Перельман Я.И. - Занимательная механика (1948) (1015821), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Остановимся на теории. Тело, брошенное под углом а к горизонту со скоростью и, падает на расстоянии'). ее »1п 2а Ы Величина и ускорения силы тяжести в различных пунктах различна н, в частности, например, равна на широте Архангельска (64'30') ..... 982 см)сека Ленинграда (60 )........ 981,9» Харькова (бо'), ...... 981,!» Каира(30').......,... 979,3» ') Для упрощения вычислений мы пренебрегаем сопротивлением воздуха. — 72— Из приведенной формулы для дальности бросания видно, что при равных прочих условиях дистанция обратно пропорциональна величине р. Несложный расчет показывает, что то усилие, которое человек затрачивает, чтобы забросить мяч в Харькове на 73 м 92см, уносит тот же мяч в других местах на следующие расстояния: в Архангельске..., ..
73 м 85 си в Ленинграде...., ., 73 е 8б э в Каире.......... 74 а 5 е Итак, чтобы побить в Ленинграде рекорд харьковской физкультурницы, закинувшей мяч на 73 м 92 см, достаточно превзойти дистанцию 73 м 86 см. Каирский спортсмен, повторивший харьковский рекорд, на самом деле отстал бы от него на 12 см, а архангельский физкультурник, бросивший мяч на дистанцию, 7 сантиметрами меньшую, нежели Синицкая, в действительности побил бы поставленный ею рекорд. По хрупкому мосту Озадачивающий случай описывает Жюль Верн в романе «В 80 дней вокруг света», Висячий железнодорож- Рпс. 34.
Эпизод с мостом в романе Жюль Верна. ный мост в Скалистых горах грозил обрушиться из-за поврежденных ферм. Тем не менее бравый машинист решил вести по нему пассажирский поезд. ° — Но мост может обрушиться! а — Это ие имеет значения; пустив поезд на всех парах, мы имеем шанс проехать, ° Поезд пошйл вперед с невероятной скоростью. Поршни делали 20 ходов в секунду. Оси дымились. Поезд словно не касался рельсов.
Вес был уничтожен скоростью... Мост был пройден. Поезд перепрыгнул через него с одного берега на другой. Но едва успел он переехать реку, как мост с грохотом обрушился в воду». Правдоподобна ли эта история? Можно ли «уничтожить вес скоростью»2 Мы знаем, что железнодорожное полотно при быстром ходе поезда страдает больше, чем при медленном; на слабых участках пути предписывается' поэтому итти тихим ходом. В данном же случае спасение было именно в быстром ходе.
Возможно ли это2 Оказывается, описанный случай не лишен правдоподобия. При известных условиях поезд мог избегнуть крушения, несмотря на то, что мост под ним разрушается. Всб дело в том, что поезд пронЕсся через мост в чрезвычайно малый промежуток времени. В столь краткий миг мост просто н е у с п е л обрушиться... Вот примерный расчет.
Ведущее колесо пассажирского паровоза имеет диаметр 1,3 и. «Двадцать ходов поршня в секунду» дают 10 полных оборотов ведущего колеса, т. е. 1О раз по 3,14 1,3. Это составляет 41 м; такова секундная скорость, Горный поток был, вероятно, не широк; длина моста могла быть, скажем, метров 1О.
Значит, при своей чудовищной скорости поезд пронбсся по нему в '/,,секунды. Если бы даже мост начал разрушаться с первого мгновения, то передняя его часть за '/, секунды успела опуститься на з- К~ = -з 9,8 — о -- 0,3 м, т. е. на 30 см. Мост оборвался не на обоих концах сразу, а сначала на том конце, на который въехал паровоз.
Пока эта часть моста начинала свое падение, опускаясь на первые сантиметры, противоположный конец ещб сохранял связь с берегом, так что поезд (весьма короткий) мог, пожалуй, успеть проскользнуть на противоположный берег, прежде чем разрушение дошло до этого конца.
