Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В этом случае говорят просто об отношении сравнимости по подгруппе и пишут а =— Ь (Н). При аддитивной форме записи групповой операции отношение сравнимости по подгруппе группы (С, +) задается условием а = Ь (Н) с~ а — Ь Е Н. Эта запись позволяет легко увидеть, что в предыдущих главах нам уже встречались отношения на группах, являющиеся отношениями сравнимости по подгруппам.
П р и м е р 12. На (У, +) отношение сравнимости по модулю т есть отношение сравнимости по подгруппе (т) = тЖ: Ча, Ь Е У (а = Ь(шой т)) с~ (а = Ь(тУ)). П р и м е р 13. На мультипликативной группе (С', ) поля С равенство аргументов чисел эквивалентно сравнимости чисел по подгруппе (К>в, ) а равенство модулей — сравнимости по подгруппе (Г, ) (см. пример 7). 249 С= 0Нд..
О (9) аеА О п р е д е л е н и е 11. Представление (9) группы С в виде объединения попарно непересекающихся правых смежных классов по подгруппе Н называется разложением С на правые смежные классы по Н. Полезно заметить, что в (9) один из смежных классов С по Н есть Н= Не. 2.
Следующий результат по эффективности его использования в теории групп является одним из основополагающих. Все приведенные в качестве примеров отношения являются отношениями эквивалентности, и это, как мы сейчас покажем, не случайно. О п р е д е л е н и е 10. Правы.м (левым) смежны.м классом группы (С, ) по ее подгруппе Н с представителем д е С называется множество Нд (множество дН). Т е о р е м а 5. Пусть Н вЂ” подгруппа группы (С, ). Тогда: а) отношение сравнимости на С по подгруппе Н справа есть отношение эквивалентности; б) для любого д Е С класс элементов, сравнимых с д по Н справа, есть Нд.
Любые два правых смежных класса группы С по подгруппе Н либо не пересекаются, либо совпадают. Группа С распадается на непересекающиеся правые смежные классы по подгруппе Н. Аналогичные утверждения верны для левых смежных классов группы С по подгруппе Н и отношения сравнимости по Н слева. О а) Обозначим, для краткости, отношение сравнимости на С по Н справа через р, т. е. положим Ча, Ь Е С: арЬ с~ а = — Ь(Н)п с~ аЬ ' Е Н. Отношение р — рефлексивно, так как е Е Н, и симметрично, так как в Н существует обратный для каждого элемента из Н. Наконец, р— транзитивно, так как если арЬ и Ьрс, то аЬ 1 Е Н, Ьс 1 Е Н, и потому ас 1 = (аЬ 1) (Ьс 1) Е Н, т. е. арс. б) Для каждого д Е Н класс (у]р всех элементов, р — эквивалентных д, имеет вид (д]р — — (а Е С: ад = Ь, Ь Е Н) = (а е С: а = Йд, ЬЕН) =Нд. Теперь из общих свойств отношений эквивалентности (теорема 1.П) следует, что для любых д1, дг Е С классы Нд1 — — (д1]р и Ндг = (дг]р либо не пересекаются, либо совпадают, и если (Нд: а е А) — множество всех различных правых смежных классов С по Н, то Т е о р е м а 6.
а) Любые два правых (левых) смежных класса группы С по подгруппе Н равномощны. 8 частности, в конечной группе С для любого д Е С верны равенства ]Н] = ]Нд] = ]уН]. б) Множество Я правых смежных классов С по Н равномощно множеству.С левых смежных классов С по Н. О а) Достаточно заметить, что отображение у: Н вЂ” + Нд, определяемое формулой ЧЬ Е Н (у(п) = Ьд), есть биекция. Следовательно, все смежные классы С по Н равномощны Н. б) По теореме 5 и определению 9 для любых д1, уг Е С справедливы импликации: Нд1 = Ндг ~ д1д, ' е Н с~ (д, ') 'д, ' е Н ~ д, 'Н = д, 'Н. Отсюда следует, что отображение ф: Я вЂ” + 2 определяемое условием УНу Е Я: ф(Нд) = у 1Н, задано корректно и инъективно. Его сюрьективность очевидна.
