Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В этих терминах теорема Кэли указывает точное подстановочное представление степени и группы С порядка и, называемое правым регулярным представлением С. Для любой группы (С, ) определяется и левое регулярное представление, при котором каждому элементу д Е С ставится в соответствие подстановка ~т(д) = д ~ . х е Я(С). (Докажите самостоятельно, что о: С вЂ” Я(С) — мономорфизм групп.) Приведем еще некоторые важные примеры групп подстановок и подстановочных представлений. П р и м е р 24.
Пусть  — произвольное кольцо с единицей е, ™— множество векторов-столбцов длины т над В. Поставим в соответствие каждой обратимой матрице А Е В, преобразование ул. В (ш) — В~™), определяемое правилом: Чх~ Е В~ ): срл(х~) = Ах~. Тогда ~рл — подстановка на В~ ), называемая линейной, а множество СЦт, В) всех линейных подстановок на В~~) есть подгруппа группы 5(В~™)), называемая полной линейной группой размерности т над кольцом В (доказательство сформулированных утверждений предоставляется читателю).
Несложно проверить, что отображение о: В* — > СЦт, В) по правилу о(А) = ~рл~ = ~рл-~ есть изоморфизм > групп. Таким образом, если  — конечное кольцо, то СЦт, В) — точное подстановочное представление степени ~В~™ группы В*, имеющей порядок, значительно больший, чем ~В~™. В случае, если  — конечное поле из д элементов, вместо СЦт, В) пишут СЦт,д). По следствию утверждения 10.ЧП ~СЦт, д) ~ = (д™ вЂ” 1)(д™ вЂ” д) ... ° (д™ вЂ” д ~).
П р и м е р 25. При обозначениях из примера 24 каждой матрице А Е Е В* и каждому вектору Ь~ Е В~ ) поставим в соответствие преобш,ш разование Фл ь~. В~ ) — > В~ ), определяемое правилом: Чх~ е В("'): Ф„ь~(х~) = Ах~ +Ь~. Тогда Фл ь~ — подстановка на Ф ), называемая аффинной, а множество АС1Ятп,В) = (Фль~. А е В*,Ь ~ В~ )) — подгруппа в Я(В~ )), называемая полной аффинной группой размерности т над В. Если В— поле из в элементов, то вместо АСЦт, В) пишут АСЦт,д). Как уже упоминалось, абстрактное понятие группы сформировалось в математике, в частности, и под воздействием геометрии. Здесь источник и область применения понятия группы можно проиллюстрировать следующим образом.
<з) П р и м е р 26. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве 0 ) помещен многогранник (или плоский многоугольник) М с и вершинами. Назовем движением (или инвариантным преобразованием) многогранника М любое его перемещение в пространстве, в результате которого 264 265 Ча„В 1= Й Зд Е С (д(а) =,В), 267 266 он будет занимать ту же область, которую он занимал первоначально (два движения считаются равными, если они равны как отображения множества точек М в множество Р®). Пусть Р(М) — множество всех движений многогранника М. Пере- нумеруем точки пространства, в которых расположены его вершины числами 1,2,...,и.
Тогда каждому движению ~р 1= Р(М) однозначно соответствУет поДстановка ~,, "', / 1= Я„, гДе 2~р — номеР точки пРо/1г... ~, 11 12 °" дть,/ странства, в которую в результате движения ~р переместилась вершина из й-й точки, й 1= 1, и. Так как М вЂ” "твердая" фигура, то указанной подстановкой однозначно определяется все движение ~р. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять движение ~р с соответствующей ему подстановкой и писать: и = (,~,~ "',."). Таким образом, Р(Ы) С Я„.
Нетрудно заметить, что если к многограннику М применить сначала движение бр, а потом движение т/1 = ~ .. " . ~, то результатом выполГ1 г...~1 ~,31 22 " ать,/' нения этих двух движений будет также движение, которое описывается подстановкой ~рф = ( .1 .г "' ." ~. Следовательно, Р(М) ( Я„. \Ь т11 т12 ''' т1ть / О п р е д е л е н и е 23. Группа (Р(М), ) подстановок на множестве номеров вершин многогранника (многоугольника) М, соответствующих его движениям в трехмерном пространстве, называется группой движений многогранника М. В этом определении мы, по сути дела, отождествили группу движений многогранника М с п вершинами и ее точное подстановочное представление степени и, описанное выше. Геометрический смысл группы Р(М) состоит в том, что она — мера симметрии многогранника М: чем он симметричнее, тем больше его группа движений. П р и м е р 27.
Если М вЂ” треугольник, все стороны которого имеют разные длины, то Р(М) = (е) — единичная группа. Если М вЂ” равнобедренный треугольник то Р(М) = (е, (1 з ~~) ) — группа порядка 2. Если М вЂ” равносторонний треугольник, то Р(М) = Яз. 3. При изучении различных свойств групп подстановок весьма важными оказываются следующие результаты. О п р е д е л е н и е 24. Для группы С ( Я(й) элементы а,/3 1= й называют С-эквивалентными и пишут а "/3 (или просто а ° /3), если С д(а) =,В для некоторого д е С. Т е о р е м а 14. Пусть С < 5(й).
