Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 35
Текст из файла (страница 35)
3. Кольцо В[х1,...,хи], как и кольцо многочленов от одного переменного, сохраняет некоторые свойства исходного кольца В. Т е о р е м а 19. Кольцо В[х1,..., хи] коммутативно тогда и только тогда, когда каммутативно кольцо В, и содержит делители нуля тогда и только тогда, когда В содержит делители нуля.
О При и = 1 это — теорема 1. Доказательство в общем случае легко проводится индукцией по и с использованием определения 22. О 3 а м е ч а н и е 11. Нулем и единицей кольца В[х1,..., хи] являются, СООтВЕтСтВЕННО, МНОГОЧЛЕНЫ ОХ1 .... Хи И ЕХ1,...,Хи.
КаК И В КОЛЬЦЕ многочленов от одного переменного, для краткости, будем обозначать их теми же символами, которыми обозначаются нуль и единица в В, т. е. положим При этом, по сути дела, исходное кольцо В отождествляется с изоморф- НЫМ ЕМу ПОдКОЛЬцОМ В = (тХ1 ... Х„: т Е В) КОЛЬца Л[Х1,..., Хи] (СМ. замечание 3).
Более хо>о, лри эхом каждое кольцо Л)х~,...,х ~,лх и Е 1> и — 1 ОтожДествлиетсЯ с изомоРфным емУ пОДКОЛЬЦОм В[х1»... хт] — (а(Х1 > ° ° ° > Хи1)х +1 ' ° . ' Хи ' а(Х1 » Хт) Е В[Х1 > ° ° ° > Хт]) КОЛЬца В[Х1,..., Хп] (ВВИду раВЕНСтВ а(Х1,..., Хт) = а(Х1,..., Хт) Е = (а(Х1» Хт)ЕХ1 '. ' ' Хвт) Хт+1 '' ' Хп (а(Х1> ° . > Хт)хт+1 ...'Хи))' И наоборот, это соглашение позволяет употреблять "экономную" запись многочленов из В[Х1,..., хи] в каноническом виде, опуская в од- НОЧЛЕНаХ ИЗ (29) СОМНОжнтЕЛИ Х';, дЛя КОтОрЫХ 1в = О, т. Е. ИСПОЛЬЗуя равенства типа О О ' „, О О Х1 ...
Х™ Хт+1.....Хп = Х1 '. Хт ЕХ1 ..'Хи = = Х ' ... Х т Е = Х ' ... Х '"'. 1» > 1 ''''' т ' 1 '' '' т Например, многочлен из В[х1,..., Хи] ДХ1,...,х ) = ах1 х2 ... Хи+ Ьх1 Х2 ... Хи+ О О О 2 О О О О 1 3 + СХ1 ' ' ' Хи-3 ' Хи-2 Хп-1 Хп может быть записан в виде ,1 (Х1 »... Хи) = а + ЬХ21 + СХи 2Хи 3 — 00, если а =0; 11 +... + 1„, если а ф О. де~ах" ... х'„" = Степенью указанного одночлена по переменнаму х, называют па- раметр — оо, если а = 0; дея.
ах>1' ....х„'" = г„если а ф О. Степенью произвольного многочлена (ЗО) и его степенью по переменнаму х, называют, соответственно де~а(х1,..., Х„) = п1ах(деяа;,,,;„х" ,... х'„": 11,...,1„е ЯО'), СЗЕя, а(Х1,...,Хи) = П1аХ(ЙЕ~, а;„,,„Х1' ... Х'„":11,...,Зп Е ЯД.
ЕСЛИ С$ЕЯ, а(Х1,..., Хп) < О, тО ГОВОРЯТ, ЧтО МНОГОЧЛЕН а(Х1,..., Хи) не зависит от переменного х, (или, что он зависит от х, лишь формально). Последнее равносильно тому, что любой одночлен а;,;„х" ,... х'„" из (30) удовлетворяет условию: если а;,,...;„ф О, то 1в = О. В дальнейшем, если ясно (или не важно), о каком числе и переменных идет речь, кольцо В[х1,...,хи] и его элементы а(Х1,,хп), для краткости будем обозначать через В[х] и а(х), где х = (х1,..., Хи). Понятие степени многочлена обобщается на многочлены от нескольких переменных следующим образом О п р е д е л е н и е 24. Степенью одночлена ах~1' ° ...
