Перельман Я.И. - Занимательная механика (1948) (1015821), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Мяч достигает площадки; в точке соприкоснове- ния он вдавливаетсяги вдавливающая сила уменьшает его скорость, До сих пор мяч веддт себя так, как вело бы себя и неупругое тело; значит, его скорость в этот момент равна и, а потеря скорости о,— и. Но вдавленное место начи- нает сразу же вновь выпячиваться; при этом мяч, ко- нечно, напирает на площадку, мешающую ему выпячи- ваться; возникает опять сила, действующая на мяч и уменьшающая его скорость. Если шар при этом вполне восстанавливает свою прежнюю форму, т.
е. проходит в обратном порядке те же этапы изменения формы, которые прошел он при сжатии, то новая потеря скорости долж- на равняться прежней, или и, — и, а следовательно, в общем скорость вполне упругого мяча должна умень- шиться на 2(п,— и) и равняться и, — 2 (и, — и) = 2и — оы Когда мы говорим, что мяч«не вполне упруг», то мы собственно хотим сказать, что он не вполне восстанавливает свою форму после еб изменения под действием внешней силы, При восстановлении его формы действует сила, меньшая той, которая эту форму изменила, а соответственно этому потеря скорости за период восстановления м е н ь ш е первоначальной; она равна не от †, а составляет некоторую долю ее, которую обозначим правильной дробью е («коэффициент восстановленияе).
Итак, потеря скорости при упругом ударе в первом пе— 96— риоде равна Р,— и, во втором равна е (Р,— и). Общая потеря равна (!+е)(Р,— и), а скорость и„остающаяся после удара, равна и, =Р, — (1+е)(рт — и) =(1+е) и — евы Скорость же и, ударяемого тела (в данном случае площадки), которое.отталкивается мячом по закону противодействия, должна равняться, как легко вычислить, и,=(1+с)и — епа. Разность и, — и» обеих скоростей равна «о,—.ео»=-е 1'о» вЂ” и,), откуда находим, что «козффициеит восстаиовлеиьл» агре« о » 1 » те»я 1 11 е и,— и, с=в и,— и, с=-- и, и, Итак, мы нашли способ определять «коэффициент восстановления» е мяча, характеризующий степень отступления его свойств от вполне упругих: надо измерить высоту, с которой его роняют, и высоту, на которую он подскакивает; квадратный корень из отношения этих величин дает искомый коэффициент.
По спортивным правилам хороший теннисный мяч должен при падении с высоты 250 см подскакивать на высоту 127 — 152 см. Значит, коэффициент восстановления для теннисного мяча должен заключаться в пределах от )/г- -, до ~/г-' -, т. е. от 0,71 до 0,78. Для мяча, ударяющегося о неподвижную площадку, и» = (1+ е) и — еоа = О, и, = О. Следовательно, Но и» есть скорость подскакивающего шара, Равная 1' 2еа, где И вЂ” высота, иа которую ои пол скакивает, о,= г'2Е»т, где Н вЂ” высота, с которой мяч упал. Значит, 7 занимательная механика — 97— Рис. 4б. Хо.
роший мяч для тенниса должен подпрыгиуть примерно иа 140 см, если его уронить с высоты 250 см. Остановимся на средней величине 0,75, т. е. выражаясь вольно, возьмем мяч «упругнй на 75%» и проделаем некоторые интересные для спортсменов расчеты. Первая задача: насколько подскочит мяч во второй, в третий и последующие разы, если его уронить с высоты Н? В первый раз мяч подскочит, мы знаем, на высоту, определяемую из формулы Для е=0,75 и Ни 250 см имеем: Г-л- =-0,75, откуда Л= 140 см. Во второй раз, т. е.
после падения с высоты л= 140 см, мяч подскочит на высоту л„ причем 0,75= у 4о откуда л, =79 см. Высоту л, третьего подъема мяча найдем из уравнения 0,75= )/ ",-'„, откуда л,=44 гм. Рис, 47. Кан иыс«ио ДаЛЬНЕИШНЕ РаСЧЕтЫ ВЕДУТСЯ иоиирыгиуи бим иии, таким же путем, трииеииый с эйфеле- Уроненный с высоты Эйфелевой иой башни. башни (Н=ЗОО и), такой мяч под- скочил бы в первый раз на !68 м, во второй — на 94 м н т. д., если не принимать в расчет сопротивления воздуха, которое в атом случае должно быть велико 1из-за значительной скорости) Вторая задача: сколько всего времени мяч, уронен- ный с высоты Н, будет подскакивать? Мы знаем, что Н йт» .
