Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Возьмем любой из них ст1. Если 8 = 1, то процесс окончен. В противном случае, в К есть векторы, не выражающиеся линейно через ст1. Возьмем любой из таких векторов ст2. Продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим систему из $ векторов ст1, ст2,..., сто. По утверждению 4 любая такая система линейно независима и по утверждению 9 является базисом К. Легко видеть также, что указанным способом может быть получен любой базис пространства К. Теперь заметим, что при любой уже выбранной системе из г векторов ст1,..., ст (г+ 1)-й вектор может быть выбран в ~К~(ст1с1 +... + ст„с„: с1,..., с, е Р) ~ (12) вариантах.
По утверждению 10 а) ~К~ = ц', а из утверждения 6 следует, что ~(ст1с1+... + а„с„: с1,..., с„Е Р) ~ = о'. Значит, в описанном выше процессе (г+1)-й вектор может быть выбран в ц~ — о" вариантах. Отсюда и следует утверждение б), О С л е д с т в и е . Число невырожденных мвтприц размера п х п над конечным полем иэ о элементпов равно П, О «" — ц'). О На основании следствия 5 теоремы 7 и утверждения 9 имеем: матрица А из Р„„тогда и только тогда невырожденна, когда система ее строк является базисом пространства Р".
Далее остается применить утверждение 10 б) при $ = п. О Задачи 1. Подсчитать число подматриц порядка г в матрице размеров т х п. 2. Доказать, что ранг матрицы вида """ ~1 равен сумм 0 В,„, ~ рангов матриц А, В. 3. Решить матричное уравнение АХА = А, где А — заданная матрица размеров тп х и. Сколько решений имеет это уравнение над полем из о элементов. (Указание: воспользоваться канонической формой матрицы 4.
О . Оценить сверху число сомножителей в произведениях элементарных матриц, которыми можно представить все невырожденные матрицы размеров п х п. 5. Найти число векторов из Р", представимых в виде линейных комбинаций т заданных векторов, если Р— конечное поле из о элементов. 6. Описать конечные системы векторов с единственным базисом. 7. Описать матрицы, имеющие единственную ранговую подматрицу.
8. Ттоказ . Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов исходных матриц. 9. Сколько линейно независимых систем по г векторов существует в пространстве Р" над конечным полем Р из о элементов? Сколько в нем существует подпространств размерности г? 10. Две конечные системы векторов из Р" называются эквивалентпными, если все векторы каждой из них являются линейными комбинациями векторов другой системы.
Доказать, что определенное таким образом отношение для систем векторов из Р" является отношением эквивалентности. Показать, что произвольная система векторов эквивалентна своему базису. 11. (то . Доказать, что матрицы А, В одинаковых размеров строчно эквивалентны тогда и только тогда, когда системы векторов-строк этих матриц также эквивалентны (в смысле определения из задачи 10). 12. П . Пусть 5„,„„— специальная ступенчатая матрица.
Доказать, что для любой матрицы Аь„,т1 матрица АЯ является специальной ступенчатой в том и только том случае, когда А — специальная ступенчатая матрица. Найти тип матрицы АЯ по типам матриц А, Я. 13. Т1о . Д казать, что в кольце матриц Р„„над полем Р делители нуля исчерпываются ненулевыми вырожденными матрицами. Глава 'ЛП СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ На важность задачи решения уравнений и систем уравнений в любых алгебрах указывалось в ~ 2.П1. Для колец и полей в общем случае эта задача является очень сложной, а иногда р р и не аз ешимой в принципе. Вместе с тем, для одного частного вида систем уравнений над полями, называемых системами линейных уравнен ", у ий казанная задача решается сравнительно просто.
Общий подход к исследованию и решению таких систем уравнений основан на использовании матричного аппарата и применим к системам уравнений над произвольным коммутативным кольцом с единицеи. Для систем ур ад авнений н полями он приводит к наиболее законченным результатам и, в частности, к алгоритмам распознавания разрешимости и нахождения всех решений. Системы линейных уравнений над коммутативным кольцом с единицей. Равносильность систем уравнений.
Теорема Крамера Зафиксируем произвольное коммутативное кольцо В с единицеи. О п р е д е л е н и е 1. Отображение ~:  — ~ В называется аффинной функцией от п переменных над кольцом В, если существуют такие элементы ао, ад,..., а„, что: Мтд,...,т„е В: ~(тд,...,т„) = ао+адтд+... + а„т„. В частности, при ао = О, функция ~ называется линеинои. Используя символы переменных хд,..., х„указанну афф у фу цию ~ можно записать в виде Дхд,..., х„) = ао + адхд +... + а„х„.
Для аффинных функций от переменных хд,..., х„над В естественным образом определяются операции сложения и умножения на элементы из В: ( о+ а х, +... + а„х„) + (Ьо+ Ьдх +... + Ь„„) = = (ао + Ьо) + (ад + Ьд)хд +... + (а„+ Ь„). т(ао + адхд +... + а„х„) = (тао) + (тад)х +...
