Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Пример тому группа С(ро"). В ~ 4 будут получены дополнительные соотношения между порядком конечной группы, ее экспонентой и порядками ее элементов. ~ 3. Подгруппы. Подгруппа, порожденная подмножеством 1. О п р е д е л е н и е 6. Непустое подмножество Н группы (С, ) называют ее подгруппой, если Н замкнуто относительно групповой операции и является группой относительно этой операции. В этом случае пишут Н < (С, ) или Н < С, и если Н ф (С,(е)), то подгруппу Н называют собственной.
Очевидно, что всякая подгруппа в (С, ) является подполугруппой, но обратное неверно, как показывает пример подполугруппы 1Ч в (У, +). Ясно также, что если Н < (С, ), М < (Н, ), то М < (С, ). П р и м е р 6. Для каждого т Е У множество тУ, = (тй: й Е У) есть подгруппа в (У„+). П р и м е р 7. Пусть à — множество всех комплексных чисел с модулем 1, Гн — множество всех элементов конечного порядка из С*, à — множество всех корней степени т Е 1Ч из единицы в С, тогда: (г, ) < (г, ) < (г, ) < (с*, ); для каждого простого р Е 1Ч и каждого и б 1Ч: (г„...
) < (с(р"), ) < (г,, ). П р и м е р 8. Для любой группы (С, ) множество С(С) =(дЕС:ЮЕС(д6=6д)), называемое центром группы С, есть подгруппа в (С, ). (Докажите!) П р и м е р 9. Для любой абелевой группы С множество Т(С) всех ее элементов конечного порядка есть подгруппа в С. (Докажите!) Эта подгруппа называется подгруппой кручения группы С.
В частности т(с*) = г, т(к') = (1, — ц. У т в е р ж д е н и е 3. Если Н вЂ” подгруппа группы (С, ), то ее нейтральный элемент ен совпадает с ес и для каждого 6 Е Н обратный к 6 элемент в Н совпадает с обратным к 6 элементом в С. П Равенство ео = ес следует из равенств еоео = ео и есео = ео ввиду теоремы 1б). Последняя часть утверждения теперь следует из единственности решения в С уравнения 6х = ес. П При проверке свойства "быть подгруппой" полезно У т в е р ж д е н и е 4. Непустое подмножество Н группы (С,.) является ее подгруппой тогда и только тогда, когда (4) ~д,6 е Н (д6 ~ Н). П Если Н < (С, .), то (4) следует из определения подгруппы и утверждения 3. Пусть верно (4). Так как Н ф И, тосуществуетд Е Н и в силу (4) е = д д ' Е Н.
Тогда для любых д, 6 Е Н справедливы соотношения 6 1 = е6 1 Е Н и д6 = д(6 1) 1 Е Н. Следовательно, подмножество Н замкнуто относительно групповой операции на С, и так как эта операция ассоциативна, то Н удовлетворяет всем условиям определения 6, т. е. Н < (С, ). П С л е д с т в и е 1. Конечное непустое подмножество Н группы С является ее подгруппой тогда и только тогда, когда Чд, 6 Е Н (д6 Е Н), (5) т. е. тогда и только тогда, когда Н вЂ” подполугруппа в (С, ).
П Пусть 6 Е Н. Тогда при условии (5) 6" Е Н для любого и Е 1Ч. Отсюда ввиду конечности Н так же, как и при доказательстве утверждения 1, получаем, что порядок элемента 6 конечен и по теореме 2а) 6 1 Е Н. Теперь видно,что из (5) следует (4). П С лед с т в и е 2. Пусть <р: (С, ) — ~ (К, ) гомоморфиэм групп. Тогда а) если Н < С, то ~р(Н) < К; б) если Ь < К, то ~р ~(Ц < С. П а) Для любых а„В Е ~р(Н) существуют а, Ь е Н такие, что <р(а) = = а, ~р(Ь) = ~У. Так как а Ь 1 Е Н и ~р(Ь 1) = ~р(Ь) 1, то а,д 1 = ~р(а) ° ср(Ь) = ср(аЬ 1) е ар(Н). 244 245 б) Если а, Ь Е ~р ~(Ц, то ~р(а), ~р(Ь) Е Ь и ~р(а) у(Ь) 1 Е Ь.