И следовательно, Гьн /2й I 2», с с е Продолжительность подскакивания равна Т+ 21+ 21, +2~»+... > т. е. ~/ йн ~- 2 ~/2и ~ 2 ~/2и, После некоторых преобразований, которые читатель- математик легко проделает самостоятельно, получаем для искомой суммы выражение 1/ ю (Л вЂ” 1). Подставляя Н =' 250 см, г = 980 см/сек', с = 0,75, имеем общую продолжительность подскакивания равной 5 сел: мяч будет подскакивать в течение 5 сел. Если бы его уронить с высоты Эйфелевой башни, подскакивание длилось бы 1при отсутствии сопротивления атмосферы) около минуты, точнее — 54 с«к, если только мяч уцелеет при ударе.
При падении мяча с высоты нескольких метров скорости не велики, а потому влияние сопротивления воздуха незначительно. Был сделан такой опыт: мяч, коэффициент восстановления которого 0,76, уронили с высоты 250 см, Прн отсутствии атмосферы он должен был бы подскочить во второй раз на 84 сеп в действительности же он подскочил на 83 сеп как видим, сопротивление воздуха почти не сказалось. На крокетной площадке Крокетный шар налетает на неподвижный, нанося ему удар, который в механике называется «прямым» и «центральным». Это такой удар, который происходит в направлении диаметра шара, проходящего через точку приложения ударной силы.
В случае крокетных шаров а =тт и из=О. Подставив, имеем: и1 и= —; 2 и,= — (1 — е); и,= й (1+с). и, и, Кроме того, легко убедиться, что л, + и, =- и„и, — л, = еи,. Теперь мы можем в точности предсказать судьбу ударяю- — 100— Что произойддт с обоими шарами после удара? Оба крокетных шара имеют равную массу.
Если бы. оии были вполне неупруги, то скорости их после удара были бы одинаковыми; они равнялись бы половине скорости ударяющего шара. Это вытекает из формулы а1и, + а,ии а,+а, в которой т,=тэ и и,=0. Напротив, если бы шары были вполне упруги, то простое вычисление (выполнение которого предоставляем читателю) показало бы, что они о б м е н я л и с ь б ы с к о р о с т я м и: налетевший шар остановился бы после удара на месте, а шар, прежде неподвижный, двигался бы в направлении удара со скоростью ударившего шара. Так приблизительно и происходит при ударе биллиард- ных шаров (из слоновой кости), которые обладают боль- шим коэффициентом восстановления (для слоновой кости е= — ).
8 9 Но крокетные шары имеют значительно меньший ко- эффициент восстановления (с=0,5). Поэтому результат удара не похож на сейчас указанные. Оба шара продол- жают после удара двигаться, но не с одинаковой скоро- стью: ударивший шар отстабт от крокированного. Обра- тимся за подробностями к формулам удара тел. Пусть «нозффициент восстановленияа (кан его определить, читателю известно из предыдущего) равен е В предыдущей статье мы нашли для скоростей лг и лт обоих шаров после удара следую- щие выражения: и,=(1+с)п — еип и,=(1+с)л — еи,. Здесь, нан и в прежних формулах, а,и, +а,и, а,+а, шихся крокетных шаров: скорость ударившего шара распределяется между обоими шарами так, что крокированный шар движется быстрее ударившего на долю е первоначальной скорости ударившего шара.
Возьмем пример. Пусть «=0,5. В таком случае шар, покоившийся до удара, получит ",, первоначальной скорости крокировавшего шара, а этот последний будет двигаться за ним, сохранив только '/4 первоначальной скорости. «От скорости †си» Под таким заглавием в «Первой книге для чтения» Л. Н. Толстого был помещен следующий рассказ: «Один раз машина (поезд) ехала очень скоро по железной дороге. А на самой дороге, на переезде, стояла лошадь с тяжелым возом.