В таком смысле и надо понимать образное выражение романиста: «вес был уничтожен скоростью». Неправдоподобие эпизода состоит в другом: в «20 ходах поршня в секунду», порождающих 150-километровую часовую скорость. Такой скорости паровоз того времени развить не мог. Надо заметить, что нечто сходное с только что описанным проделывают иногда конькобежцы: они рискуют быстро проскальзывать по тонкому льду, который .— 74— наверное проломился бы под ними при медленном движении. Следует также иметь в виду, что образное выражение «вес уничтожен скоростью» применимо и в случае движения по выпуклому мосту. В этом случае увеличение скорости приводит к уменьшению давления движущегося тела на мост. Три пути Задача На отвесной стене начерчен круг (рис.
35), диаметр которого равен ! м. От верхней его точки вдоль хорд АВ и АС идут желобки. Из точки А одновременно пущены три дробинки: одна свободно падает вниз, две другие скользят без трения и не ка- 4 тясь по гладким желобкам, Какая из трех дробинок раньше достигнет окружности? Решение Так как путь по желобку АС самый короткий, то можно подумать, что, скользя по нему, дробинка достигнет окружности раньше других. д Второе место в состязании Рис.
35. Задача о трех ДОЛжНа, ПОВИДИМОМУ, ЗаНЯтЬ араб сах дробинка, скользящая вдоль АВ; и, наконец, последней достигнет окружности дробинка, падающая отвесно. Опыт обнаруживает ошибочность этих заключений: все дробинки достигают окружности о д н о в р ем е н н о! Причина в том, что дробинки движутся с разлнчнымн скоростями: быстрее всех движется свободно падающая, а из двух скользящих по жолобам быстрее та, путь которой наклонбн круче. По более длинным путям дробинки, как мы видим, движутся быстрее, и можно доказать, что выигрыш от большой скорости как раз покрывает потерю от длинного пути. — 75— В самом дане, продолжительность 1 падения по отвесной линии А0 (если отвлечься от сопротивления воздуха) определяется по формуле Аг) =г е)2 откуда l 2АО Я Продолжительность й движения по хорде — например по АС вЂ” равна: 2АС й= )/ и где а — ускорение движения по наклонной линии АС.
Но легко установить, что а АЕ АЕ е АС АС Рис. 35 показывает, что АЕ АС АС Ас) и, следовательно, АС Ао Значит, Итак, Г = Ги т. е. продолжительность движения по хорде и по диаметру одинакова. Это относится, А конечно, не только к АС, но и ко всякой вообае хорде„ проведенной из точки А. Ту же задачу можно поставить и в иной форме. Три тела движутся под действием силы тяжести по хордам АО, В0 и СВ круга, расположенного,в вертикальной плоскости (рис. Зб).
Движение на- д чалось одновременно в точках Рис. 36. задача Галилея. А, В и С. Какое тело раньше достигнет точки ст? Читатель не затруднится теперь доказать самостоятельно, что тела должны достичь точки 0 одновременно. Рассмотренная задача была поставлена и разрешена Галилеем в книге «Беседы о двух новых отраслях науки» (есть русский перевод), где впервые изложены открытые им законы падения тел. Там находим доказательство теоремы, формулированной Галилеем так: «Если из высшей точки круга, построенного над горизонтом, проведены различные наклонные плоскости, доведбнные до окружности, то времена падения по ним одинаковы».
Задача о четырех камнях С вершины башни брошены с одинаковой скоростью четыре камня: один — отвесно вверх, второй — отвесно вниз, третий — горизонтально вправо, четвбртый — горизонтально влево, Какую форму имеет тот четырбхугольник, в вершинах которого будут находиться камни во время падения? Сопротивления воздуха в расчет не принимать.
