Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Для систем образующих конечно порожденных группоидов справедливо У т в е р ж д е н и е 3. Если группоид С конечно порожден, то в любой его бесконечной систпеме образующих содержитпся некотпорая его конечная систпема образующих. П По условию С = [В) для некоторого конечного множества В. Пусть также С = [М), где ~М~ = оо. Из утверждения 2 следует, что каждый элемент из В или принадлежит М или представляется в виде произведения конечного числа элементов из М. Зафиксируем по одному такому представлению для каждого элемента В~М и обозначим через М1 объединение множества всех входящих в эти представления элементов и множества В П М. Так как ~В~ < оо, то ~М1 ~ < оо.
По определению 2 [М1) С С. С другой стороны, В С [М1), и потому [В) С [М1), т. е. С С [М1). Следовательно, С = [М1). П ~ 2. Гомоморфизмы группоидов В ~ 4.П1 было определено понятие изоморфизма группоида (С; ) на группоид (Н; о), как биективного отображения у: С ~ Н, удовлетворяющего условию: Естественным обобщением понятия изоморфизма является понятие гомоморфизма группоидов. О п р е д е л е н и е 4.
Гомоморфизмом группоида (С;.) в группоид (Н; о) называется любое отображение у: С ~ Н, удовлетворяющее условию (2). При этом множество у(С) С Н называется гомоморфным образом группоида С. В том случае, когда отображение у сюръективно или инъективно, гомоморфизм у называют соответственно эпиморфизмом или мономорфизмам (мономорфизм С в Н называют также изоморфны.м вложением С в Н). Если у — гомоморфизм группоидов с одинаково обозначенной операцией, то говорят также, что у — гомоморфизм относительно этой операции.
При гомоморфизме группоида (в отличие от изоморфизма) сохраняются не все свойства операций, однако некоторые из них сохраняются. Об этом свидетельствует Т е о р е м а 1. Пустпь у — гомоморфизм группоида (С; ) в группоид (Н; о). Тогда множестпво у(С) замкнутпо отпноситпельно операции о в Н, тп. е. являетпся группоидом. Если при этпом группоид С являетпся полугруппой, коммутпатпивной полугруппой, полугруппой с единицей, группой, тпо соотпветпстпвенно тпаким же являетпся и его гомоморфный образ (у(С); о). Кроме тпого, при гомоморфизме у единица группоида С (если сущестпвуетп) переходитп в единицу группоида у(С) и обратпный элеменпд для а (если он сущестпвуетп) переходитп в обратпный элементп для у(а), тп. е.
у(а 1) = у(а) П Из определения образа у(С) множества С имеем: 761, Ь2 е ~р(С) Зад, а2 е С: ~р(ад) = Ь1, ~р(а2) = Ь2. Отсюда и из условия (2) для у получаем: у(ада2) = у(ад) о у(а2) = Ьд о 62. Следовательно, 61 о 62 Е у(С), т. е. у(С) замкнуто относительно операции о.
Остальные утверждения теоремы 1 доказываются точно так же, как соответствующие утверждения теоремы 5.П1 об изоморфизме у, поскольку при доказательстве последних условие инъективности отображения у не использовалось. П Приведем ряд примеров гомоморфизмов полугрупп. П р и м е р 5. Рассмотрим отображение у: У У/т, при котором МГ е У' Р(Г) = [т]т. Из опРеделениЯ опеРаций в У/т: [Г1]т + [Г2]т — [Т1 + Т2]т~ [Т1]т [Г2]т = [Г1Т2]т видно, что ~р есть гомоморфизм полугрупп (Ж;+) и (Ж; ) на полугруппы соответственно (У/т;+), (У/т;.). Действительно, если * — любая из операций +,, то Р(ГД * Т2) = [ТД * Т2]т = [ТД]т Ч [Т2]т = сР(ГД) Ч сР(Г2).
Очевидно, что этот гомоморфизм является эпиморфизмом. П р и м е р 6. Пусть Р— поле. Отображение у„: Р[х] ~ Р, определенное при любом фиксированном т е Р формулой: Ча(х) Е Р[х]: у„(а(х)) = а(т), является гомоморфизмом относительно операций "+" и " ". Это следует из леммы 1.1Х. Так как а(т) = Ь(т) с=~ с(т) = О для с(х) = а(х) — Ь(х), то ~р„— не мономорфизм. П р и м е р 7. Известное свойство определителей квадратных матриц над коммутативным кольцом В: ]АВ[ = [А] [В] свидетельствует о том, что отображение у: В„„~ В, при котором у(А) = ]А], есть гомоморфизм полугруппы (В„„; ) в полугруппу (В; ).
Здесь в случае п ) 1 при гомоморфизме у может некоммутативная полугруппа переходить в коммутативную. Обратим особое внимание на примеры 5 — 6, в которых рассматриваемые отображения являются гомоморфизмами относительно двух операций. В такой ситуации представляется интересным вопрос о сохранении при гомоморфизме у тех свойств, которые связывают разные операции, например, свойствадистрибутивности одной операции, относительно другой.