Таким образом, ф — биекция. О О п р е д е л е н и е 12. Индексом подгруппы Н в группе С называют число правых (левых) смежных классов С по Н, если это число конечно, и бесконечность — в противном случае. Индекс Н в С обозначают через ~С: Н]. Очевидно, что если Н ( С, то Н = С ~ ]С: Н] = 1.
П р и м е р 14. ]У,: (О)] = оо. Если т Е 1Ч, то ]У,: тУ,] = т, и У = (тУ, О (1+ тУ) О... О (т — 1+ тУ). П р и м е р 15. Если т, й Е 1Ч и и = т . й, то при условии Г„= (() справедливо равенство Г„= Г,„О(Г~ О... О ~" 'Г С л е д с т в и е 1 (теорема Лагранжа). Порядок подгруппы Н конечной группы С делит порядок С и ]С] = ]С: Н] ]Н]. О Разложение С на правые смежные классы по подгруппе Н имеет вид С = Нд1 О... ОНдь, где й = ]С: Н]. Отсюда ]С] = ]Нд1]+...+]Нд~,] и ввиду утверждения а) теоремы 6 ]С) = й]Н]. О С л е д с т в и е 2.
Если С > Н > К вЂ” цепочка подгрупп конечной группы С, то ]С: К] = ]С: Н] ]Н: К]. Если при этом ]С: К] = р— простое число, то либо Н = С, либо Н = К. О ]С:К]= — = — — =]С:Н] ]Н:К]. О )С) ]С] ]Н] )К] )Н] ]К] С л е д с т в и е 3. Порядок любого элемента у конечной группы С делит ]С], в частности, д~~~ = е. 250 251 С=С 8 ЗС =ПзС РН ( С 0Н~ = Ы)) =Ф И ~ [С!), Чд;ЕС;(д; =е;) 253 252 П По утверждению 1 огс1д ( оо и по теореме 4а) подгруппа Н = = (д) имеет порядок ~Н[ = ого д. Теперь соотношение огсз д ~ ~С[ следует из теоремы Лагранжа.
П С л е д с т в и е 4. Если С вЂ” конечная группа, то ехр С ~ [С~. П Достаточно воспользоваться утверждением 2 и предыдущим следствием. П С л е д с т в и е 5. Любая группа С простого порядка р — циклическая. П Пусть д Е С ~ (е). Тогда огсз д > 1, огйд ~ р, и так как р — простое, то ого д = р, и ~(д) [ = р = [С[. Следовательно, С = (д). П В общем случае для конечной группы С обращение теоремы Лагранжа, т. е. обращение импликации неверно. Соответствующий пример будет построен позже (пример 29).
Однако для конечных абелевых групп обращение теоремы Лагранжа верно. В полном объеме это будет доказано в ~ 14, а пока докажем это, и даже более сильное утверждение, для циклических групп. Т е о р е м а 7. 8 циклической группе С = (д) порядка т для любого натурального делителя с~ числа т существует единственная подгруппа Н порядка с~: Н = (дг), где 8 = ~~. П Подгруппа Н = (д ) имеет порядок Ы, так как по теореме 2в) огсз дг = с~. Если Н1 < С и [Н1 ~ = с~, то по теореме 4 в) Н1 — циклическая группа, т.
е. Н1 =< д" > для некоторого й Е 1, т — 1. Тогда по теореме 4а) огйд" = ~Н1[ = с~ и по теореме 2в) с~ = ~Щ~, т. е. Я = (к,т). Поэтому ~ ~ й и д" е (д~) = Н, т. е. Н1 с Н, а так как [Н1 [ = [Н~, то Н =Н.П ~ 5. Произведения групп и подгрупп. Разложение группы 1. При описании строения групп используют различные способы, позволяющие из некоторой группы или совокупности групп строить другие группы. Один такой способ — факторизация — читателю уже знаком по гл. Х и еще будет подробно изучаться ниже. Другой, более простой, но также очень важный способ дает О п р е д е л е н и е 13.
