Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(Проверьте!) У т в е р ж д е н и е 1. Для любых многочленов а(х), Ь(х) Е В[х]: а) с1ее(а(х) + Ь(х)) < шах(с1еда(х),с1едЬ(х)), причем последнее неравенстпво являетпся стпрогим тпогда и тполько тогда, когда б) с1еК(а(х) . Ь(х)) < с1еК а(х) + с1ея Ь(х), причем последнее неравенство обращаетпся в равенстпво тпогда и тполько тпогда, когда либо один из многочленов а(х), Ь(х) равен Ох~, либо произведение их старших козффициентпов отплично отп нуля; в) если в кольце В мети делитпелей нуля (в частпностпи, если В— поле), тпо с1ее(а(х) Ь(х)) = с1еда(х) + с1еКЬ(х) Иногда, при проведении формальных выкладок, многочлен а(х) вида (9) удобно бывает записывать в виде следующей формально бесконечной суммы: з>0 а=О При этом надо лишь помнить, что в действительности выписанная сумма конечна, поскольку для некоторого и Е 1%в все ее слагаемые а;х' с номерами ~ > и есть нулевые многочлены.
При такой форме записи сумма и произведение многочленов а(х) = ,'~ а,х' и Ь(х) = ,'~ Ь,х' имеют 1>0 з>О а(х) + Ь(х) = ~(а, + Ь,)х', а(х) . Ь(х) = ~~~ (~~~ ат,Ь, ~)х'. (11) Как уже отмечалось, если Я вЂ” кольцо с единицей и элемент б обратим в Я, то каждое из этих уравнений имеет единственное решение: б 1а и аб соответственно. Если же Ь ф Я*, то даже нет алгоритма, позволяющего проверить разрешимость этих уравнений для произвольного бесконечного кольца Я. Однако если Я = В[х] — кольцо многочленов над кольцом В с единицей, то в Я можно ввести понятие делимости с остатком (которое уже встречалось читателю при изучении кольца целых чисел) и предложить алгоритм, который во многих важных случаях позволяет проверить: делится один многочлен на другой или нет. О п р е д е л е н и е 6.
Говорят, что в кольце В[х] мноеочлен а(х) делитися на мноеочлен б(х) справа с остпатиком, если существуют многочлены дп(х), гп(х) Е В[х] со свойствами: а(х) = дп(х)б(х) + гп(х), йеягп(х) < дедб(х). (12) При этом многочлены дп(х) и гп(х) называют, соответственно, неполным ттравым частиным и ттравым остпатаком от деления а(х) на Ь(х). Аналогично определяется понятие делимостии а(х) на Ь(х) слева с остиатдком и неполное левое частиное дл(х) и левый остиатиок гл(х) как многочлены, удовлетворяющие соотношениям: а(х) = Ь(х)Чл(х) + гл(х), Йедгл(х) < с1еКЬ(х). Иногда, для краткости, многочлен цп(х) (дл(х)) называют просто правым (левым) частным от деления с остатком а(х) на Ь(х).
3 а м е ч а н и е 4. Вообще говоря, деление с остатком в В[х] не всегда возможно, а когда возможно, то не всегда однозначно. Например, если В = Р2„2 — кольцо 2 х 2-матриц над полем Р, то многочлен а(х) = = (,, ) х + (,, ) Е Р[х] можно разделить справа с остатком на многоО1 О1 член Ь(х) = (ц 1) х+ (~ ~) по крайней мере двумя способами: а(х) = Ь(х) +, а(х) = б(х) + При этом а(х) нельзя разделить на Ь(х) с остатком слева.
(Докажите!) Однако отмеченная неопределенность исчезает при некоторых ограничениях на многочлен Ь(х). Т е о р е м а 2. Если стпарший коэффициент мноеочлена б(х) е Е В[х] ~ (О) обратпим в кольце В, тио любой многочлен а(х) Е В[х] можно разделить справа (слева) с остиатиком на б(х). При этпом правые (левые) неполное частпное и остиатиок определяютпся однозначно. О Если деда(х) < йея Ь(х), то соотношения (12) выполняются при дп(х) = О, гп(х) = а(х). Пусть Ст(а(х)) = а„„х'", Ст(б(х)) = б„х" и т > п.
