1 А') А = Е, т. е.
матрица )А~ А' является обратной для А, и матрица А обратима. П Матрицу А* называют взаимной к А. В доказательстве теоремы указан и алгоритм нахождения обратной матрицы для А: сначала надо в А каждый элемент заменить на его алгебраическое дополнение, затем полученную матрицу транспонировать и в полученной таким образом матрице А* каждый элемент умножить на !А~ В следующей главе для матриц над полем будет указан более простой алгоритм нахождения обратной матрицы.
С л е д с т в и е. Если А, В Е В „и АВ = Е, то В = А 1. П Так как АВ = Е, то по теореме 5 !А~ !В! = е, а потому и ~В~ )А~ = е, (в силу коммутативности кольца Л). Значит, элемент !А! обратим в В, а тогда по теореме б обратима и матрица А, т. е. существует А 1 е В„,„. Умножив обе части равенства АВ = Е слева на А 1, получим искомое равенство В = А 1. П 8 5. Элементарные преобразования матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
