Перельман Я.И. - Занимательная механика (1948) (1015821), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Об этом писал в красноречивых выражениях 'ещб Галилей, основатель науки о прочности. Читатель не упрекнет меня в излишнем пристрастии к замечательному учбному, если я еще раз приведу цитату из его сочинений: еМне хотелось бы, — писал он в своих «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки», — прибавить несколько замечаний относительно сопротивления твбрдых тел, полых или пустых внутри, которыми как мастерство (техника), так и природа пользуются на тысячи ладов. В них без возрастания веса достигается возрастание прочности в — 110— весьма большой степени, как легко можно видеть на костях цтиц и на тростнике, которые при большой легкости отличаются и большой сопротивляемостью изгибу и излому.
Если бы соломинка, несущая колос, превышающий по весу весь стебель, была при том же количестве вещества сплошной и массивной, то она была бы значительно менее прочной на изгиб и на излом. Было замечено на деле и подтверждено опытом, что палка пустая внутри, а также деревянная и металлическая труба, крепче, чем массивное тело той же длины и равного веса, которое неизбежно является более тонким. Мастерство нашло применение этому наблюдению при изготовлении копий, делаемых пустыми внутри для достижения проч- В ности и вместе с тем легкости». Мы поймем причину этого, если рассмотрим поближе те напряжения, какие возникают в брусе Рис.
5П Прогиб бруса. при сгибании. Пусть в середине стержня АВ (рис. 5)), подпЕртого на концах, действует груз Я, Под влиянием груза стержень прогибается вниз.. Что при этом происходит7 Верхние слои бруса сжимаются, нижние, напротив, растягиваются, а некоторый средний слой (инейтральный») не будет ни сжиматься, ни растягиваться. В растянутой части бруса возникают упругие силы, противодействующие растяжению; в сжатой — силы, сопротивляющиеся сжатию, Те и другие стремятся выпрямить брус, и это сопротивление изгибу растет по мере прогибания бруса (если не превзойден так называемый «предел упругости»), пока не достигнут такого напряжения, которого груз ~ преодолеть не может: сгибание останавливается. Вы видите, что наибольшее противодействие сгибанию оказывают в этом случае самый верхний и самый нижний слои бруса: средние части тем меньше участвуют в этом, чем ближе они к нейтральному слою.
Поэтому целесообразно сечению балки придать такую форму, при которой ббльшая часть материала — 111— находится возможно дальше от нейтрального слоя. Такое распределение материала осуществлено, например, в двутавровой и коробчатой балках, изображенных на рис. 52. Рис. 52.
Двутавроваи (налево) и коробчатая балки. Впрочем, стенка балки не должна быть слишком тонкой: она не даат полкам балок сдвинуться одна относительно другой и обеспечивает устойчивость балки. Ещб более совершенной формой в смысле экономии материала, чем двутавровая балка, является ферма. В ферме (рис. 53) вообще выброшен весь материал, прилежащий к нейтральному слою и потому слабо нагруженный. Взамен этого сплошного материала применены Рис.
53. Ферма заменяет в смысле прочности массивную балку. стержни а, Ь, ..., к, которые связывают пояса АВ и СО фермы. Читателю ясно из предыдущего, что под действием нагрузок г', и ге верхний пояс фермы будет сжат, а нижний — растянут. Теперь читателю понятно также и преимущество трубок перед сплошным стержнем. Добавлю числовой пример. Пусть имеются две круглые балки одинаковойдли- — пг— ны, сплошная и трубчатая, причйм площадь кольцевого сечения трубчатой балки та же, что и у сплошной.
Вес обеих балок, конечно, одинаков, Но разница в сопротивлении изгибу огромная: расчет показывает, что трубчатая балка ') прочнее (на'изгиб) на 112",щ т. е. более чем вдвое. Притча о семи прутьях ° Товарищи, вспомните веник: раздергав — и весь по прутику ломай, а свяжи, попробуй-ка переломить». Серафимович (Среди ночи). Всем известна старинная притча о семи прутьях. Чтобы убедить сыновей жить дружно, отец предложил им переломить пучок из семи прутьев.
Сыновья пытались это сделать, но безуспешно. Тогда отец, Л взяв у них пучок, развязал его и легко переломил каждый прут в от- Рис. б4. Стрела прогиба х. дельности. Интересно рассмотреть притчу с точки зрения механики, именно — с точки зрения учения о прочности. Величина и з г и б а стержня измеряется в механике так называемой «стрелой прогиба» х (рис.