х,'ж из В[х1,...,хи]называют параметр 204 205 Непосредственно из определения следует, что для любых а(х), Ь(х) е Е В[х] верны соотношения: и с1еяа(х) < ~ с1ек а(х), в=г дев(а(У) + 6(х)) < шах(дека(х),декЬ(х)), де~ а(х) Ь(х) < де~ а(х) + сне~ Ь(х). Каждое из этих соотношений может быть (в зависимости от выбора многочленов а(У) и Ь(х)) как строгим неравенством, так и равенством (соответствующие примеры читателю предлагается привести самостоятельно).
Ниже будет доказано, что последнее соотношение является равенством для любых многочленов а(У) и 6(У) из В[х], если  — кольцо без делителей нуля. Однако доказательство этого факта проводится несколько сложнее, чем в кольце многочленов от одного переменного, поскольку в канонической записи (29) многочлена а(х) может содержаться несколько различных одночленов степени де~а(х). О п р е д е л е н и е 25. Ненулевой многочлен (29) называют формой степени Й, если степени всех его ненулевых одночленов равны Й.
(Формы степеней 1, 2, 3 называют, соответственно, линейными, квадратичными и кубическими.) Очевидно, что любой многочлен а(х) Е В[У]~(0) степени й может быть однозначно представлен в виде суммы а(х) = асо) (У) + ас1) (х) +... + а® (х), (32) стека(У) . 6(У) = дека(У) + дек 6(У). где а® (х), для т Е 1, й, — либо нулевой многочлен, либо форма степени т, и а®(У) ф О. О п р е д е л е н и е 26. Равенство (32) назовем представлением многочлена а(х) в виде суммы форм. Из определения произведения многочленов следует, что произведение двух ненулевых форм степеней Й и 8 есть либо нуль, либо форма степени й+ 8.
Т е о р е м а 20. Если  — кольцо с единицей без делителей нуля, то для любых а(х), Ь(х) е В[а(х)] верно равенство П Нетривиален лишь случай, когда де~а(У) = к ) О, де~6(У) = 8. В этой ситуации пусть представления многочленов а(У) и Ь(У) в виде суммы форм имеют вид соответственно (32) и Ь(У) = Ь~ ) (х) + Ьс ) (У) +...
+ Ьс ) (х). (33) Перемножая равенства (32) и (ЗЗ) почленно, получаем следующее пред- ставление а(х) . Ь(х) в виде суммы форм: а(х) ° Ь(х) = [а®(У)Ь~~)(У)] + [а®(У)6~1)(У) + а~1)(х)Ь®(У)]+... ... + [а~~ 1)(У)Ь®(У) + а®(У)Ь(г 1)(У)] + а®(У)Ь®(У). Так как по теореме 19 в В[х] нет делителей нуля, то в полученной сумме а® (х) Ь® (У) — форма степени Й+ 8, а каждое выражение в квадратных скобках есть либо нуль, либо форма степени строго меньшей, чем Й+ 8. Следовательно, ища(У) Ь(У) = й+ 8. П 4. Каждый многочлен а(У) е В[х1,..., х„] задает некоторую функцию на множестве В" = В х ...
х В со значениями в В. О п р е д е л е н и е 27. Значением многочлена а(х) вида (30) в точке а = (а1,..., а„) е В" называется элемент кольца В: Функцию ар: В" -+ В, определяемую условием Ча Е В" ап(а) = а®, называют полиномиальной функцией, определяемой многочленом а(У). Очевидно, что значение суммы двух многочленов из В[х1,..., х„] в любой точке а Е В" равно сумме их значений в этой точке. Кроме того, справедливо У т в е р ж д е н и е 12.
Если кольцо В каммутативно и с(У) = = а(х) Ь(х), где а(У),Ь(х) е В[х], то для любого а Е В" справедливо равенство с(а) = а(а) Ь(с7). П Доказательство проводится с использованием равенства (31) и предоставляется читателю. П Из многочисленных результатов, связанных с представлением функций на кольце полиномами, мы приведем лишь следующий важный в прикладном аспекте результат.
