Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Приведем более традиционное О п р е д е л е н и е 2. Рангом ненулевой матрицы А называется наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Обозначение ранга матрицы А: гапяА. П р и м е р 1. Очевидно, что ранг матрицы Е~*~~ равен единице, ранг любой невырожденной матрицы из Р„,„равен и, ранг матрицы Йа~(а1,...,а~)~„„, где 1 = 1п1п(т,п), равен числу ее ненулевых элементов. О п р е д е л е н и е 3. Подматрица наибольшего порядка среди всех невырожденных подматриц матрицы А называется ее ранговой подматрицей.
Заметим, что во всех матрицах предыдущего примера существует единственная ранговая подматрица. В общем же случае их в заданной матрице может быть много. П р и м е р 2. Легко проверить, что ранг матрицы 2 4 3 4 А= 1 2 — 1 3 1 2 4 1 равен 2, и число ее ранговых подматриц равно 15. (Проверьте!) Способ вычисления ранга матрицы, основанный непосредственно на опре- делении 2, связан с перебором и вычислением большого числа миноров. Естественно возникает мысль: нельзя ли предварительно как-то упростить матрицу, не изменяя ранга, а затем найти ранг полученной матрицы? Эта идея приводит к более простому методу вычисления ранга.
Т е о р е м а 1. Если матрицы А и В эквивалентны, то их ранги равны. П Пусть матрицы А и В эквивалентны и гап~ А = й. Согласно определению 2 в матрице А для любого К ) й или совсем нет миноров порядка 8, или все они равны нулю. Тогда по следствию теоремы 8.Ч1 то же самое верно и для матрицы В.
Следовательно, гащ В < к т. е. гащВ < гащ А. Так как отношение эквивалентности матриц симметрично, то имеем также неравенство гащА < гащВ. Следовательно, гащА = гапяВ. П С л е д с т в и е 1. Ранг произведения матриц не превосходит рангов матриц-сомножителей.
П Действительно, если С = АВ, то, согласно утверждению 3.Ч1, строки матрицы С являются линейными комбинациями строк матри/В~ цы В. Поэтому матрицу ~ ) можно элементарными преобразовани/в~ ями строк привести к виду ~ ). Используя этот факт и очевидные соотношения между рангами матриц, получим: ГВ1 В гапя С < гапя ~ С ) = гапа О = гащВ. Аналогично из соотношений (3) гл Ч1 для столбцов матрицы С получим: гапа С < гап~ А. П С л е д с т в и е 2.
Если С = АВ или С = ВА, где А — квадратнал невырожденная матрица, то гащ С = гап~ В. П По следствию 1 гащС < гащВ. А так как В = А 1С или В = СА 1, то снова по следствию 1 гащ В < гапд С. Значит, гап~С = .=гащВ. П О п р е д е л е н и е 4. Ненулевая матрица Я = (э, )~„„называется ступенчатой матрицей типа Я(г1,...,г„), где т Е 1,т, 1 < г1 < ... ° ° . < г„< и если: 1) э1в1~ э2вя~ 1эт-ь', Ф 01 2) эг~ — — О при К > т,1 Е 1, и и при К Е 1,т, 1 < гг. Нулевая матрица также считается ступенчатой.
138 139 Жабе,..., е,О, 0)1т~хп ь111 Ь2,, 0...0 0...0 0...0 Ь~т~+1;, ч ...ч О "О ь14, 0...0 0 В' = 0...0 0 141 140 В подробной записи ступенчатая матрица типа Я(т'1,...,т'„) Е Р имеет вид: 0...0 з11,...* 0...0 0...0 з~1,...ч ч ч ...~ 0...0 0...0 0...0 з„,, ч ...ч 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 где з1,„з~,„..., з„,„у~ О, а на месте звездочек могут находиться любые элементы поля Р. Из приведенной записи матрицы Я видно, что ( 1,...,г ее минор Мэ ~ . ' .
) отличен от нуля, а все миноры более высо- ~ т1,...,г„ ) ких порядков, если они существуют, равны нулю. Следовательно, ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Т е о р е м а 2. Любую матприцу А над полем Р можно элементпарными преобразованиями стпрох привестпи х стпупенчатпой матприце. П Докажем теорему индукцией по числу т строк матрицы А. При т = 1 матрица А сама ступенчатая, и утверждение теоремы верно. Допустим, что оно верно для любой матрицы, состоящей из т строк, и докажем его для матрицы А Е Р +1 „.
Если А — нулевая матрица, то она ступенчатая и утверждение верно. Пусть А ф 0 и А~ — самый левый ненулевой столбец матрицы А. Переставляя (если нужно) строки матрицы А, мы, согласно утверждению 7 6).Ч1, получим строчно эквивалентную А матрицу В вида: в которой Ь1,, ф О. Прибавляя к 8-й строке матрицы В для каждого 8 Е 2, т+ 1, ее 1-ю строку, умноженную на — Ь|;,Ь1...
получим матрицу Так как число отрок матрицы А1 равно т, то по предположению ицдукции она строчно эквивалентна ступенчатой матрице. Произведя соответствующие преобразования строк матрицы В', мы приведем А1 к ступенчатому виду, не изменив 1-ю строку и первые т'1 столбцов матрицы В'. В итоге В' преобразуется в искомую ступенчатую матрицу. П Теорема 2-делает содержательным и полезным для нахождения ранга матриц У т в е р ж д е н и е 1. Ранг произвольной матрицы над полем равен числу ненулевых стпрох в любой эхвивалентпной ей стпупенчатпой матприце.