На этот вопрос отвечает У т в е р ж д е н и е 4. Пустпь (С; *, о), (Н; *, о) — алгебры с двумя бинарными операциями и отпображение у: С вЂ” + Н являетпся эпиморфизмом отпноситпельно каждой из операций *, о. Тогда из правой (левой) дистприбутпивностпи операции э отпноситпельно о в алгебре С следуетп выполнение соотпветпстпвующего свойстпва в алгебре Н. П Доказывается этот факт точно так же, что и в теореме 6.П1 для изоморфизма у. П Из теоремы 1 и утверждения 4 получаем С л е д с т в и е. Пустпь (С;+,.), (Н;+, ) — алгебры с двумя бинарными операциями и отпображение у: С ~ Н еспдь эпиморфизм отпноситпельно каждой из указанных операций.
Тогда, если (С;+, ) — кольцо, коммутпатпивное кольцо, кольцо с единицей или тиме, тпо соотпветпстпвенно тпо же самое верно и для алгебры (Н;+, ). 222 223 Ча Е С: ~р(а) = [а]р, [а]р — — (х Е С: хра). У[а]р, [Ь]р Е С/р: [а]р [Ь]р — — [а Ь]р. (3) Ча, Ь Е С: (ар1Ь «Ф а = Ь) Ча,Ь Е С: (ароЬ). (4) 225 8. Заказ № 573. 224 ~ 3. Конгруэнции на группоидах и факторгруппоиды Из результатов предыдущего параграфа видно, что сохранение определенных свойств операций при гомоморфизме алгебр позволяет использовать гомоморфизмы для сведения изучения одних алгебр к изучению других алгебр.
Кроме того, гомоморфизмы используются и для построения алгебр. Так, например, имея некоторую полугруппу, мы можем строить новые полугруппы — гомоморфные образы исходной. Все это делает актуальной задачу описания всех гомоморфных образов заданной алгебры, в частности, полугруппы. Для решения этой задачи в классе группоидов введем понятие конгруэнции на группоиде. В ~ 1.П было показано, что любое отношение эквивалентности р на произвольном множестве С индуцирует разбиение множества С на непересекающиеся классы эквивалентности, т.
е. на классы вида Множество всех этих классов называют фактормножестпвом множества С по отношению р и обозначают через С/р. Переход от множества С к множеству С/р называют факторизацией множества С. В данном параграфе нас будет интересовать случай, когда факторизуемое множество является группоидом. В этом случае по операции на С можно попытаться определить операцию на фактормножестве С/р. Самый естественный путь определения операции над классами заключается в сведении ее к имеющейся операции над представителями классов. Именно так ранее мы определяли операции над классами У/т.
Если следовать этой идее, то надо положить по определению: Однако такое определение будет некорректно, если результат операции над классами [а]р, [6]р окажется зависящим от выбора представителей а,6. Легко видеть, что определение корректно в том и только в том случае, когда отношение р удовлетворяет условию: Ча,Ь,а|,Ь1 Е С: ((ара1)Й(Ьр61) =: (а Ь)р(а1. Ь1)). О п р е д е л е н и е 5. Отношение эквивалентности р на группоиде (С; ), удовлетворяющее условию (4), называется согласованным с операцией в С, или конгруэнцией на группоиде С. Если р — конгруэнция на группоиде С, то определение операции на классах эквивалентности с помощью формулы (3) корректно, и потому корректно О п р е д е л е н и е 6.
Фактормножество С/р группоида С по конгруэнции р с операцией, определенной формулой (3), называется фактпоргруппоидом группоида С по конгруэнции р. При этом об операции на С/р говорят, что она индуцирована операцией на С. У т в е р ж д е н и е 5. Если р — конгруэнция на группоиде (С; ), тпо отпображение ур.
С С/р, при котпором являетпся эпиморфизмом (С; ) на (С/р;.) (отображение ур обычно называют естественным гомоморфизмом группоида (С; ) на факторгруппоид (С/р; )). П Отображение ур сюръективно, поскольку в класс [а]р отображается элемент а е С (и все остальные элементы класса [а]р). Кроме того, из определений отображения ~рр и операции на С/р имеем: Ча, Ь е С: рр(аЬ) = [аЬ]р —— [а]р [Ь]р — — ср(а) ~р(Ь). Следовательно, ур — эпиморфизм. П Из утверждения 5 и теоремы 1 получаем С л е д с т в и е. Если С вЂ” полугруппа, коммутпатпивная полу- группа, полугруппа с единицей, группа, а р — конгруэнция на С, тпо фактпорполугруппа С/р являетпся соотпветпстпвенно полугруппой, коммутпатпивной полугруппой, полугруппой с единицей, группой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
