Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 36
Текст из файла (страница 36)
х„""+'" ) = (д'д э" ~д'та) (Вд э" ~Вил) ач„...,т„Ьв„...,в„х"'(1)" .." х™(+)'" = 1г(а(*)) ~г(Ь(х)). дгд,...,д„) двд,...,в„) Следовательно, ~г — изоморфизм колец. П О п р е д е л е н и е 28. Многочлен а(х) д= В(Х1,..., х„] называется инвариантным относительно подстановки к д= Я, если т(а(х)) = а(х)). П р и м е р 7. Многочлен х1 + х3 Е В~Х1,...,Х„] инвариантен относительно подстановки ('13-' „"), но при гд ) 2 он не инвариантен относительно подстановки (3 3 '" " 1). Для любой подстановки к д= Я многочлен х1+х~~+... +х"„не инвариантен относительно тг, а многочлен х1 +...
+ х„, Й д= М, инвариантен относительно к. Любому подмножеству С с Я„можно поставить в соответствие подмножество 1щ~~(С) = 1(С) многочленов из В(Х1,..., Х„], инвариантных относительно каждой подстановки ~г е С: 1(С) = (а(х) Е В~х]: Ъг д= С: тг(а(х)) = а(х)). Заметим, что подмножество 1(С) всегда непусто, поскольку содержит нуль и все многочлены нулевой степени. У т в е р ж д е н и е 14. Подмножество 1(С) есть иодкольцо кольца В(х]. П Замкнутость 1(С) относительно каждой операции * д= (+, ) следует из утверждения 13, поскольку Ма(х), 6(х) Е 1(С), Фг Е С: й(а(х) э 6(х)) = 1г(а(х)) э я'(Ь(х)) = а(х) э 6(х). Так как операция + на 1(С) ассоциативна, О е 1(С) и для каждого а(х) д= 1(С) многочлен — а(х), очевидно, также принадлежит 1(С), то (1(С), +) — абелева группа.
Ассоциативность умножения на 1(С) и его дистрибутивность относительно сложения следуют из того, что В(х]— кольцо. П О п р е д е л е н и е 29. Подкольцо 1(С) называется подкольцом инвариантов кольца В(х] относительно множества подстановок С. Ниже дается описание подкольца 1(С) в важном частном случае, когда С = Я„. о1(х) = х1 + х3 +... + х„, (ТЯ(х) = Х1 Хг + Х1Х3 +... + Х1хд + Х2Х3 + + Хд — 1хдд о1,(х) = х;,х,,.... Х,„1<Й<гд, 1<дд «...дд, <дд ~т„(х) = х1 х3 .... х„. Очевидно, что о1,(х) есть форма степени к из ~я(х1,..., х„]. Интерес к элементарным симметрическим многочленам обусловлен, прежде всего, следующим классическим результатом.
Т е о р е м а 23 (Виет). Если Р— иоле разложения унитарного многочлена 1(х) д= Р(х] степени гд и а1,...,а„— все корни Дх) в Р (с учетом их кратностей), то 1(х) = х — ~т1(а)х 1+ ~тг(а)х ~+... + ( — 1)ддо (Д), где од,(а) — злементарный симметрический многочлен стегдени lс из (Х], а = (а1,...,СД„). П Нужное равенство легко получается из разложения Дх) = (х — а1) ...
(х — а„). П Главное свойство элементарных симметрических многочленов, к доказательству которого мы приступаем, состоит в том, что любой симметрический многочлен может быть выражен через них с помощью конечного числа операций сложения и умножения. Получим предварительно несколько вспомогательных результатов представляющих также самостоятельный интерес. О п р е д е л е н и е 30. Многочлен а(х) д= В~Х1,..., х„] называется симметрическим, если он инвариантен относительно любой подстановки к д= Я„(т.
е. если а(х) д= 1(Я„)). Подкольцо 1(Я„) = 1рдуд(Я„) кольца В(х] называется кольцом симметрических многочленов от и переменных над В и обозначается через ~~ я(х1,..., х ]. Прежде всего приведем основные примеры симметрических много- членов. О п р е д е л е н и е 31. Элементарными симметрическими много- членами называются многочлены 210 211 и(х) .
ю(х) = а'Ь'х1'+" та! °" эста) Рассмотрим последовательности: 212 213 О п р е д е л е н и е 32. Говорят, что ненулевой одночлен а.х~' ....х„'" старше одоночлена 6 х1~' ... х~", и пишут ах" °... х„'" ~ Ьх1' ... ху", если либо Ь = О, либо положительна первая ненулевая из разностей: (11+...
+ 1„) — 01 +... + У„),11 — ~1,...,1„— 1„. Одночлены вида ах1' ... х„'" и Ьх~1' °... х„'" называют подобными. Старший одночлен из канонической записи (30) ненулевого много- члена а(х) Е В(х] называют старшим членом многочлена а(х) и обозначают через Ст(а(х)). Таким образом, согласно определению, одночлен большей степени старше одночлена меньшей степени. Если степени двух ненулевых одночленов равны, то старше тот из них, у которого степень х1 больше.
В случае равенства степеней переменного х1 в этих одночленах, старше тот, у которого больше степень переменного х2, и т. д. Очевидно, что отношение с позволяет строго упорядочить все слагаемые в канонической записи многочлена а(х) (такое упорядочение называют лексико- графическим), и поэтому определение старшего члена многочлена а(х) корректно.