Тогда 1) отношение '" на Й есть отношение эквивааентности. МножеС ство Й разбивается на непересекающиеся классы С-эквивааентных элементов, называемые областями транзитивности группы С; 2) подмножество Ь с й есть область транзитивноети группы С тогда и только тогда, когда а) Чд е С (д(Ь) С Ь); б) Ча„В 1= Ь, 3д Е С (д(а) =,В). П 1) Так как для любого а Е Й верно равенство е(а) = а и е 1= С, то а ° а, т. е.
отношение ° рефлексивно. Если о °,В, то /3 = д(а) для некоторого д 1= С. Но тогда а = д 1(,В), д 1= С. И поэтому а ° /3, т. е. отношение ° симметрично. Если а °,3,/3 у, то,В = д(а),7 = й(В) для подходящих д, й Е С. В таком случае дЬ(а) = й(д(а)) = у, дЬ 1= С и а ° 7, т. е. отношение ° транзитивно.
Утверждение о разбиении множества й на области транзитивности теперь очевидно. 2) Если Ь вЂ” область транзитивности С, а 1= Ь и д 1= С, то а д(а), и потому д(а) 1= Ь, т. е. д(Ь) С Ь, и верно а). Утверждение б) в этом случае очевидно. Наоборот, если для Ь с й выполнены утверждения а) и б), то ввиду б) Ь есть подмножество некоторого класса С вЂ” эквивалентных элементов. Кроме того, если а 1= Ь„В Е Й и а,В, то,В = д(а) для некоторого д 1= С и ввиду а),В 1= Ь, т. е. Ь вЂ” в точности класс С-эквивалентных элементов (область транзитивности группы С). 0 О п р е д е л е н и е 25. Группа С ( Я(й) называется транзитивной, если й — ее область транзитивности, т.
е. в противном случае, группа С называется интранзитивной, Транзитивными группами являются, например, группа 5„, ее подгруппа ( (1 г "' "„") ), группа.АСЦт, В). Пример интранзитивной группы — СЦт, В). В частности, группа СЦт, д) имеет ровно две области транзитивности. (Докажите!) Очевидно, что группа Р(М) движений правильного многогранника М транзитивна, однако обратное утверждение неверно.
Например, если М вЂ” плоский шестиугольник, у которого любые два несмежных ребра равны, то группа его движений в трехмерном пространстве транзитивна. (Покажите!) При изучении областей транзитивности группы подстановок полезно О п р е д е л е н и е 26. Орбитой элемента а Е й относительно группы С ( Я(й) называется множество С(а) = (,В Е Й:,В = д(а), д б С). Т е о р е м а 15. Если Ь вЂ” область транзитивности группы С ( ( 5(й), то Ь = С(а) для любого а Е Ь. П Так как все элементы из С(о) С-эквивалентны а, то С(а) с Ь.
Если ~3 Е Ь, то,В а, т. е.,В = д(а) для некоторого д Е С и,В е С(а). П С Теперь можно вывевсти следующее важное соотношение между порядком группы подстановок и порядками ее областей транзитивности. О п р е д е л е н и е 27. Стабилизатором элемента а Е Й в группе С ( Я(й) называется множество подстановок: С,„= (д Е С: д(а) = а).
Т е о р е м а 16 (лемма Бернсайда). Стабилизатор любого элемента а Е й в группе С ( Я(й) есть подгруппа в С и 1С1 = 1С,„1 1С(а)1. П Если д, й Е С, то (дй 1)(а) = и 1(д(а)) = а, т. е. дЬ 1 Е С, и С,„( С. Заметим теперь, что для любых подстановок х, у е С справедливы соотношения: х = у(Са)п <» ху е Са <» (ху )(й) = а <» х(а) = у(а). Следовательно, число различных элементов вида х(а), х Е С, равно числу правых смежных классов С по С,„, т. е. 1С(а)1= 1С: С 1. Отсюда по теореме Лагранжа получаем утверждение теоремы 16. П С л е д с т в и е 1.
Если 1й1 = п и С вЂ” транзитивная группа подстановок на й, то п~ 1С1 и 1С1 = п 1С,„1 для любого а Е й. 268 П Для любого а Е й верны равенства С(а) = й и 1С(а)1= и. П С л е д с т в и е 2. Если М вЂ” правильный многогранник (многоугольник) с п вершинами, в котором каждая вершина имеет й соседних вершин, то порядок его группы движений Р(М) равен пИ. П Воспользуемся терминологией и обозначениями из примера 26, и, для краткости, вершину многогранника, расположенную в точке пространства с номером а, будем называть просто вершиной а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
