Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Следовательно, по теореме 7 в каждой из них есть подгруппа порядка р: А~ < А В~ ( В ~А~~ = ~В~ ~ = р Но по той же теореме в С есть лишь одна подгруппа порядка р. Поэтому А~ = В~ с А П В и А П В ~ (О). Таким образом, примарная циклическая группа неразложима. Пусть, наконец, ~С! = п > 1, и каноническое разложение числа п имеет вид п = р~ ' ... р~~', где 8 > 1. Тогда для каждого г Е 1, 1 в С есть единственная подгруппа Н; порядка р, ' (теорема 7), и подгруппа Н = = Н~ +... + Нс удовлетворяет условию Н = Н~+...
+ Нс (следствие теоремы 9). Но тогда по утверждению 8в) ~Н~ = ~Н~~ ... ~Нс) = ~С~ и С = = Н~ +... + Нс — искомое разложение группы С в прямую сумму примарных циклических подгрупп. Единственность такого разложения с точностью до перестановки слагаемых следует из теоремы 7. П 258 259 В действительности теорема 10 описывает все неразложимые группы в классе абелевых конечно порожденных групп. Для конечных абелевых групп это будет доказано в гл. ХП (теорема 1). Среди абелевых групп, не имеющих конечных систем образующих, есть другие неразложимые группы, например группа Я, +).
(Докажите ее неразложимость.) ~ 6. Классы сопряженных элементов. Нормализаторы. Центр р-группы С = Ц [а]-. П (10) оеА О п р е д е л е н и е 19. Равенство (10) называют разложением группы С на классы сопряженных элементов. 260 1. При изучении некоммутативных групп весьма полезным оказывается следующее бинарное отношение. О п р е д е л е н и е 18. Элементы а и Ь группы (С, ) называют сопряженными и пишут а = Ь, если для некоторого элемента д е С выполняется равенство д 1ад = Ь. Очевидно, отношение сопряженности есть бинарное отношение на С, которое является тривиальным (совпадает с отношением равенства) в том и только в том случае, когда С вЂ” абелева группа.
У т в е р ж д е н и е 9. Отношение сопряженности на любой группе С есть отношение эквивалентности. Группа С разбивается на непересекающиеся классы сопряженных элементов. П Так как а = е 1ае для любого а е С, то отношение = рефлексивно. Если а - Ь, то Ь = д 1ад для некоторого д Е С, атогда а = (д 1) 1Ьд и Ь т а, т. е. отношение = симметрично. Если а = Ь и Ь = с, то Ь = = д 1ад, с = 6 1Ь6 для подходящих д, 6 Е С, а тогда с = (д6) ~а(д6), т. е. а = с,и отношение = транзитивно. Пусть [а]- — класс элементов группы С, сопряженных с а и пусть множество всех таких различных классов есть ([а]-: а Е А).
Тогда по общему свойству эквивалентности любых два различных класса из этого множества не пересекаются, и имеет место равенство: 3 а м е ч а н и е 6. В отличие от отношения сравнимости по подгруппе отношение сопряженности разбивает любую некоммутативную группу С на классы разных мощностей. В частности, если С(С) — центр группы, то Ча е С (][а]-] = 1) м (а Е С(С)), (Докажите! ) Общий подход к описанию мощностей классов в разложении (10) основан на следующем понятии. О п р е д е л е н и е 20.
Нормализатором подмножества М группы С называется множество И (М) = (д ~ С: дМ = Мй. Нормализатором элемента а Е С называется множество Жс(а) = = Ис((а)). Т е о р е м а 11. Нормализатор подмножества М группы С есть подгруппа в С. Для любого элемента а Е С справедливо равенство: ][а] ) = ]С: Ис(а)]. -1 П Пусть х,у Е Ид(М). Тогда хМ = Мх,уМ = Му, и Му = у 1М. Отсюда следуют равенства ху 1М = хМу 1 = Мху 1, доказывающие включение ху 1 Е Ид(М). Следовательно, по утверждению 4 И~(М) ( С. Класс [а]- состоит из всех различных элементов вида х 1ах, х Е С. Заметим, что для любых х, у Е С справедливы соотношения: (х ах = у ау) ~ (аху = ху а) ~ (ху Е Ис(а)) ~ ~ (И~(а)х = И~(а)у).
Таким образом, элементы х 1ах и у 1ау различны в том и только в том случае, если различны смежные классы Ис(а)х и Ис(а)у. Следовательно, ][а]-] = ]С: И~(а)]. 0 2. Полученный результат оказывается весьма полезным при доказательстве различных классификационных теорем в теории групп. Одна из них Т е о р е м а 12. Для простого р центр любой р-группы не равен (е). Любая группа порядка р~ коммутативна.
261 Чх е С: д(х) = хд. ~(дй) = д7, 263 262 П Пусть [С~ = р",и > О. Предположим, что С(С) = (е). Тогда по замечанию 6, если а Е С ~ 1е), то [[а]-~ > 1, и так как число ~[а]-~ = = )С: Ис(а) [ делит р", то р ) [а] . В таком случае в разложении группы С на классы сопряженных элементов есть один класс мощности 1— класс [е]-, а мощности остальных классов кратны р: С = [е]- 0 [а2]- 0... 0 [а~]-, ] [а,] ) = рй,, г Е 2, Ф.