П Справедливость утверждения 1 следует непосредственно из теоремы 1 и совпадения ранга ступенчатой матрицы с числом ее ненулевых строк. П ~ 2. Каноническая форма матрицы О п р е д е л е н и е 5. Каноничесхими матприцами над полем Р называются нулевая матрица и все матрицы вида: Заметим, что каноническая матрица является ступенчатой и ее ранг равен числу единиц на главной диагонали. Т е о р е м а 3. Для любой матприцы А над полем Р сущестпвуетп единстпвенная эхвивалентпная ей ханоничесхая матприца. Она называетпся ханоничесхой формой матприцы А и обозначаетпся через /С(А). О Если А — ненулевая матрица, то она уже каноническая. Пусть теперь матрица А отлична от нулевой.
Приведем сначала матрицу А элементарными преобразованиями строк к ступенчатой матрице. Пусть при этом получилась матрица (1). Умножив ее 8-ю строку на з~,.~ для всех 8 Е 1, г, получим матрицу с единицами на местах: Вычитая последовательно ее строки с номерами 2,..., т, умножен- ные на подходящие элементы, из предыдущих строк, получим матрицу гд 22 г„ 0...0 е е...е 0 е...е 0 е...е 0...0 0 0...0 е е...е 0 е...е (2) 0...0 0 0...0 0 0...0 е е...е 0...0 0 0...0 0 0...0 0 0...0 Теперь, вычитая столбцы с номерами дд,д2,...,д„, умноженные на подходящие элементы, из последующих столбцов, заменим нулями все элементы, обозначенные в (2) звездочками.
После этого перестановкой столбцов, поставив столбец с номером гд на 8-е место для 8 = 1 ... т получим каноническую матрицу К, эквивалентную исходной матрице А. Единственность такой матрицы следует из совпадения числа единиц на ее главной диагонали с рангом матрицы А. П О п р е д е л е н и е 6. Матрицу вида (2) назовем специальной ступенчатой матрицей шипа Я(дд,..., д„). Из доказательств теоремы 3 получаем С л е д с т в и е 1. Любая ненулевая матрица над полем строчно эквивалентна специальной ступенчатой матрице. Выделим в виде самостоятельного утверждения важный частный случай следствия 1. С л е д с т в и е 2. Любая квадратная невырожденная матрица над полем строчно эквивалентна единичной матрице.
Наличие алгоритма приведения невырожденной матрицы к единичной путем элементарных преобразований строк делает возможным применение метода нахождения обратной матрицы, указанного в утверждении 8.Ч1, к любой невырожденной матрице над полем. Точно так же, как и следствие 1 теоремы 10.Ч1, доказывается С л е д с т в и е 3.
Квадратная матрица над полем обратима тогда и только тогда, когда она представляется в виде произведения элементарных матриц. Используя теоремы 1 — 3, нетрудно получить ряд критериев эквивалентности матриц над полем Р, некоторые из которых сходны с критериями эквивалентности матриц над Я (см. следствие 3 теоремы 1О.Ч1). Т е о р е м а 4. Для любых матриц А, В Е Р „равносильны следующие утверждения: а)А В; б) существуют такие невырожденные матрицы У Е Р„,п„~~ Е е Р„,„, что В= УАд; (3) в) гани А = гани В; г) lС(А) = 1С(В). П Для доказательства теоремы достаточно доказать цепочку импликаций: а) =~ б) =~ в) =~ г) ~ а). Импликации а) ~ б), б) =~ в), г) ~ а) следуют соответственно из утверждения 6.Ч1, следствия 2 теоремы 1, теоремы 3. Импликация в) =~ г) следует из существования канонических форм и совпадения ранга матрицы с числом единиц в ее канонической форме. П Одно из принципиально важных приложений канонических форм матриц указывает У т в е р ж д е н и е 2.
Сущесшвуепд алгоритм, позволяющий для любых матриц А,В над полем Р выяснять, эквивалентны они или нет, и в случае положительного ответа находить невырожденные матрицы У, У, удовлетворяющие условию (3). Доказывается утверждение 2 точно так же, как и следствие 3 теоремы 10 Ч1. ~ 3. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов В аналитической геометрии при изучении плоскости Рг и пространства Рз важную роль играют понятия коллинеарности и компланарности векторов. Так, например, неколлинеарные системы векторов и только они являются базисами пространства Р2.
Обобщением понятий коллинеарности и компланарности векторов в п-мерных арифметических пространствах является одно из важнейших для всей математики понятий — понятие линейной зависимости векторов. Многие результаты из теории линейной зависимости векторов излагаются сходным образом для пространств Р" и Р<">. В связи с этим при изложении общих вопросов о линейной зависимости мы будем говорить просто о системах векторов длины п, подразумевая под этим 142 143 (4) а11 ° 3 ай с1=...=с~=О. (5) а|с1 + а2сг +... + ааспб = д, Следовательно, соотношение: е|с1 +... + е„с„= д е1а1 +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