П р и м е р 8. В кольце В~х1, х2] справедливы соотношения 0 С е С х2 С х1 С х2 С х1х2 С х1 С х2 С х1х2 С х1х2 С х1 С .... 2 2 3 2 2 3 Т е о р е м а 24. Если произведение старших членов многочленов а(х), Ь(х) е В~х] не равно нулю, то справедливо равенство Ст(а(х) 6(х)) = Ст(а(х)) Ст(Ь(х)). П Пусть Ст(а(х)) = ах ' ... х~",Ст(Ь(х)) = Ьх)~~' ... х~~". Выберем произвольно ненулевые одночлены из канонических записей многочленов а(х) и Ь(х), соответственно: и(х) = а'х"' ... ° х"„" и ю(х) = Ь'х" ...
х'„'". Ввиду равенства (31), очевидно, достаточно показать, что если и(х) с Ст(а(х)) или и(х) с Ст(6(х)), то х"„"+'" с Ст(а(х)) Ст(Ь(х)) = 1 ' ' (в) = аЬх~'~ ' ... х~"~ ". (37) АО )~~~1 )~~гзв А1 = ~1 у1т ° ° ° вАп = Ои уи Во =,~, А —,~ з;, В1 = А — 31,... т В„= А, — з„. Согласно сделанным предположениям, в каждой из этих последователь- ностей первое ненулевое число (если оно есть) положительно и хотя бы одна из этих последовательностей ненулевая. В таком случае последо- вательность и и Ао + Во — —,~ (ао + 81) —,,'~ (г; + з;), А1 + В1 — — (а1 + Д) — (г1 + з1),... 1=1 1=1 ..., А„+ В„= (а„+ )3„) — (т„+ з ) содержит ненулевые числа и первое из них положительно.
Это в совокупности с условием аЬ ф 0 и доказывает соотношение (37). П Обратите внимание на то, что теорема 24 усиливает теорему 20. Л е м м а 3. Если (х1,..., х„) — ненулевой симметрический много- член и Ст(т(х)) = их1' ... х„", то а1 > а2 > ... > а„.
П Предположим, что а; < а;+1 для некоторого 1 Е 1,п — 1. Рассмотрим оодставовку и = (, в '",.', '+, "' "). Так как к(тСк)) = тСк), то одночлен входит слагаемым в каноническую запись многочлена т(х). Но он при условии а; < а;» 1 старше одночлена Ст(т(х)), что невозможно.
П Т е о р е м а 25. Если  — кольцо с единицей, то для любого много- члена т(х) Е ~~ я(х1,..., х„] сУЩествУет такой многочлен а(х) Е ВЯ, что т(Х) = ~~~~ а;„ ,,„О1(Х)" ... О„(Х)'и = а(О1(Х),...,О„(Х)). П Если т(х) = О, то утверждение очевидно. Пусть т(х) ф О. Обозначим через д(т(х)) количество одночленов ех1' ... х'„" Е ВД, которые младше, чем Ст (т(х)), и будем вести доказательство индукцией по д(т(х)). Если д(т(х)) = О, то т(х) = их1 ...
х0 и утверждение очевидно (а(х) = т(х)). Предположим, что т ) 0 и теорема верна при условии д(т(х)) < т. Докажем ее в случае, когда д(т(х)) = т. Пусть Ст(т(х)) = их ' ....х„". Тогда по лемме 3 а1 > ... > а„. Рассмотрим многочлен ,~1(х) = о1(х)'"' '"~ ог(х)~ ~ '~ °... ° о1(х)"" Е Ея(х]. Применяя несколько раз теорему 24,получаем: Ст®(х)) = Ст((т1(х)) ' Ст((тг(х)) ... Ст(о1(х)) =х,' ' (х1х2)~г ~з ... (х1 ....х„1)~--1 ~" (х1 ....х„)~- = х"". и Тогда для многочлена т1(х) = т(х) — и~1(х) верно соотношение Ст(т1 (х)) ~ Ст(т(х)) и потому д(т(х)) < т. По предположению индукции существует многочлен а1(х) е В(х] такой, что т1(х) = а1(о1(х),..., о„(х)).
Но тогда т(х) = и~1(х)+т1(х) = ио1(х)~' ~' ... о„(х)~" +а1(о1(х),..., о„(х)). П Заметим, что доказательство теоремы 25 дает практический способ выражения симметрического многочлена т(х) через элементарные симметрические многочлены. С л е д с т в и е. Пусть à — поле разложения унитарного много- члена Дх) = х" + с„1х" 1 +... + со Е Г]х] и а1,..., а„— все корни Дх) в Г с учетом их кратностей. Тогда, если Р— подполе поля Г, содержащее все коэффициенты многочлена Дх), то для любого симметрического многочлена т(х) Е Р(х1,...,х„] элемент т(т1,...,а„) тоже принадлежит подполю Р.
П По теореме 25 существует многочлен а(х1,..., х„) такой, что т(х) = = а(о1(х),..., о„(х)). Тогда ввиду утверждения 12 и теоремы 23 справедливы соотношения т(а) = а(о1 (а),..., о„(Й)) = а( — с„1, с„~,..., ( — 1) "со) Е Р. 0 Задачи 1. Докажите, что если в кольце В нет делителей нуля, то мультипликативная группа В(х]' кольца В(х] совпадает с В'. 2. Докажите, что группа Ж4(х]' состоит из всех многочленов с обратимыми свободными членами и четными коэффициентами при остальных степенях х.
3. Докажите, что множество делителей нуля кольца Ж4]х] состоит из всех многочленов с четными коэффициентами. 4. Опишите обратимые элементы и делители нуля в кольце много- членов Жр (х] при простом р Е 1Ч. 5. Может ли кольцо многочленов быть полем? 6. В условиях теоремы 2 приведите пример кольца В и многочленов а(х),6(х) б В(х] таких, что при делении а(х) на 6(х) с остатком справа и слева получаются разные остатки. 7. Если в кольце В нет делителей нуля и многочлен а(х) Е В(х] делится на не нулевой многочлен 6(х) е В]х] с остатком справа, то частное и остаток определены однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