Прямым (внешним) произведением групп (Сд, ),...,(Сс, ) называют группоид (С, ), где С = С1 х ... х Сев декартово произведение множеств С1,..., Сс, а операция на С задается условием: Чд = (д1,...,дф) Е С, Ы = (61,...,йс) Е С: д Ь = (д1 61,...,де Ье). Для этого группоида используют обозначение: У т в е р ж д е н и е 6.
Пусть С = С18...8С~ — прямое произведение групп. Тогда: а) группоид (С, ) есть группа; б) группа С вЂ” абелева тогда и только тогда, когда группы С1,... ..., С~ — абелевы; в) элемент д = (д1,...,д~) Е С имеет конечный порядок тогда и только тогда, когда конечные порядки имеют элементы д1,...,д~ и в этом случае огй д = [ ого д1,..., ого дс~; г) экспонента группы С конечна тогда и только тогда, когда конечны экспоненты групп С1,..., С~ и при этом ехр С = [ехр С1,..., ехр Сс].
П Утверждения а) и б) очевидны, если заметить, что нейтральный элемент в (С, ) есть е = (е1,..., е~), где е, — единица (С;, ) для г е 1, Ф, а обратный для д = (д1,...,д~) е С есть д = (д, ',...,д, ). в) Для любого Й Е Я справедливо равенство д" = (д",..., д,") и потому (д = е) с~ (д1 — — е1,..., д, = ес).
Остается воспользоваться теоремой й /с 2 б). г) Заметим, что число й Е 1Ч удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда ехр С; [ й. Теперь утверждение об экспонентах групп С и С1,..., С~, легко следует из предыдущих рассуждений и определения 5. П С л е д с т в и е 1. Пусть С1,..., С~ — конечные циклические группы порядков, соответственно, т1,..., т~, и С = С1 8... 8 Сс. Тогда следующие утверждения эквивалентны: а) С вЂ” циклическая группа; б) числа т1,..., тс попарно взаимно просты. П Так как по условию ]С,] = ехрС, = т, для з Е 1,~, то ]С] = = т1 .... тс и по утверждению 6 г) ехр С = (т1,..., тс]. Поэтому из а) следует равенство (т1,..., тс] = т1 ... тс, которое эквивалентно б).
Наоборот, по условию для каждого з Е 1, ~ в группе С, можно выбрать элемент д, порядка т,. Тогда в силу утверждения 6б) д = (д1,..., дс)— элемент группы С порядка (т1,..., тс]. Если верно б), то огсз д = ~С] и справедливо а). П Теперь может быть доказано свойство мультипликативности функции Эйлера (см. определение 4.Ч). С л е д с т в и е 2. Если т1,..., тс — натуральные попарно взаимно простьсе числа и т = т1 ... тс, то ~р(т) = ~р(т1) °... ° ~р(тс).
П Пусть С1,..., Сс — группы из следствия 1. Тогда по теоремам 2 в) и 4а) число элементов порядка т, в группе С, равно со(т,) и число элементов порядка т в циклической группе С = С1 8 ... 8 Сс равно <р(т). Остается заметить, что ввиду условия т1 .... тс — — т для произвольного элемента д = (д1,..., дс) Е С справедливы импликации (огсз д = т) ~ (огсз д1 — — т1,..., огсз дс — — тс). (Докажите!) П При адцитивной форме записи операций в группах С1,..., Сс будем говорить не о прямом произведении, а о прямой сумме этих групп. В этом случае групповую операцию на С = С1 х ...х Сс определим равенством (д1,...,дс)+ (61,..., Ьс) = (д1+сс1,...,дс+/сс) и группу (С, +) с обозначим через С1 ®... ® Сс или ~ ~, 'Ю С; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