206 207 О, если а ф,В. Этот многочлен имеет вид бВ(х) = е — (х —,В)~ 1. (Докажите!) Тогда, используя утверждение 12,нетрудно проверить, что многочлен а(х1,...,х„) = ~з ' <р(,В1,... „В„) без(х1) ... бВ„(х„) 01з,..., В„) В Р' удовлетворяет условиям: <р = ая, де~ а(х) < о — 1 для з з=1,п. (34) Докажем его единственность. Любой многочлен а(х) Е В[х] со свойством (34) имеет вид: (35) а(х) = ~~... ~ а;„,,„х" ... х'" зз=о з„=О и число его ненулевых коэффициентов не превосходит о".
Следовательно, общее количество таких многочленов равно ]Р]'1 = д~ . Но количество различных отображений <р: Р" -+ Р также равно д~, и поскольку каждое такое отображение представляется многочленом вида ~35), а разные отображения представляются разными многочленами, то это представление однозначно. П 5.
Мы уже отмечали, что кольцо В[х1,..., х„] можно рассматривать как расширение кольца В (см. замечание 11). Следующий принципиально важный результат показывает, что это расширение является "универсальным" в том смысле, что оно позволяет описать большой класс других расширений кольца В. Т е о р е м а 22.
Пусть В' — коммутативное кольцо с единицей е и  — его подкольцо с той же единицей. Тогда для любых а1,..., а„Е В' множество В[а1,..., а„] всех элементов т' Е В', представимых в виде т' = а(а1,..., а„), а(х) з= В[х], есть подкольцо кольца В'. Т е о р е ма 21. Если Р— паае из о эламентов, то для любой функции <р: Р™ -+ Р существует единственныимногочлен а(х) Е Р[х1,..., х„], имеющий по каждому переменному степень не выше, чем о — 1, и такой, что <р = ар. П По теореме 4 для каждого элемента,В Е Р существует многочлен бв з= Р[х], имеющий степень не выше, чем о — 1, и такой, что П Очевидно, что подмножество В[а1,..., а„] замкнуто относительно заданных на В' операций сложения и умножения (см.
утверждение 12) и (В[а1,..., а„], +) — группа. Всем остальным аксиомам кольца алгебра (В[а], +, ) удовлетворяет ввиду того, что им удовлетворяет алгебра (В',+, ). П Нетрудно увидеть, что кольцо В[а1,...,а„] содержит подкольцо В и элементы а1,...,а„ и В[а1,...,а„] — наименьшее подкольцо в В' с этими свойствами.
(Докажите!) Его называют расширением подкольца В кольца В' элементами а1,..., а„б В'. ~ 9. Инвариантные подкольца. Симметрические многочлены Один из способов изучения свойств многочленов из кольца В[х1,..., х„] состоит в описании таких многочленов, которые не изменяются при различных преобразованиях этого кольца.
Ниже рассматривается важный частный класс таких преобразований. Каждой подстановке к = ~ "' " б Я„можно поставить в со- Г 1 ... зз ответствие отображение к: В[х1,..., х„] — ~ В[х1,..., х„], определяемое правилом Ча(х) з= В[х]: к(а(х)) = ,'~~ а;...„х" ) .... х"~„). (36) (зз,...,з„,) У т в е р ж д е н и е 13. Отображение к есть изоморфизм кольца В[х] на себя. П Непосредственно из (36) нетрудно увидеть, что к — биекция. Кроме того, если а(х), 6(х) Е В[х], то верны равенства: к(а(х) + 6(х)) = ~~ (а;з,;„+ 6;„;„)х" .... х'"„ (зз,...,з„) зз " з. зз11) ' ' ' зз(зз) + ~ зз " 1з~Хзз(1) ' ' Хзз(зз) (зз ю ° ~зги ) (зз,...,з„) = к(а(х)) + к(6(х)). 208 209 Отсюда, используя (31), получаем также, что х(а(х) Ь(х)) =,'~ ~ гг(а„д,„„Ь„,...,,„Х1д ~" ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
