Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е. УА~ = В~~. Отсюда, пользуясь свойствами операций над матрицами, получим А~с| +... + А~ с„= О~ «=> У(А~~с1 +... + А~ с„) = УО1 «=> «=> (БА~ 1) с1 +... + (УА1)с„= О~ «=> В~ с1 +... + В~ с„= О~. Заметим, что в первой из выписанных равносильностей использовано условие невырожденности матрицы У, в этом случае переход справа налево можно осуществить путем умножения на матрицу У 1. П Т е о р е м а 7. Пусть ненулевая матрица А из Р „стпрочно эквивалентна ступенчатой матприце Я = (з, ) „„шипа Я(т1,..., т,).
Тогда справедливы следующие утверждения: а) столбец А матрицы А является ненулевым и не предстпавля! ется в виде линейной комбинации ее предыдущих спюлбцов тогда и тполько тогда, когда ~ е (~1,...,~,); б) если Я вЂ” специальная ступенчатая матрица, шо П Согласно теореме 6, утверждения а), б) достаточно доказать для соответствующих столбцов матрицы Я. В этом же случае они легко усматриваются непосредственно из строения матрицы Я. П Из этой, по существу очевидной, теоремы можно получить очень важные следствия и, в частности, алгоритмы решения перечисленных выше задач 1) — 6). С л е д с т в и е 1. Если матприца А стпрочно зквивалентпна стпупенчатпой матрице Я шипа Я(т1,..., т„), то система столбцов матрицы А является базисом системы всех ее столбцов. П Не теряя общности, можно считать, что Я вЂ” специальная ступенчатая матрица.
Тогда в силу теоремы 7 а) и утверждения 4 система (7) линейно независима. Кроме того, из (6) следует, что все столбцы матрицы А линейно выражаются через векторы системы (7). П С л е д с т в и е 2. Все сшупенчатпые матрицы, строчно эквивалентные А, имеют один и шот же шип и среди них сущестпвуетп единственная специальная стпупенчатая матрица. П Если А ' Я и Я вЂ” ступенчатая матрица типа Я(т',1,...,т,), то по теореме 7 а) числа т'1,..., т,„однозначно определяются матрицей А— это номера тех ее ненулевых столбцов, которые не выражаются через предыдущие столбцы.
Если, кроме того, Я вЂ” специальная ступенчатая матрица, то по теореме 7 б) ее элементы являются коэффициентами в линейных выражениях столбцов матрицы А через линейно независимую систему ее столбцов (7) и по утверждению 6 однозначно определяются столбцами матрицы А. П С л е д с т в и е 3 (критерий линейной независимости). Система векторов-столбцов А~„..., А~ (8) длины п над полем Р линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы А = (А~~... А~ ) равен т.
О По теореме 7 а) условие линейной независимости системы (8) равносильно тому, что ступенчатая матрица, строчно эквивалентная А, имеет тип Я(1, 2,..., т). Тому же самому по утверждению 1 равносильно и условие гапг: А = т. О Из следствия 3 и определения ранга матрицы получаем С л е д с т в и е 4. Любая линейно независимая система векторов длины п содержит не более п векторов.
С л е д с т в и е 5 (критерий равенства нулю определителя матрицы). Определитель квадратной матрицы А„„„над полем равен нулю тогда и только тогда, когда система ее столбцов (строк) линейно зависима. О Если система столбцов или строк матрицы А линейно зависима, то ~А~ = 0 по теореме 5 и свойству ЧП определителей (или его аналогу для строк). Обратно, пусть |А~ = О. Тогда по определению 1 гапдА < п и по следствию 3 система ее столбцов линейно зависима. Для доказательства линейной зависимости системы ее строк достаточно те же рассуждения провести для транспонированной матрицы.
О С л е д с т в и е 6. Любые два базиса произвольной конечной системы векторов-столбцов (строк) состоят из одного и того же числа векторов, которое для непустой системы равно рангу матрицы, составленной из столбцов (строк) этой системы. О Для пустой системы векторов и системы, состоящей из нулевых векторов, утверждение следствия очевидно. Рассмотрим произвольную непустую систему, содержащую ненулевые векторы-столбцы.
Пусть это есть система (8), и (7) — любой ее базис. Допишем к системе (7) все остальные векторы системы (8) в произвольном порядке и из полученной системы столбцов составим матрицу А' = (А1, А1~,...А,"' ). Так как (7) есть базис системы столбцов матрицы А', то ступенчатая матрица У, строчно эквивалентная А', имеет тип Я(1,..., т), и по утверждению 1 тапуА' = т. Однако матрица А' эквивалентна матрице А = (А~~... А~ ) и по теореме 1 гапдА' = гапг: А. Для доказательства утверждения о системе векторов-строк достаточно путем транспонирования перейти к системе векторов-столбцов и учесть, что ранг матрицы равен рангу транспонированной к ней матрицы.
О В силу следствия 6 корректно О п р е д е л е н и е 10. Рангом произвольной конечной системы векторов называется число элементов любого ее базиса. Пользуясь понятием ранга системы векторов, следствие 6 можно сформулировать короче С л е д с т в и е 7 (теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы равен рангу системы ее строк и рангу системы ее столбцов. В заключение укажем алгоритмы решения перечисленных выше задач 1) — 6) для произвольной системы векторов-столбцов (8). 1) Для решения задачи 1 о системе векторов (8) достаточно найти ранг матрицы А = (А~~... А~ ) и воспользоваться следствием 3. 2) Чтобы выяснить, выражается ли линейно вектор-столбец А,„+~ длины п через векторы системы (8), найдем ступенчатую матрицу ~", строчно эквивалентную матрице А" = (А~~... А~ А~ +~). Если она имеет тип Я(~~,..., и), то по теореме 7 а) вектор А~ + 1 линейно выражается через систему (8) тогда и только тогда, когда ~~ < т+ 1.