Так как по условию Ь„е В*, то в В[х] существует многочлен а„,б,,1х"' " Ь(х). Нетрудно видеть, что его старший член равен а х"'. Поэтому многочлен а1(х) = а(х) — а Ь„х~ "Ь(х) имеет степень т1 < т. Если т1 < и, то мы уже разделили а(х) на Ь(х) с остатком справа: а(х) = (а,„б„ ~х™ ") Ь(х) + а1(х). Если же т1 > и и Ст(а1(х)) = а~~~ х"", то строим многочлен (ц ш1 а2(х) = а1(х) — а~„~б„, х~' "б(х). Ясно, что дед а2(х) = т2 < т1, и справедливо соотношение а(х) = (а,„б„~х~ " + а~~~б„~х~' ")Ь(х) + а2(х). Продолжая аналогично далее, мы за конечное число к шагов придем к равенству: а(х) = (а Ь„1х "Ь(х) + аЯ» Ь„~х ' " +...
+ а® Ь,, ~х " ")Ь(х) + ат,+1, (13) в котором т ) тп1 )... ) т~ > и ) Йед ат,+1(х). Но это и означает, что мы разделили а(х) с остатком на Ь(х) справа. Докажем теперь однозначность деления с остатком при условии теоремы. Пусть а(х) = дп(х)б(х) + гп(х), с1ед гп(х) < с1ед Ь(х), а(х) = дп(х)б(х) + гп(х), с1ея гп(х) < с1ея б(х). В таком случае справедливо равенство гп(х) — гп(х) = (дп(х) — дп(х))б(х). Если оп(х) — дп(х) ф О, то по утверждению 1б) в правой части этого равенства стоит многочлен степени не меньшей, чем йея Ь(х), а по 176 177 утверждению 1 а) степень многочлена в левой его части строго меньше, чем бее Ь(х), что невозможно.
Следовательно, цд(х) = вц(х), а тогда и гп(х) = гп(х). Доказательство возможности и однозначности деления а(х) на Ь(х) с остатком слева проводится совершенно аналогично. О Очевидно, что если  — коммутативное кольцо (в частности, если  — поле), то левые неполное частное и остаток от деления а(х) на Ь(х) (в случае их существования) являются также правым неполным частным и остатком. В этом случае говорят просто о делении а(х) на Ь(х) с остатком.
С л е д с т в и е 1. Если Р— поле и б(х) Е Р[х) ~ (О», тпо любой многочлен а(х) Е Р[х) можно разделитпь с остпатпком на Ь(х) и притам единстпвенным способам. О Достаточно заметить, что старший коэффициент Ь(х) отличен от нуля и потому обратим в Р. О С л е д с т в и е 2. В условиях тпеоремы многочлен б(х) делит а(х) в кольце В[х) справа (слева) тогда и тполько тогда, когда при делении с остпатпком а(х) на б(х) справа (слева) остпатпок равен нулю. О Если в (12) гп(х) ф О, то равенство а(х) = о(х)б(х)+ О невозможно ни при каком д(х) Е В[х) ввиду доказанной единственности правого остатка.
О Полезно заметить, что предложенный в доказательстве теоремы 2 метод деления а(х) на Ь(х) с остатком справа есть хорошо известный метод деления "уголком", который осуществляется по следующей схеме: Ьх =Ь„х" + а(х) = а,их'"+ а 6„1х"' "Ь(х) = а,Ь„Ь„х™ +... а1(х) = а~„~~х'"1 + ап) Ь 1х~~~1 ~~Ь(х) апп Ь Ь~ х 1 + ~~с 1 юй ю1 юа а,(*) = !'~ - + а~„",~ Ь„-'х-~-"6(х) = а'" Ь„'Ь.х ' + УН/ ФВ аа+1(х) = ~'п(х) ~ 3. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.
Многочлен как функция О п р е д е л е н и е 7. Значением многочлена а(х) = ао + а1х+ .. .. + а„х" из В[х) в тпочке а Е В называютп элементп кольца В а(а) = ао + а1а+... + а„а". Говорят, что а — корень многочлена а(х), если а(а) = О. Очевидно, что значение суммы двух многочленов в любой точке а Е В равно сумме их значений. Для произведения многочленов аналогичное утверждение верно не всегда. Например, если элементы а, Ь Е В не перестановочны, то значение в точке а произведения а(х) . Ь(х) многочленов а(х) = х и Ь(х) = Ь не равно а(а) . Ь(а).
