Перельман Я.И. - Занимательная механика (1948) (1015821), страница 14
Текст из файла (страница 14)
45,а перед вами чуть изогнутая «рнвл«нне р«ч речка, на следующем — 45,Ь вЂ” течение ного ложа. успело уже подточить вогнутый берег и несколько отступило от покатого выпуклого. На рнс. 45,с русло реки еще больше расширилось, а на рис. 45,в' превратилось уже в широкую долину, в которой ложе реки занимает только некоторую часть. На рис. 45, е, ~ ив развитие речной долины пошло еще дальше; на — 89— рис. 45, и изгиб речного ложа так велик, что образует почти петлю. Наконец, на рнс. 45, л вы видите, как река пробивает себе путь в месте сближения частей извилистого ложа и меняет там своЕ русло, оставляя в вогнутой части промытой долины так называемую «старицу», или «староречье» вЂ” стоячую воду в покинутой части русла. Читатель сам догадается, почему река в выработанной ею плоской долине не течет посредине или вдоль одного края, а перекидывается всб время с одного края кдругому — от вогнутого к ближайшему выпуклому').
Так управляет механика геологичес1сими судьбами рек. Нарисованная нами картина развертывается, конечно, на протяжении огромных промежутков времени, измеряемых тысячелетиями. Однако явление, но многих подробностях сходное с этим, вы можете видеть в миниатюрном масштабе каждую весну, наблюдая за теми крошечными ручейками, которые промывает талая вода в затвердевшем снеге. ') Мы совершенно не касались здесь действия вращательного движения Земли, сказывающегося в том, что реки северного полушария усиленно размывают свой правый берег, а южного полуша. рия — левый. Об этом ем. мою «Занимательную астрономию», изд. 4, 1946, гл. 1. ГЛАВА ШЕСТАЯ УДАР Почему важно изучать явление удара Т от отдел механики, где говорится об ударе тел, не пользуется обычно любовью учащихся.
Он усваивается медленно, а забывается быстро, оставляя по себе недобрую память, как о клубке громоздких формул, А между тем он заслуживает большого внимания, Было время, когда ударом двух тел стремились объяснить все прочие явления природы. Кювье, знаменитый натуралист Х1Х века, писал: «Удалившись от удара, мы не можем составить ясной идеи об отношениях между причиной и действием». Явление считалось объясненным лишь тогда, когда удавалось свести его причину к соударению молекул. Правда, стремление объяснить мир, исходя из этого начала, не увенчалось успехом: обширный ряд явлений — электрические, оптические, тяготение — ие поддабтся такому объяснению.
Тем не менее и теперь еще удар тел играет важную роль в объяснении явлений природы. Вспомним кинетическую теорию газов, рассматривающую обширный круг явлений как беспорядочное движение множества непрестанно соударяющихся молекул. Помимо того мы встречаемся с ударом тел на — 91— каждом шагу в повседневной жизни и в технике. Все составные части машин и сооружений, которые подвергаются действию удара, рассчитывают'на прочность так, чтобы они могли противостоять ударным нагрузкам.
Обойтись без знания этого отдела механики невозможно. Механика удара Знать механику удара тел — значит уметь предвидеть, какова будет скорость соударяющихся тел после их столкновения. Эта окончательная скорость зависит от того, сталкиваются ли тела неупругие (не отскакивающие) или же упругие. В случае тел н е у п р у г и х оба столкнувшихся тела приобретают после удара одинаковую скорость; величина ее получается из их масс и первоначальных скоростей по правилу смешения.
Когда смешивают 3 кг кофе по 8 руб. с 2 кг кофе по !О руб., то цена смеси равна: з+2 8'8 руб' Точно так же, когда неупругое тело, обладающее массой 3 кг и скоростью 8 см(сек, сталкивается с другим неупругим телом массы 2 кг, настигающим его со скоростью 1О см)сек, то окончательная скорость у каждого тела: и= ' ' =8,8 см/сек. 3 8+2 1о В общем виде — при' соударении неупругих тел, массы которых т, и т„скорости о, и а„их окончатель- ная скорость после удара равна а= т,е, +таи, т,+и, Если направление скорости о, мы считаем положительным, то знак плюс перед скоростью и означает, что тела после удара движутся в направлении скорости и„. знак минус указывает противоположное напраьление.
Вот все, что надо помнить об ударе тел неупругих. Удар упругих тел протекает сложнее: такие тела — 92— при ударе не только сжимаются в месте соприкосновения (как и тела неупругие), но и расширяются вслед за этим, восстанавливая свою первоначальную форму. И в этой второй фазе тело настигающее теряет из своей скорости еще столько же, сколько потеряло оно в первую фазу, а тело настигаемое приобретает в скорости ещб столько же, сколько приобрело оно в первую фазу.
Двойная потеря скорости для более быстрого тела и двойной выигрыш ее для менее быстрого — вот собственно всб об у п р у г о м ударе, что надо держать в памяти. Остальное сводится к чисто математическим выкладкам. Пусть скорость более быстрого тела о„другого о„а массы их т, и л4. Еслибы тела были н е у и р у г и, то после удара каждое из них двигалось бы со скоростью а1о, +т,о, и= + Потеря скорости для первого тела равна была бы о,— и; выигрыш скорости для второго и — о,. В случае же тел упругих потеря и выигрыш; мы знаем, удваиваются, т. е.