3) Если в обозначениях пункта 2) и < т+1, то для решения задачи 3 матрицу У' следует элементарными преобразованиями строк привести к специальной ступенчатой матрице. По теореме 7 б) первые $ элементов последнего столбца полученной матрицы и будут коэффициентами линейного выражения вектора А +~ через векторы А,..., А .. ! 4) Для нахождения базиса системы векторов (8) достаточно найти ступенчатую матрицу, строчно эквивалентную А, и воспользоваться следствием 1. 5) Чтобы выяснить, является ли система (7) базисом системы (8), составим матрицу по схеме А" = (А~,... А~ А~ ...
А~ ), указанной в доказательстве следствия 6, и найдем ступенчатую матрицу У, строчно эквивалентную А'. По теореме 7 система (7) является базисом системы (8) тогда и только тогда, когда У' имеет тип Я(1, 2,..., т). 6) Для дополнения произвольной линейно независимой подсистемы векторов (7) до базиса системы (8) воспользуемся алгоритмом пункта 5).
В силу линейной независимости системы (7) полученная при этом матрица Я будет иметь тип Я(1,...,т,$~,...,$г) при некоторых $~,..., $г Е т + 1, т. Согласно следствию 1, система столбцов А,„..., А... 150 151 А;,,..., А,, и будет одним из искомых базисов системы (8). Решение задач 1) — 6) для векторов-строк сводится к решению соответствующих задач для векторов-столбцов, транспонированных к исходным векторам-строкам. ~ 4.
Подпространства арифметических пространств Пусть Р— поле и ܄— любое из арифметических пространств Р™, р(п) О п р е д е л е н и е 11. Подпространством пространства Ь„назовем любое непустое подмножество К с Ь„, замкнутое относительно операций сложения векторов и умножения их на элементы поля Р, т. е. удовлетворяющее условиям: 1) Чс~, ~В Е К: (ар Е К), 2) Ча Е К,Чс Е Р: (ас Е К). Обозначение: К < Ь„. Примерами подпространств в Ь„могут служить нулевое подпространство, состоящее из одного нулевого вектора д, само пространство Ь„, множество векторов вида (й1с1+.
+с~тлст. С1,,стл Е Р)~ где а1,..., а — произвольная фиксированная система векторов из Ь„. (Проверьте это в качестве упражнения.) Как и для конечных систем векторов, для подпространств из Ь„ можно определить понятие базиса. О п р е д е л е н и е 12. Базисом ненулевого подпространства К пространства Ь„называется любая его конечная система векторов: (9) удовлетворяющая условиям: а) система (9) линейно независима, б) любой вектор из К линейно выражается через векторы системы (9).
Базисом нулевого подпространства считается пустая система векторов. 152 Т е о р е м а 8. Любое подпространство К пространства Ь„имеет базисы и любие два его базиса равномощны. О По следствию 4 теоремы 7 любая конечная линейно независимая система векторов из К содержит не более п векторов.
Следовательно, в К существуют конечные линейно независимые системы с наибольшим числом векторов. Из утверждения 5 следует, что любая из них является базисом К. Пусть система (9) и система векторов (10) 711 17в Отсюда и из следствия 6 теоремы 7 имеем: з = 8. О Из доказанной теоремы следует, что корректно О п р е д е л е н и е 13. Число элементов в любом из базисов подпространства К пространства Ь„называется размерностью подпространства К и обозначается через йп1 К. Следующее утверждение описывает все базисы подпространства К из Ь„. У т в е р ж д е н и е 9. Если К < Ь„и йп1 К = ~, то любая конечная линейно независимая система векторов из К содержит не более 1 векторов, и любая такая система из 8 векторов является базисом подпространства К.
О Пусть (9) есть базис К и (10) — любая линейно независимая система векторов из К. Рассмотрим систему векторов (11). По утверждению 8 систему (10) можно дополнить до базиса системы (11), который, согласно следствию 6 теоремы 7, состоит из 8 векторов. Следовательно, з < 1 и при з = 8 (10) есть базис системы (11). Остается заметить, что любой базис системы (11) является базисом пространства К. О В заключение рассмотрим вопрос о числе векторов и различных базисов в пространствах из Ь„над конечным полем.
У т в е р ж д е н и е 10. Пусть Р— конечное ноле из д элементов, К вЂ” подпространство из Ь„и йп1 К = 8 ) О. Тогда: а) )К~ ~с. 153 являются базисами К. Тогда очевидно, что каждая из них является базисом конечной системы векторов ,(~'.. 71~ ~7в) Р1). ) Й. (11) П«'- ') и=О 154 155 б) число различных базисов простпранстпвв К равно О а) Пусть (9) есть базис пространства К. Из определения базиса и утверждения 6 следует, что любой вектор ст из К однозначно представляется в виде ст = Дс1+...
+ Дст. С другой стороны, из определения 11 видно, что 81с1 +... + Асс е К при любых с1,..., ст Е Р. Следовательно, число векторов в К равно числу различных наборов (с1,..., с~) элементов поля Р, которое, очевидно, равно ц'. б) Укажем алгоритм построения всех базисов пространства К. Так как йт К ) О, то в К существуют ненулевые векторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