(Проверьте!) Однако справедлива Л е м м а 1. Если а(х), б(х) Е В[х), с(х) = а(х) . Ь(х) и элементп а перестпановочен со всеми коэффициентпами правого множитпеля б(х), тпо с(а) = а(а) Ь(а). О При сформулированном условии верны равенства а(а) Ь(а) =,) ~~т Ь а'Ь а~ = ~~) ~~) а,б~а'+~ = с(а). О з>0 д>0 >от>о Важную связь между понятием делимости и понятием корня многочлена устанавливает Т е о р е м а 3 (Безу). Остпатпок от деления справа многочлена а(х) Е В[х) на двучлен х — а Е В[х) равен а(а). В частностпи, элементп а кольца В является корнем многочлена а(х) Е В[х) тпогда и тполько тпогда, когда а(х) делится справа на х — а.
О По теореме 2 а(х) можно разделить справа с остатком на х — а = = ех — а: а(х) = д(х)(х — а) + т(х), дед г(х) ( 1. Тогда т(х) = тх, где т Е В, и т(а) = т. Так как для многочлена с(х) = д(х)(х — а) по лемме 1 верно равенство с(а) = о(а)(а — а) = О, то а(а) = с(а) + г(а) = О+ т = т. 178 179 Ча Е В: ад(а) = а(а). а(а;) = Д для а Е 1, п, с$ед а(х) < и. (14) (15) е а„ а„ г 180 181 В частности, равенство а(а) = 0 эквивалентно равенству г = О, а последнее по следствию 2 теоремы 2 эквивалентно тому, что х — а делит справа а(х). П Определение 7 позволяет поставить в соответствие каждому много- члену а(х) е В[х] функцию ад.  — В, определяемую условием: При этом, вообще говоря, для различных многочленов а(х), Ь(х) Е В[х] функции ад и Ь~ могут совпадать.
Например, если  — конечное коммутативное кольцо, состоящее из элементов г1,..., г„, то для любого многочлена а(х) е В[х] и любого многочлена вида Ь(х) = а(х) + (х— — г1) .... (х — г„)с(х) в силу теоремы Безу верно равенство ад = = Ьд. С другой стороны, на произвольном кольце В не любую функцию <р:  — ~ В можно задать в виде <р = ад для подходящего а(х) Е В[х]. О п р е д е л е н и е 8. Отображение ~р кольца В в себя называют полинамиальным, если для некоторого а(х) е В[х] выполняется равенство <р = ад. В этом случае говорят, что ~р задается многочленом (полинамам) а(х).
Позже читатель сможет показать, что если  — коммутативное кольцо, то любое отображение <р:  — ~ В полиномиально в том и только в том случае, когда  — конечное поле. Полиномиальность любого преобразования конечного поля вытекает из следующего общего результата.
Т е о р е м а 4. Если в поле Р есть и попарно различных элементов а1,...,а„, то для любых Д,...,Д, Е Р существует единственный многочлен а(х) Е Р[х] со свойствами: П Многочлен а(х) = ао + а1х+... + а„1х" 1 е В[х] удовлетворяет условиям (14) тогда и только тогда, когда вектор (ао, а1,..., а„1) есть решение системы линейных уравнений: Эта система имеет единственное решение, так как определитель ее основной матрицы есть определитель Вандермонда, он равен П <,.< .<„(а,— — а ) и отличен от нуля по условию. П 3 а м е ч а н и е 5.
Для построения многочлена со свойствами (14) вовсе не обязательно решать систему (15), так как он, очевидно, описывается формулой: х (х — а1) ... (х — а; 1)(х — а;+1) ... (х — а„), называемой интерполяционной формулой Лагранжа. С л е д с т в и е 1. Многочлен степени и ) 0 над полем Р имеет в этом поле не более и различных корней. П В противном случае он принимает нулевое значение в и+1 точках из Р и по теореме совпадает с многочленом О+ Ох+... + Ох„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
