Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 34
Текст из файла (страница 34)
3 а м е ч а н и е 9, Метод проверки неприводимости многочленов из Я[х], вытекающий из следствия 3, не является универсальным в том смысле, что существуют унитарные неприводимые многочлены а(х) Е е Е[х] такие, что для любого простого р е 1Ч многочлен гр(а(х)) приводим над Ер. Например, таков многочлен х — 10х + 1. 4 2 В заключение докажем один широко используемый признак неприводимости многочленов над Я. Т е о р е м а 18 (Эйзенштейн '0). Пусть а(х) = ао+а1х+... +а„х" Е е Е[х], и > О, и для некоторого простого р Е 1Ч выполняются условия: (21) (22) (23) р[а„; р[а;, г=О,п — 1; р 1ао.
ш Ф. Г. М. Эйзенштейн (1823 — 1852) — немецкий математик. Тогда многочлен а(х) неприводим над Я. О Если многочлен а(х) приводим в Я[х], то по следствию 1 теоремы 17 существуют многочлены 6(х),с(х) Е Е[х] такие, что а(х) = = 6(х) с(х), йеяЬ(х) = й Е 1,п, йенс(х) = 8 Е 1,п,й+ 8 = и. Из (21), (22) следует, что многочлен гр(а(х)) Е Ер[х] имеет вид тр(а(х)) = = тр(а„)х", тр(а„) ф О. Отсюда, ввиду равенства тр(а(х)) = тр(6(х)) Э Эгр(с(х)) в Ер[х], получаем: тр(6(х)) = тр(6~)х", гр(с(х)) = тр(сг)х . Так как й > 1, 8 > 1, то из последних равенств следует, что р [ Ьо и р [ со.
Но тогда р [ ао, поскольку ао = Ьосо, что противоречит условию (23). О Важное значение этой теоремы состоит не только в том, что она позволяет просто доказывать неприводимость некоторых многочленов, но и в том, что она дает возможность их легко строить. В частности, из нее получается следующий результат, показывающий принципиальное различие между свойствами множества неприводимых многочленов над полем Я и множеств неприводимых многочленов над полями Й и С.
С л е д с т в и е. Над полем Я существуют неприводимые много- члены любой натуральной степени и. 198 199 (27) или в виде бесконечной суммы (28) в>0 у>0 у = (О*',.х', О*',...). (25) (26) аО(х) + а1(х) у +... + а„(х) у", 200 201 О Например, для любого простого р е Я многочлен х" — р неприводим над Я. О Заметим, что приведенный пример существенно усиливает известное из средней школы утверждение об иррациональности числа -/р. В книге Лидл Р., Нидеррайтер Г. "Конечные поля" (т.
1, с. 61. См. раздел "Литература научная") изложен метод Кронекера, позволяющий определить приводим или нет многочлен над Я и, в случае приводимости, получить его каноническое разложение. ~ 8. Кольцо многочленов от нескольких переменных 1. Пусть  — кольцо с единицей е и В(х) — кольцо многочленов от одного переменного х над В, построенное в ~ 1. Так как по теореме 1 В1 —— В(х] есть кольцо с единицей ехО, то над ним можно так же, как делалось в ~ 1, построить кольцо многочленов В1(у] от переменного у. Элементами кольца В1(у] являются все последовательности вида (аО(х), а1(х),...,а„(х),...), а,(х) Е В1, (24) в каждой из которых все многочлены, за исключением конечного их числа, равны Охо, а переменное у определяется равенством Операции сложения и умножения на В1 (у] вводятся определением 2 а), б). Определением 2 в), г) задаются операция умножения последовательностей вида (24) на элементы а(х) Е В1 и операция прибавления к таким последовательностям элементов а(х) е В1.
С использованием этих операций любой элемент (24) кольца В1(у] может быть записан в виде суммы где и Е МО выбирается так, что в (24) а,(х) = 0 для всех з ) и. Используя каноническую запись каждого из многочленов а~(х): а (х) = аО~ + а1, х +... + а~~ х, а;~ Е В, а;~ —— 0 для з ) т, и очевидные свойства дистрибутивности операции умножения последо- вательностей вида (24) на элементы из В1, сумму (26), обозначая ее через а(х, у), можно записать в виде: и т т и а(х,у) =,~ ~,~ а; х'у~ = ~~~ ~~~ а, х'у~, у=О в=О в=О ~=0 а(х, у) = ,'~~ ~~ а; х'у~ = ~~ а, х'у~, где суммирование производится по всем наборам (г, ~) Е МО х МО. Представляя последовательности (24) в виде (28), подразумевают, что для некоторых т, и Е МО, при г ) т, ~ ) и выполняются равенства а;~ — — О, т. е.
а, х'у~ = Ох'у~ = Охоуо — нуль кольца В1(у], и в действительности, (28) — конечная сумма вида (27) (поэтому порядок суммирования в ней не важен). О п р е д е л е н и е 21. Кольцо В1(у] = В(х][у) называют кольцом многочленов от двух переменных х и у над кольцом В и обозначают через В(х, у]. Элементы этого кольца называют многочленами от двух переменных, а выражение (27) (или (28)) — канонической записью многочлена а(х,у). Элементы а, е В в канонической записи многочлена а(х, у) называют его коэффициентами.
