Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Таким образом, по конгруэнции р на группоиде С можно построить новый группоид С/р, который наследует многие свойства группоида С. Заметим, что на каждом группоиде С имеются две тривиальные конгруэнции: отношение равенства р1. и так называемое универсальное бинарное отношение ро. (7) О/р Ча, Ь Е С: (а«тд6 «=~ ]а) = ]Ь|), Ча, Ь е С: (а«тгЬ ~ атда = атдЬ). У[а]р Е С/р: т([а]р) = «р(а). (5) Ча,6 е С: (арЬ «Ф «р(а) = «р(6)), (6) «р = «рр т. 227 Очевидно, что при любом а е С класс [а]р, содержит единственный элемент а, а класс [а], — все элементы из С. Отсюда и из утверждения 5 следует, что группоид С/рд изоморфен С, а группоид С/ро— одноэлементный. Приведем примеры нетривиальных конгруэнций на полугруппах.
П р и м е р 8. Отношение сравнимости целых чисел по модулю т является конгруэнцией на каждой из полугрупп (Ж, +) и (Ж,.). Свойство (4) для этих конгруэнций (означающее, что сравнения можно почленно складывать и перемножать) доказано ранее (см. теорему 2Х). Соответствующими факторполугруппами являются (Ж/т, +) и (Ж/т,.). П р и м е р 9. Рассмотрим отношения «тд на множестве комплексных чисел С и «т~ на множестве С' = С~(0), определенные формулами: Из свойств умножения комплексных чисел в тригонометрической форме легко следует, что «тд,«т2 — конгруэнции, соответственно на полу- группах (С; ) и (С',.). (Проверьте!) Геометрически, при изображении комплексных чисел точками плоскости с прямоугольной системой координат, элементы факторполугрупп (С/«тд, ) и (С'/«т2,.) изображаются соответственно концентрическими кругами с центром в начале координат О и лучами, выходящими из точки О (без самой точки О).
По утверждению 5 факторполугруппа С/р полугруппы С по конгруэнции р является гомоморфным образом полугруппы С. Естественно, возникает вопрос: не исчерпываются ли все гомоморфные образы любого группоида его факторгруппоидами по конгруэнциям? Положительный ответ на этот вопрос дает Т е о р е м а 2 (об эпиморфизме группоидов). Пустпь «р — эпиморфизм группоида (С; ) на группоид (Н; ). Тогда: 1) отпношение р на С, определенное формулой: являетпся конгруэнцией на группоиде С; 2) группоиды Н и С/р изоморфны, причем сущестпвуетп единстпвенный изоморфизм т: С/р Н, удовлетпворяющий условию 3 а м е ч а н и е.
Для наглядности гомоморфизмы «р, «рр, т представляют диаграммой и вместо слов "выполняется равенство (6)" говорят: "Диаграмма (7) ком мутативна". П 1) Из (5) следует, что отношение р рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности на С. Проверим для р свойство (4). Используя определение р и тот факт, что «р— гомоморфизм, получим (для любых а, Ь,ад,6д Е С): арад, ЬрЬд =.
(«р(а) = «р(ад),«р(Ь) = «р(Ьд)) = («р(а)«р(Ь) = = «р(ад)«р(Ьд)) =: («р(аЬ) = «р(адЬд)) ~ (аЬ)р(адЬд). Следовательно, р — конгруэнция. 2) Определим отображение т: С/р ~ Н, положив Это определение корректно, т. е. образ класса [а]р не зависит от выбора представителя а, поскольку для любого ад Е С имеем: [ад] р — [а] р «Ф ад ра «Ф «р(ад) = «р(а) ~ т([ад] р) = т([а] р). Отсюда следует также, что отображение т инъективно. Сюръектив- ность т следует из сюръективности отображения «р. Следовательно, т — биекция. Наконец, «р — гомоморфизм, поскольку для любых [а]р, [6]р е С/р верны равенства: т([а]р [Ь]р) = т([аЬ]р) = «р(аЬ) = «р(а) «р(Ь) = т([а]р) т([Ь]р).