+ (та„) О п р е д е л е н и е 2. Системой линейных уравнений с неизвестными хд,..., х„над кольцом В называется любая система уравнений вида: ~д(хд,...,х„) = дд(хд,...,х„), 1т(хь ° ° ° ) хп) = дт(хд ° ° ° ) хп)~ где т > 1, а ~д,..., ~, дд,..., д — аффинные функции над В. О п р е д е л е н и е 3.
Решением сиспдемьь уравнений (1) называется упорядоченный набор у = (сд,..., с„) элементов из В, при подстановке которых в уравнения вместо соответственно неизвестных хд,..., х„все уравнения системы (1) превращаются в верные равенства между элементами кольца В. В этом случае говорят также, что набор, или вектор, 'у удовлетворяет системе уравнений (1).
О и р е д е л е н и е 4. Система уравнений над В называется совмеспдной, если она имеет хотя бы одно решение, определенной если имеет ровно одно решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Исследовать систему уравнений — значит выяснить, совместна она или нет, и если совместна, то — определена или нет. Решить систему— значит найти все ее решения. О п р е д е л е н и е 5. Две системы уравнений над В с одними теми же неизвестными называются равносильными, если множества их решений совпадают. Для нахождения решений системы обычно стремятся предварительно преобразовать ее к какой-либо более простой системе, равносильной исходной системе.
Так, например, очевидно, что, прибавив к обеим частям любого уравнения системы (1) произвольную аффинную функцию, мы получим систему, равносильную системе (1). Пользуясь такими 156 157 с(=~А~~Аг~)зЕ1п аых! +... + а1„х„= Ь1, (5) (2) атл1хт+."+ атпхп = Ьт, Ь, Х! ! Э Ь„, хт (6) А — (ац)тхп~ (3) А11Аг! .. ° А ! 1 Ь = ~А~ ' А1гАгг ..Авг Х! хг (7) А п 1( М (( ( 'Ъ ( ~А~ = а1,А1, + аггАгз +... + апгАпз, 158 159 преобразованиями, можно переносить слагаемые из одной части урав- нения в другую (с изменением знака) и, в частности, привести любую систему линейных уравнений над В к равносильной ей системе уравне- ний вида: где а,~, Ь, Е В для всех г Е 1, т, 7' Е 1,п. Используя обозначения систему (2) записывают в матричной форме: .4 ! =,8!. При этом матрицы А и В = (А,в!) называют соответственно основной и расширенной матрицами системы уравнений (3), а вектор 8!— столбцом свободных членов.
В связи с использованием матричной формы записи решение у = (с1,..., с„) удобнее записывать в виде столбца и обозначать через 'у!. Т е о р е м а 1 (о равносильности систем линейных уравнений). Если У вЂ” обратимая (т х т)-матрица над В, то система уравнений (3) равносильна системе (УА)х! = Ув!. (4) О Пусть у! — есть решение системы (3). Тогда Ау =,8 — верное ! ! равенство. Умножив обе его части слева на матрицу У, получим верное равенство (УА)у! = У~1, свидетельствующее о том, что у — реше! ние системы (4). Таким образом, всякое решение системы (3) является решением системы (4). Аналогично, используя умножение на матрицу У 1, можно доказать и обратное утверждение.
Следовательно, системы (3) и (4) равносильны. О С л е д с т в и е. Если матрицы (А,в!) и (С,б!) строчно эквивалентны, то система уравнений (3) равносильна системе Сх! =б!. Применим теорему 1 к решению системы (3) в одном частном случае, когда т = п и матрица А обратима. Т е о р е м а 2 (Крамер ). Если (3) естпь система п линейных уравнений с п неизвестными над В и ее основная матрица А обратима, то система (3) имеет единственное решение у = (с1,..., с„), где: А; — матрица, полученная из А заменой г-го столбца столбцом свободных членов 8!. (Равенстпва (5) называют формулами Крамера.) О По теореме 1 система уравнений (3) в рассматриваемом случае равносильна системе которая, очевидно, имеет единственное решение.
Найдем каждое неиз- вестное х; отдельно. Для этого запишем равенство (6) более подробно, с использованием правила нахождения матрицы А 1, указанного в до- казательстве теоремы 7.Ч1 (Напомним, что здесь А; есть алгебраическое дополнение элемента а; матрицы А.) Приравнивая координаты векторов-столбцов из левой и правой частей равенства (7), получим: ~~ = ~А~ (Ь1А11+ЬгАг1+ .. +ЬпАпз) = ~А~ Ь,, г (= 1 д. Сравнивая Ь, с разложением определителя матрицы А по ее г-му столб- цу (см. следствие 1 теоремы 6Х1): замечаем, что Ь, есть определитель матрицы А,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