Поэтому <р(аЬ ) = <р(а) <р(Ь) 1 Е Ь, т. е. а.Ь ' Е у ~(Ь). О 2. Один из основных способов описания подгрупп группы С связан со следующим их свойством. У т в е р ж д е н и е 5. Пересечение любого семейства (С: а е А) подгрупп группы (С, ) есть ее подгруппа. О Пусть Н = П С . Тогда для любых д, и Е С аеА (д, и Е Н) =~ (Ча Е А (д, Ь Е С„)) =~ ча Е А (дЬ Е С ) =~ (дп 1 Е Н), и по утверждению 4 Н < (С, ). О Из утверждения 5 следует, что корректно О п р е д е л е н и е 7. Подгруппой группы С, порожденной данным подмноэкеством Я с С, называется подгруппа (Я), равная пересечению всех подгрупп Н < (С, ), содержащих Я: ЯСН<(С;1 Если при этом (Я) = С (т.
е. С вЂ” единственная подгруппа в С, содержащая Я), то говорят, что Я вЂ” система образующих группы С, или что группа С порождается множеством Я. Разумеется, всегда С = (С). Однако при изучении свойств данной группы С всегда важно найти для нее систему образующих, содержащую как можно меньше элементов. Например, можно написать (У, +) = (1Ч), а можно — (У„+) = (1).
О п р е д е л е н и е 8. Группу С называют конечно порожденной, если она имеет конечную систему образующих, и циклической, если она может быть порождена каким-либо одним элементом. Важный результат, позволяющий строить различные системы образующих группы, состоит в следующем описании элементов группы (Я). Очевидно, что (И) = (е). Т е о р е м а 3. Для любого непустого подмножества Я группы (С, ) подгруппа (Я) состоит из всех элементов д е С вида д = з" ....
з,',", 1 ''' п ~ где и Е Я, з; Е Я, с, Е Ж для 1' Е 1, и, т. е. (Я = (д Е С: д = з1' ... з'„", где п Е 1Ч,з; Е Я,с; Е У„1Е 1,п). (6) О Пусть 5 — множество из правой части доказываемого равенства (6). Тогда Я с (Я). Действительно, так как Я с (Я) и (Я) — подгруппа в (С, ), то (Я) содержит все конечные произведения элементов из Я и обратных к ним, т. е. все элементы из Я. Для доказательства обратного включения заметим, что Я < (С, ). Действительно, если д,л Е Я, то д = а ' -...
а~~, Ь =ф ... ф' для некоторых т, и Е 1Ч, а;, Я Е Я, а;, Ь Е У (1 Е 1, т, 7' Е 1, и), и потому дЬ 1 = а~1'.... а""'. Ць" ....,01 ~' — элемент из Я. Остается заметить, что так как Я с Я, то по определению 7 (Я) с Я. О С л е д с т в и е 1. В условиях теоремы 3 подгруппа (Я) коммутативна тогда и только тогда, когда элементы множества Я попарно перестановочны. С л е д с т в и е 2. В условиях теоремы 3 справедливо равенство (Я) = [Я О Я 1), где Я 1 = (з 1: з б Я), а если С вЂ” конечная группа, то (Я) = (8).
О Достаточно воспользоваться утверждением 2.Х и теоремой 2 а). О С л е д с т в и е 3. Если <р: С -~ Н гамоморфизм групп и С = (Я), то ~р(С) = (~р(Я)). П р и м е р 10. Группа С = (Р„„)* всех обратимых и х и-матриц над полем Р порождается множеством Я всех элементарных матриц (см. следствие 3 теоремы З.ЧП). П р и м е р 11. Группа Я, +) порождается множеством Я всех дробей вида -г, где р пробегает множество всех простых чисел, а й — множе- 1 ство 1Ч. Если Я' получено из Я удалением конечного множества элементов, то равенство Я = (У) сохраняется. (Докажите!) 3 а м е ч а н и е 1. Если Я = (д1,..., д1) — конечная система попарно перестановочных элементов группы С, то элементы порождаемой ею подгруппы допускают существенно более простое описание: (д1,...,д,) = (д Е С: д = д1" ...