Решение Большинство приступает к решению этой задачи с мыслью, что падающие камни должны расположиться в вершинах четырЕхугольника, форма которого напоминает фигуру бумажного змея. Рассуждают так: камень, брошенный вверх, удаляется от исходной точки медленнее, чем брошенный вниз; брошенные же в стороны летят по кривым линиям с некоторой промежуточной скоростью, Забывают при этом подумать о том, с какой скоростью опускается центральная точка искомой фигуры. Легче получить правильное решение, рассуждая иначе. Именно, сделаем сначала допущение, что тяжести нет вовсе. В таком случае, конечно, четыре брошенных камня располагались бы в каждый момент на вершинах квадрата. Но что изменится, если мы введбм в действие тяжесть? В несопротивляющейся среде все тела падают с одинаковой скоростью. Поэтому наши четыре камня под действием силы тяжести опустятся на одно и то же — 77— расстояние, т.
е. квадрат перенесЕтся параллельно самому себе и сохранит фигуру квадрата. Итак, брошенные камни расположатся в вершинах квадрата. К сейчас рассмотренной задаче примыкает Задача о двух камнях С вершины башни брошены два камня со скоростью трех метров в секунду: один — отвесно вверх, другой— отвесно вниз. С какой скоростью они удаляются один от другого? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение Рассуждая, как в предыдущем случае, мы легко придбм к правильному выводу: камни удаляются один от другого со скоростью 3+ 3, т. е. б м/сек. Скорость п ад е н и я здесь, как ни странно, никакого значения не имеет: ответ одинаков для любого небесного тела— для Земли, Луны, Юпитера и т. п.
Игра в мяч Задача Игрок бросает мяч своему партнЕру, находясь в 28 и от него. Мяч летит четыре секунды. Какой наибольшей высоты достиг мяч? Решение Мяч двигался 4 секунды, совершая одновременно перемещение в горизонтальном и в отвесном направлениях. Значит, на подъем и обратное падение он употребил 4 секунды, из них 2 секунды на подъем и 2 на падение (в учебниках механики доказывается, что продолжительность подъЕма равна продолжительности паде- ния). Следовательно, мяч опустился на расстояние — =-19 б м, Е13 О,а.зе 2 2 Итак, наибольшая высота подъема мяча была около 20 и. Расстояние между игроками (28 м) — данное, которым нам не пришлось воспользоваться. При столь умеренных скоростях можно пренебрегать сопротивлением воздуха.
ГЛАВА ПЯТАЯ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ Простой способ прибавиться в весе ы часто желаем своим больным знакомым «приба- М виться в весез. Если бы речь шла только об этом, то добиться увеличения веса можно очень скоро без усиленного питания и заботы о своем здоровье: достаточно только сесть в карусель. Катающиеся на карусели обычно и не подозревают, что, сидя в возке, они буквально прибавляются в весе.
Несложный расчет покажет нам величину прибавки. Пусть (рис. 37) ММ вЂ” та осгь вокруг которой обращаются возки карусели. Когда карусель вращается, возок, подвешенный к ней, стремясь вместе с пассажиром двигаться по инерции в направлении касательной и, следовательно, удалиться от оси, занимает наклонное положение, показанное на рнс.
37. Вес Р пассажира разлагается при этом на две силы: одна сила Р направлена горизонтально в сторону оси и является той центростремительной силой, къ торая поддерживает круговое движение; другая — О направлена вдоль веревки и придавливает пассажира к возку; она ощущается пассажиром, как вес. «Новый весе, мы видим, больше нормального Р Р и равен — . Чтобы найти величину угла а между Р и О, надо сова' знать величину силы Гс. Сила эта центростремительная; следовательно, порождаемое ею ускорение иэ а=— г Ф где з — скорость центра тяжести возка, а г — радиус кругового — 80— ,движения, т, е. расстояние центра тяжести возка от оси 54№ Пусть зто расстояние б м, а число оборотов карусели — 4 в минуту; зна1ч' Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