Итак, т — гомоморфизм. Проверим условие (6). По определению естественного гомоморфизма ~рр и изоморфизма т для любого а Е С имеем: (~рот)(а) = т(~рр(а)) = т([а]р) = у(а), т. е. урт = ~р. Докажем единственность т. Пусть наряду с т существует изоморфизм тд . .С/р — + Н, удовлетворяющий условию ~рртд —— ~р. Тогда для любого элемента [а]р Е С/р имеем: т([а]р) = ~р(а) = (~рртд)(а) = тд(~рр(а) = тд([а]р).
Следовательно, тд = т. П 3 а м е ч а н и е. Заменив в доказательстве теоремы 2 всюду слово группоид словом полугруппа, мы получим утверждение, называемое тпеоремой об этиморф изме гдалугругдгд. Ее доказательство полностью совпадает с доказательством теоремы 2, т. е. она является частным случаем теоремы 2. Теорема 2 и утверждение 5 сводят задачу описания всех гомоморфных образов группоида С к нахождению всех конгруэнций на С.
Последняя задача, будучи в общем случае сложной, имеет принципиальное преимущество перед первой, поскольку для ее решения нужно использовать лишь сам группоид С, а не искать его гомоморфные образы в классе всех группоидов. П р и м е р 10. Найти все конгруэнции на полугруппе (1Чо, +). Пусть р — любая нетривиальная конгруэнция на полугруппе (1Чо, +).
Опишем классы [а]р. Пусть |с — наименьшее число из 1Чо, удовлетворяющее условию ] [Й] р] > 1, И вЂ” минимальная положительная разность чисел из Яр и а, а+ И Е [гс]р~ Тогда из соотношений ар(а+ Ы), Ира, используя свойства конргруэнции, легко получить последовательно соотношения: ар(а+ Й), (Й+ Й)р(а+ Й), Зср(3с+ Й) для любого 8 е Яо. Отсюда, с учетом условий выбора чисел й, с~, получаем: [Й]р — — (Й+Й: 8 Е Яо), т. е. [Й]р — класс неотрицательных вычетов по модулю с~, больших или равных й.
В связи с этим, обозначим класс [й]р через [Й] д. Теперь, используя импликацию арЬ ~ (а+ 1)р(Ь+ 1), найдем и остальные неодноэлементные классы: [Й+ 1]',,..., [Й + с~ — 1]~. Таким образом, классы эквивалентности по конгруэнции р исчерпываются классами чисел: и полностью определяются парой чисел й, И, где й Е 1Чо, И Е Я. Перебирая все такие пары (й, Ы), мы получим все конгруэнции полугруппы (1Чо, +), а в силу теоремы 2 и все ее гомоморфные образы.
Отметим еще, что теорема об эпиморфизме группоидов может быть использована для установления изоморфизма различных группоидов и для построения изоморфных образов группоидов. П р и м е р 11. По теореме 22.1Х множество фт] значений всех многочленов из Я[х] при х = т = 3, 14... является кольцом относительно операций сложения и умножения в й. Следовательно, имет смысл говорить о полугруппах Я[к];+) и (фт]; ). Попытаемся заменить их изоморфными и более знакомыми полугруппами.
С этой целью рассмотрим отображение у„: Я[х] ~ Я[к], определенное формулой: Ча(х) Е Щх]: у„(а(х)) = а(~г). Отображение у„сюръективно и, как следует из леммы 1.1Х, является гомоморфизмом относительно операций сложения и умножения. Значит, по теореме 2 существуют такие конгруэнции рд, р2 соответственно на полугруппах (фх];+) и (Щх]; ), что (Щх];+)/рд ~ (фт];+), Я[х]; )/р2 = Я[к]; ). Из формулировки теоремы 2 видно, что конгруэнции рд, р2 не зависят от операций, а однозначно определяются отображением у„. Следовательно, рд = р2 = р, где р определено условием: Ча(х),Ь(х) Е Я[х]: (а(х))рЬ(х) «а(зг) = Ь(зг).
Заметим, что а(зг) = Ь(зг) с=~ а(зг) — Ь(зг) = 0 «=~ с(зг) = О, где с(х) = а(х) — Ь(х). Теперь воспользуемся известным в математике фактом о трансцендентности числа т, т. е. об отсутствии ненулевого многочлена из Я[х] с корнем т. В итоге получим: Ча(х), Ь(х) Е фх]: (а(х))рЬ(х) «~ а(х) = Ь(х), т. е. р — отношение равенства. Отсюда и из теоремы 2 легко следует, что отображение у„является изоморфизмом относительно обеих операций +, . Следовательно, у„есть изоморфизм кольца Я[х];+, ) на кольцо 228 229 (8) (9) Чд Е С: ед = де = д и е е = е.