Таким образом, как и в случае многочленов от одного переменного, каждый многочлен а(х, у) имеет бесконечно много коэффициентов а,~ Е В, и равенство многочлена (28) многочлену 6(х, у) = ~; Ь; х'у~ из (в,р') В(х, у] означает, что а; = Ь;. для всех г > О, ~ > О. Результаты операций над многочленами из В(х, у], записанными в канонической форме, представляются следующим образом: а(х, у) + 6(х, у) = ~~ а, х'у~ + ~~ Ь; х'у~ = Я(а;. + Ь; )х'у~, (в, у) (в,р) (м) а(х, у) 6(х, у) = ,'~~( ,'~~ ,'~~ а„,Ь, „,~ в)х'у~.
(в',р) т=О в=О пз> >и т> зз =О зя — О (ЗО) з нулевых последовательностей з нулей В[х„...,х„] = В[х,...,х. ](х.] а(хд,..., х„) 6(хд,..., х„) = = Е(Е зт> (зз,...,з„) г>=О >т — О 203 202 Первое из этих равенств очевидно, а второе легко следует из равенства а(х, У) 6(х, У) =,,'> ~~ а,з;з . Ь;г~гх" ~" У~з+~г> (зз Дз) (зг>уг) которое, в свою очередь, выводится из дистрибутивности умножения и равенств а;з~зхзз указ Ь,г~гхзгудг = а,з~з Ь,г~гхзз+" удз+дг, вытекающих из определения операции умножения в кольце Вд (у].
3 а м е ч а н и е 10. Использование канонической записи многочленов из В[х, у] существенно облегчает выполнение операций над ними. Для наглядности достаточно заметить, что переход к первоначальному представлению многочленов в виде последовательностей превращает сумму (28) в сумму последовательностей вида: а,~х'у = ((0>... > 0>...) >... > (0>... > 0>...) > (о,...,о, „,0,...),(о,...,о,...),...). 2.
Аналогично, индуктивным методом, строится кольцо многочленов от произвольного конечного числа переменных. О п р е д е л е н и е 22. Если В[хд,..., Х„д] — кольцо многочленов от л — 1 переменных хд,..., х„д над кольцом В с единицей, то кольцо многочленов называют кааьцом многочленов от л ддеременных хд,..., х„над кольцом В. Таким образом кольцо В[хд,..., х„] есть множество всех последовательностей вида: (ао(хд,..., х„д),..., а;(хд,..., Х„д),...), а,(хд,...,х„д) Е В[хд, °,хп-д]> в которых все члены а;(хд,..., Х„д), за исключением конечного числа, равны нулю, а переменное х„есть последовательность х„= (Охд....
Х„д,ехд ... Х„д,ОХ, х„д,...). О О О О О О Операции на В(хд,...,х„] вводятся определением 2. С использованием этих операций каждый элемент а(хд,..., х„) з= В[хд,..., х„] может быть представлен в виде суммы а(хд,...,х„) = ~~ ... ~~ а;, ;„хд' .... х'„", а;з ,„ з= В (29) или в виде формально бесконечной суммы а(хд,..., х„) = ~~ а,„,,„хзд' ... х'„", (зз,...,з„) в которой символ ~ , 'означает суммирование по всем различным (з! >..
аозт>) наборам (дд,...,д„) е М~, но подразумевается, что все слагаемые, за исключением конечного их числа, равны нулю (т. е, равны нулю соответствующие коэффициенты а,,,;„). О п р е д е л е н и е 23. Элементы кольца В(хд,...,х„] называются многочленами от дд ддеременных хд,..., х„над В. Представление многочлена а(хд,...,х„) Е В(хд,...,х„] в виде (29) или в виде (ЗО) называют его канонической записью, элементы а;, .;„в этой записи называют коэффициентами многочлена а(хд,...,х„), а слагаемые а...„хзд' ... х'„" — одночаенами из его канонической записи. Каноническая запись (ЗО) многочлена из В(хд,...,х„] однозначна: если Ь(хд,...,Хп) = ~~~ Ь,„.,„хд'....
х'„" з= В(хд,...,Хп]> (зз,,з„) то 6(хд,..., х ) = а(хд,..., х„) тогда и только тогда, когда Ь;, = а;,,„ДЛЯ ВСЕХ (гД,...,Д„) з= МО. РЕЗУЛЬтатЫ ОПЕРаЦИЙ НаД МНОГО- членами в канонической записи представляются следующим образом: а(хд,...,хп) + 6(хд,...,х>з) = ,'> (а;,;„+ Ьз, . з„)Хд' ... Хд" > (зз,...,з„) Е зз з„ а„, „„.Ь;, „, .; „)хд ....х„. Последнее равенство получается из равенства а(х1,..., хи) Ь(х1,..., хи) = а„„,„„Ь„...,„. х1'+",..., х"„"+'", (31) 1> д,...»'„) 1в>,...,в„) которое выводится из дистрибутивности умножения и соотношений х; Ь = = Ьх;, х;х. = х.х;, справедливых для любых Ь Е В и г, 1 Е 1, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