Поскольку в этом разложении классы не пересекаются, то ]С[ = )[е]] + +][а2]]+...+)[а~]], т. е. р" = 1+р(йг+...+Й~), что, очевидно, невозможно при и > О. Следовательно С(С) ф (е). Пусть теперь ~С] = р~. По доказанному С(С) ф (е), и можно выбрать элемент с е С(С) 1, (е). Если при этом С = (с), то коммутативность С доказана. Если С ф (с), то ~С: (с)] = р, и можно выбрать элемент д Е С ~ (с).
Рассмотрим в С подгруппу Н = (с,д). По построению справедливы соотношения (с) ( Н ( С. Отсюда по следствию 2 Ф теоремы 6 С = Н = (с, д), и так как сд = дс, то по следствию 1 теоремы 3 С вЂ” коммутативная группа. П ~ 7. Группы подстановок. Орбиты и стабилизаторы. Лемма Бернсайда 1. В параграфах 2 и 4 главы 1П читатель уже познакомился с понятием подстановки на множестве Й, операцией умножения подстановок, симметрической группой (Я(Й),.) всех подстановок на Й и симметрической группой Я„= 5(1, и) всех подстановок степени п.
О п р е д е л е н и е 21. Подгруппы группы Я(Й) называются группами подстановок множества Й, а подгруппы ߄— группами подетановок степени и. Следует отметить, что класс групп подстановок исторически — один из первых классов изучавшихся групп (в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах). Более того, именно изучение свойств операции умножения на множестве Я„в значительной степени способствовало формированию абстрактного понятия группы. В современной алгебре группы подстановок продолжают играть важную роль как при решении задач классификации групп, так и в многочисленных прикладных вопросах.
Ниже, в параграфах 7 — 9, изучаются лишь некоторые основные, первичные понятия теории групп подстановок, и на этих группах иллюстрируются результаты, полученные в предыдущих параграфах. Особое положение теории групп подстановок в общей теории групп проясняет Т е о р е м а 13 (Кэли). Произвольная группа (С, ) изоморфна некоторой подгруппе группы (Я(С), .). П Поставим в соответствие каждому элементу д Е С отображение д: С - С, определяемое условием: Покажем, что д е Я(С). Действительно, д — сюръективно, так как для любого у е С д(уд ) = у; д — инъективно, так как Чх, у Е С (д(х) = д(у) ~ хд = уд ~ х = у.
/ х Таким образом, д = ] х д — подстановка на С. Теперь покажем, что отображение Ф: С вЂ” > Я(С), определяемое правилом: Чд Е С: Ф(д) = д, есть мономорфизм. Это отображение инъективно, так как если Ф(д1) = Ф(д2) для д1, д2 Е С, то д1 = д2, а тогда д1 — — д1(е) = д2(е) = дг. Наконец, Ф вЂ” гомоморфизм группы (С,.) в группу (Я(С), ), так как для любых д, и Е С и для любого х Е С справедливы соотношения: дух) = хднф = (хд)Ь = д(х)п = Ь(д(х)) = (д Ь)(х), доказывающие равенство Ф(дй) = Ф(д) Ф(Й). Итак, Ф вЂ” мономорфизм С в Я(С), и по теореме 1.Х Ф(С) — подгруппа группы Я(С), изоморфная С. П Заметим, что для каждого п Е 1Ч класс всех групп порядка и разбивается отношением изоморфизма на непересекающиеся классы изоморфных групп. Число таких классов очевидно конечно (так как конечно число таблиц Кэли на множестве из и элементов).
Более точную оценку этого числа дает С л е д с т в и е. Любая группа С порядка п изоморфна некоторой подгруппе группы Я„. Число классов изоморфных групп порядка п равно числу классов изоморфных подгрупп порядка п в Я„. П Достаточно заметить, что Я(С) = 5„(утверждение 10.1П), и потому С изоморфна подгруппе в 5„. П П р и м е р 23. Рассмотрим теорему Кэли в применении к циклической группе (Ж, а). Соответствующая ей группа Й есть группа подстановок на множестве О, т — 1.
При этом циклическому образующему 1 группы У по правилу, определенному теоремой 13, ставится в соответствие подстановка 1 = 1 = ~ " * "' ™а ) и Ж = (1)— циклическая подгруппа в Я(О,т — 1). Произвольному элементу д Е Ж соответствует подстановка 4(д) = д вида д=, " " =~д =1Д. 2. Теорема Кэли дает универсальный алгоритм, позволяющий представить любую конечную группу как группу подстановок. Правда, этот алгоритм, вообще говоря, не является ни единственно возможным, ни наиболее "экономным" (например, с его помощью сама группа Я„представляется группой подстановок степени не п, а п.').
Однако важность теоремы Кэли определяется не только ее универсальностью, но и тем, что она — первый результат, открывший в теории групп новое направление: теорию представлений групп. В связи с этим уместно привести О п р е д е л е н и е 22. Подстановочным представлением группы С на множестве й называется любой гомоморфизм о: С вЂ” > 5(й). Это представление называется точным, если о — мономорфизм. При этом саму группу о(С) также иногда называют подстановочным представлением группы С. Если ~й~ = п, то говорят, что ~т(С) — представление степени и (при этом уже не обязательно ~С~ = и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