Мужик гнал лошадь через дорогу, лошадь не могла сдвинуть воза, потому чтоколесо соскочило. Кондуктор закричал машинисту: «Держи» вЂ” но машинист не послушался. Он смекнул, что мужик не может ни согнать лошадь с телегой, ни своротить ее, и что машину сразу остановить нельзя. Он не стал останавливать, а самым скорым ходом пустил машину и во весь дух налетел на телегу. Мужик отбежал от телеги, а машина, как щепку, сбросила с дорогителегу и лошадь, а сама не тряхнулась, пробежала дальше.
Тогда машинист сказал кондуктору: «Теперь мы только убили одну лошадь и сломали телегу; а если бы я тебя послушал, мы сами бы убились и перебили бы всех пассажиров. На скором ходу мы сбросили телегу и не слыхали толчка, а на тихом ходу нас бы выбросило из рельсов». Можно ли это происшествие объяснить с точки зрения механики7 Мы имеем здесь случай удара не вполне упругих тел, причбм тело ударяемое (телега) было до удара неподвижно. Обозначив массу и скорость поезда через т, и о„ массу и скорость телеги через и« и о,= О, применяем уже известные нам формулы: и,=(1+е)и — ео„. и,=(1+е) и — си«, »4,«, +»44»4 и= —- ~%4 +»44 Разделив в последнем выражении числитель и знаме- — 701— нагель дроби на и„ получим: юа и,+--и, И1 и— +т, Но отношение — ' массы телеги к массе поезда ничтожм1 но; приравнивая его нулю, имеем: и = а,.
Значит поезд после столкновения будет продолжать путь с прежней скоростью; пассажиры не ощутят никакого толчка 1изменения скорости). А что будет с телегой? Ее скорость после удара, и,= =11+с) и=(1+е) о„превышает скорость поезда на ео,. Чем больше была скорость о, поезда до удара, тем больше внезапно полученная телегой скорость, тем больше сила удара, которая разрушает телегу. Это в данном случае имеет существенное значение; для избежания катастрофы необходимо преодолеть т р е н и е телеги; при недостаточной энергии удара она могла бы служить серьезной помехой, оставаясь на рельсах. Итак, разгоняя поезд, машинист поступил правильно: благодаря этому поезд, не претерпев сам сотрясения, устранил телегу со своего пути. Нужно заметить, что рассказ Толстого относился к сравнительно тихоходным поездам его времени.
Человек-наковальня Этот пирковой номер производит сильное впечатление даже на подготовленного зрителя. Артист ложится на землю; на грудь его ставят тяжелую наковальню, и двое силачей со всего размаха ударяют по ней увесистыми молотами. Невольно удивляешься, как может живой человек выдерживать без вреда для себя такое сотрясение. 3 а к о н ы у д а р а упругих тел говорят нам, однако, что чем наковальня тяжелее по сравнению с молотам, — ~ог— тем меньшую скорость получает она при ударе, т. е. тем сотрясения менее ощутительны. Вспомним формулу для скорости ударяемого тела нри упругом ударе 2 (ш,о + ш' е) и,= и — и,=. — о,. т,+т, Здесь ш,— масса молота, и,— масса наковальни, о, и и,— их скорое~и до удара.
Мы знаем прежде всего, что е. = О, так кап наковальня до удара была неподвижна. Значит, формула наша получает вид: 2о,. ш, !пе 2 т1о, Ие— я,+ш, и, шт (мы разделили числитель и знаменатель на ие). Если масса т„на- ковальни весьма значительна по сравнению с массой и, молота, то дробь — очень мала, и ею можно в знаменателе пренебречь. Тогда гл1 т, скорость наковальни после удара ш, и,=2и, — -' т, т. е.
составляет ничтожную часть скорости и! молота'). Для наковальни, которая тяжелее молота, ска)кем, в 100 раз, скорость в 50 раз меньше скорости молота: ! 1 )00 50 1(узнепы хорошо знают из практики, что удар лЕгкого молота не передается в глубину. Теперь понятно, почему артисту, лежащему под наковальней, выгоднее, чтобы она была возможно тяжелее. Вся трудность лишь в том, чтобы безнаказанно удерживать на груди такой груз. Это возможно, если основанию наковальни придать такую форму, чтобы оно плотно прилегало к телу на большом пространстве, а не соприкасалось только в нескольких маленьких участках, Тогда вес наковальни распределяется на большую поверхность, и на каждый ') Мы приняли и молот и наковальню за тела вполне упругие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