231 230 ~ 4. Полугруппы преобразований О п р е д е л е н и е 7. Полугруппой преобразований множества Й называется любая подполугруппа полугруппы П(Й) всех преобразований множества Й относительно операции умножения преобразований. Полугруппы преобразований играют в теории полугрупп особую роль в связи с наличием следующего утверждения. Т е о р е м а 3.
Любая полугруппа (С; ) изоморфна некотпорой полу- группе преобразований подходящего множества Й. П Доказательство разбивается на два случая. 1) Полугруппа С имеет единицу е. Тогда возьмем в качестве Й саму полугруппу С и определим отображение ~р: С ~ П(С), положив для д Е С: у(д) = д, где д — преобразование множества С, определяемое формулой: Чх Е С: д(х) = х д. Отображение у инъективно, поскольку для любых 91, 92 Е С: 91 ф 92 =Ф е ' 91 ф е ' 92 =Ф 91(е) ф 92(е) = ' 91 ф 92. Докажем, что ~91 92 Е С: ю(9192) =ю(91)ю(92) ~91 92 Е С-9192 =91 92. Последнее утверждение доказывается следующей цепочкой очевидных равенств: 9192(х) = х (9192) = (х91)92 = 91(х) Я = 92(91(х)) 9192(х).
Итак, у — мономорфизм, и потому полугруппа С изоморфна подполу- группе у(С) ( П(С). 2) С вЂ” полугруппа без единицы. Тогда добавим к С новый элемент е и доопределим операцию умножения на множестве С1 = С 0 (е), положив: В итоге получим полугруппу С1 с единицей е. Взяв ее в качестве мно- жества Й, мы точно так же, как и в случае 1), построим мономорфизм ~,: С - П (С,). П В приложениях особый интерес представляют полугруппы преобразований конечных множеств.
Поэтому далее мы ограничимся этим случаем. Заметим еще, что если множества Й1, Й~ равномощны, то полу- группы П(Й1), П(Й~) изоморфны. (Доказательство этого факта сходно с доказательством утверждения 10.1П, проведите его в качестве упражнения.) В связи с этим можно ограничиться изучением лишь полугруппы П(Й) при Й = 1,п. О п р е д е л е н и е 8. Полугруппа всех преобразований множества 1, п называется симметрической полугруппой преобразований степени п. Обозначим ее через П„. Заметим, что порядок полугруппы П„равен и", она некоммутативна при п ) 1 (см. теорему 1.1П) и содержит в качестве подполугруппы симметрическую группу подстановок Я„. Каждое преобразование д е П„, как и подстановку из Я„, можно записать таблицей: где г, = д(з) для з Е 1,п.
Однако здесь, в отличие от подстановок, в нижней строке таблицы некоторые элементы из 1, п могут повторяться несколько раз, а некоторых может и не быть совсем. В связи с этим для преобразований из П„можно ввести следующие параметры. О п р е д е л е н и е 9. Для преобразования д Е П„числа ~д(1, и) ~ и ив — ~д(1, п)~ называются соответственно рангом и дефектпом преобразования д и обозначаются через гапя (9) и с1еГ(д).
Очевидно, что ранги преобразований из П„могут принимать значения от 1 до п, а дефекты — все значения от 0 до п — 1. В частности, подстановки из τ— это преобразования ранга п и дефекта О. Непосредственно из определения произведения преобразований (см. ~ 2.1) следует У т в е р ж д е н и е 6. Для любых преобразований 91, д2 Е П„: гапя (9192) < ~шп(гап8 (д1 ), гапя (92) ), и соотпношение (9) являетпся равенстпвом, если 91 Е Я„или 92 Е Я~. С л е д с т в и е 1. Для любого Й Е 1, п множестпво П~~~ = (д Е П„: гапя(д) < к) являетпся подполугруппой полугруппы П„, и все тпакие подполугруппы образ уютп цепочку: П~'~ с П~~ с ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