равны 2(о,— и) и 2(и — о,), Значит, окончательные скорости и, и й, после у п р у г о г о удара таковы: и, = о, — 2 (о, — и) = 2и — о„ и,=о +2(и — о,)=2и — о,. Остадтся только подставить в эти выражения вместо и его значение (см. выше). Мы рассмотрели два крайних случая удара: тел в п о л н е неупругих и тел в п о л н е упругих. Возможен еще промежуточный случай: когда сталкивающиеся тела н е в п о л н е упруги, т. е. после первой фазы удара восстанавливают свою форму не полностью.
К этому случаю мы ещб вернбмся;пока достаточно знать то, что сейчас было изложено. Картину упругого удара мы могли бы охватить следующим кратким правилом: тела расходятся после столкновения с той же скоростью, с какой сближались до удара. Это вытекает из довольно простых соображений. Скорость сближения тел до удара равна о„ вЂ” о,, Скорость их расхождения после удара равна и,— и,. Подставив вместо и, и и, их выражения, получаем: и, — и, = 2и — о, — (2и — о,) = о, — о,. Свойство это важно не только потому, что дабт наглядную картину упругого удара, но и в другом отношении. При выводе формулы мы говорили о телах «ударяемом» и «ударяющем», «настигаемом» и «настигающем», относя движение их, конечно, только к некоторому третьему телу, не участвующему в их движениях. Но в первой главе нашей книги (вспомните задачу о двух яйцах) было уже разъяснено, что между телами ударяющим и ударяемым никакой разницы нет: роли их можно обменять, ничего не изменяя в картине явления.
Справедливо ли это и в рассматриваемом случае? Не дадут ли полученные ранее формулы иные результаты„если роли тел изменятся? Легко видеть, что от такой перемены результат вычисления по формулам нисколько не изменится. Ведь при той и другой точках зрения р а з н о с т ь скоростей тел до удара должна оставаться неизменной. Следовательно, не изменится н скорость расхождения тел после удара (и,— и,=о,— о,). Иными словами, картина окончательного движения тел остается та же.
Вот несколько интересных числовых данных, относящихся к удару абсолютно упругих шаров, Два стальных шара, каждый диаметром около 7,5 см (т. е, примерно величиной с биллиардные), сталкиваясь со скоростью 1 м/сгк, сдавливаются с силой 1500 кг, а при скорости 2 м/сок — с силой 3500 кг. Радиус того кружка, по которому шары при этом ударе соприкасаются, в первом случае 1,2 мм, во втором — 1,б мм. Продолжительность удара в обоих случаях — около — секунды. Кратко- 1 оооо временностью удара объясняется то, что материал шаров не разрушается при столь значительном давлении (15 — 20 т на см').
Впрочем, так мала продолжительность удара только при небольших размерах шаров. Расчбт показывает, что для стальных шаров планетных размеров (радиус= — 94— =10000 хл«1, соударяющихся со скоростью 1 ел~(сек, время удара должно равняться 40 часам. Круг соприкосновения имеет при атом радиус 12,5 км, а сила взаимного сдавливания — около 400 биллионов тонн! Изучите свой мяч Те формулы удара тел, с которыми мы познакомились на предыдущих страницах, непосредственно на практике мало применимы, Число тел, которые с достаточным для целей практики приближением можно причислить к «вполне неупругнм» или к «вполне упругим», весьма огра- ниченно. Преобладающее большинство тел не может быть отнесено ни к тем, ни к другим: они «не вполне упруги». Возьмем мячик.
Не страшась насмешки ста- ринного баснописца, спросим себя: мячик вещь какая? Вполне упругая или не вполне упругая с точки зрения механикиг Имеется простой способ испытать мяч на упругость: уронить с некоторой высоты на твбрдую площадку. Вполне упругий мяч должен был бы подскочить на ту же высоту. Это вытекает из формулы упругого удара 2 2 (т1»1 + твое) Прилагая еб к случаю мяча, ударяющегося о неподвижную площадку, мы можем массу т» площадки считать бесконечно, боль. той, скорость же ее равна нулю: т,=оо, ит — — О. до подстановки этих значений в предыдущую формулу преобразуем еб, разделив числитель и знаменатель дроби на тт: 2( — 'и, + иг) и — т т — и.
1 т1 »1, После годстановки получаем: 2( — ' и, +0) и т, — и. 6 — +те Так как — '=О, то лробь становится равной нулю, и формула получает вид: 1= — »1 ° То-есть мяч должен отскочить от площадки с той же скоростью, с какой достиг еа. Но, падая с высоты Н, тело приобретает скорость, равную ее ои Ъ 2дН, откуда Н= — ° 2е Подброшенное же отвесно со скоростью и, тело достигает высоты ит л =- — . ги ' Значит, «=Н: л1яч должен подскочить до того уровня, с какого он упал. Шар неупругий не подскакивает совсем (это ясно из физических соображений, но легко убедиться и соответ- ственной подстановкой в формулу), Как же должен вести себя мяч н е в п о л н е упру- гийГ Чтобы уяснить это, вникнем в картину упругого удара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