д,", где с1,...,с1 Е Ж) при мультипликативной форме записи групповой операции, и: (д1,..., д1) = (д Е С: д = с1д1 +... + с1д1, где с1,..., с1 Е У) при аддитивной форме записи. Первое из этих равенств легко получается из (6) перегруппировкой сомножителей в представлении элементов д Е С в виде д = з" ... з,", а второе — его аддитивный аналог. 3. Теорема 3 позволяет описать все циклические группы и их подгруппы. 246 247 С = (е =д~,д~,...,д 1); (7) Т е о р е м а 4. Пусть (С, ) = (д) — циклическая группа.
Тогда: а) если ого д = т ( оо, то (С, ) Ъ (У~, Ю) и б) если огйд = оо, то (С, ) И (У,+) и С л е д с т в и е. Две циклические группы изоморфны тогда и только тогда, когда их порядки равны. Бесконечная циклическая группа изоморфна любой ее собственной подгруппе. Из теоремы 3 в) следует, в частности, что примером 6 описаны все подгруппы группы (Ж, +). Описание всех подгрупп конечной циклической группы будет дано в ~ 4.
(8) в) если Н ( (С, ), то Н вЂ” циклическая группа. П Легко видеть, что отображение у: У вЂ” С такое, что Чс е У,: ~р(с) = = д' есть гомоморфизм группы (Ж, +) в группу (С,.). Так как по теореме 3 любой элемент из С имеет вид д' при подходящем с е У, то у— эпиморфизм. Тогда по теореме 2.Х группа (С, ) изоморфна фактор- группе (Ж/р, +), где р — конгруэнция иа (Ж, +), определяемая условием Ча,ЬЕ Ж (арЬ с~д =д ). а) Если ого д = т, то, пользуясь теоремой 2б), получаем Ча, Ь Е У (д' = д ) с~ (д' ~ = е) с~ (а = Ь(гпой т)). В этом случае р есть отношение сравнимости по модулю т, (Ж/р, +) = И (Ж,„, ®) (см.
~ 2.Ч замечание 1), и очевидно, что все различные элементы группы С описываются равенством (7). б) Если ого д = оо, то Ча, Ь Е Ж: д' = д с~ а = Ь, т. е. р есть отношение равенства на Ж, и (Ж/р, +) И (Ж, +), в этом случае группа С описывается равенством (8). в) Пусть Н < С. Если Н = (е), то Н = (е) — циклическая группа. Если Н ~ (е), то существуют числа й Е У ~ (О) такие, что д" Е Н.
Выберем среди них наименьшее по абсолютной величине число с. Пусть д' = и. Покажем, что Н = (и). Включение (6) с Н очевидно. Наоборот, для любого 61 Е Н существует й е У такое, что п1 = д". Разделим й на с с остатком: к = ос+ т, О < т ( ~с~. Заметим, что д" = д д ч' = 61. Ь ~ Е Н, поэтому условие т ~ О противоречит выбору с. Следовательно, т = О, й = д с и 6 = Ю Е (и), т. е. Н с (и).
П 248 8 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Подгруппы циклической группы 1. Каждая подгруппа Н группы (С, ) задает на С следующие два бинарных отношения. О п р ед ел е н и е9. Говорят, что элементы а,Ь группы С сравнимы по подгруппе Н справа (слева), и пишут а = Ь(Н)п (а = Ь(Н)л), если аЬ 1 Е Н (а 'Ь Е Н). Если С вЂ” абелева группа, то отношения сравнимости по Н справа и слева совпадают, поскольку аЬ ~ЕНс- "(аЬ 1) ~еНс~Ьа ~еНс~а ~ЬеН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