54). Чем стрела прогиба в данном брусе больше, тем ближе момент излома. Величина же стрелы прогиба выражается следующей формулой: втте ,стрела прогиба х= —, в которой Р— сила, действующая на стержень; 1 — длина стержня; те=3,14...; Š— число, характеризующее упругие свойства материала стержня; г — радиус круглого стержня. Применим формулу к пучку прутьев. Семь его прутьев располагались, вероятнее всего, так, как показано на ') В случае, когда диаметр просвета равен диаметру сплошной балки. 8 Занимательная механика 1та концовке этой главы, где изображено сечение пучка. Рассматривать подобный пучок как сплошнойстержень (для чего он должен быть крепко перевязан) можно только с приближением. Но мы здесь и не ищем строго точного решения. диаметр связанного пучка, как легко видеть из рисунка, раза в три больше диаметра отдельного прута.
Покажем, что согнуть (а значит — и сломать) отдельный прут во много раз легче, чем весь пучок. Если в обоих случаях хотят получить одинаковую стрелу прогиба, то для прута надо затратить силу р, а для всего пучка — силу Р. Соотношение между р и Р вытекает из уравнения ри У 12 к/а4 ! 2 е» (Зг)4 откуда Р Р=— 81 Мы видим, что отцу пришлось прилагать, хотя и семи- кратно, зато в 80 раз меньшее усилие, чем сыновьям, ГЛАВА ВОСЬМАЯ РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ Чего многие не знают об единице работы — Что такое килограмметр? — Работа поднятия одного килограмма на высоту одного метра, — отвечают обычно. Такое определение единицы работы многие считают исчерпывающим, особенно если прибавить к нему, что поднятие происходит на земной поверхности. Если и вы 'удовлетворяетесь приведенным определением, то вам полезно будет разобраться в следующей задаче, лет тридцать назад предложенной знаменитым физиком проф.
О. Д. Хвольсоном в одном математическом журнале. «Из вертикально поставленной пушки длиною ! м вылетает ядро весом ! кг. Пороховые газы действуют всего на расстоянии ! м. Так как на всбм остальном пути ядра давление газов равно нулю, то они, следовательно, подняли ! кг на высоту одного метра, т. е. совершили работу всего в ! кнлограмметр. Неужели их работа столь мала?», Будь зто так, можно было бы обходиться без пороха, метая ядра силой человеческих рук, Очевидно, при подобном расчет". делается грубая ошибка.
Какая? — 115— Ошибка та, что, учитывая выполненную работу, мы приняли во внимание лишь небольшую ее долю и пренебрегли самой главной частью. Мы не учли того, что в конце своего пути по каналу пушки снаряд обладает с к о р о с т ь ю, которой у него не было до выстрела. Работа пороховых газов состояла, значит, не в одном лишь поднятии ядра на высоту 1 м, но и в сообщении ему значительной скорости. Эту неучтбнную долю работы легко определить, зная скорость ядра. Если она равна б00 м1сек, т. е.
б0 000 см/сек, то при массе ядра ! кг (1000 г) кинетическая его энергия составляет: епФ 1000 бо ооое — =18 1Оп аргон. 2 2 Эрг — это диносантиметр (работа дины на пути в !ем). Так как 1 килограмметр содержит приблизительно 1 000 000 100= 10' диносантиметров, то запас энергии, движения ядра равен: 18 10":10'=18000 кгм. Вот какая значительная часть работы осталась неучтенной только изтза неточности определения килограмметра! Теперь становится очевидным, как надо это определение пополнить: килограмметр есть работа поднятия на земной поверхности первоначально неподвижного груза в 1 кг на высоту 1 м, при условии, что в конце поднятия скорость груза равна нулю.
Как произвести килограмметр работы Никаких трудностей, казалось бы, тут нет: взять гирюв1кгиподнятьна1м. Однако, с какой силой надо поднимать гирю7 Силой в 1 кг ее не поднять. Нужна сила б о л ь ш е килограмма: избыток этой силы над весом гири и явится движущим усилием. Но н е п р ер ы в н о действующая сила должна сообщить поднимаемому грузу у с к о р е н и е; поэтому гиря наша — 116— к концу поднятия будет обладать некоторойскоростью, не равной нулю, — а это значит, что выполнена работа не в 1 кгм, а б о л ь ш е. Как же поступить, чтобы поднятием килограммовой гири на 1 м выполнить р о в н о килограмметр работы? Поднимать гирю можно таким образом, В начале поднятия надо давить на гирю снизу с силой больше 1 кг.
Сообщив этим гире некоторую скорость. по направлению вверх, следует уменьшить 1н или вовсе прекратить давление руки и предоставить гире двигаться замедленно. Приэтом момент, когда рука прекращает давление на гирю, нужно выбрать так, чтобы, двигаясь далее замедленно, гиря закончила свой путь в 1 м в тот момент, когда скорость ее сделается равной нулю. Действуя таким образом, т. е. прилагая к гире не постоянную силу в 1 кг, а пе- сь ременную, меняющуюся от величины, большей 1 кг, до величины, меньшей 1 кг, мы можем совершить работу ровно в 1 кгм, Как вычислять работу Сейчас мы видели, как сложно выполнить килограмметр работы поднятием 1 кг на 1 м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
