Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Особенностью при этом было то, что формирующий непрерывный фильтР отыскивался для простоты в классе физически неосуществимых линейных фильтров с четной импульсной переходной характеристикой. 'Прн моделировании случайных процессов с рациональным спектром можно найти физически осуществимые непрерывные формирующие фильтры, используя метод факторизации. 3. Получение весовых коэффициентов методом факторизации 'В рассматриваемых выше методах синтеза формирующих дискретных фильтров для моделированпя случайных процессов путем скользящего суммирования пе использовались специальные свойства корреляционных функций моделируемых случайных процессов. На практике значительный интерес представляют стационарные случайные процессы, у которых корреляционные функции таковы, что преобразования Фурье от них являются рациональными функциями, т.
е. и 6 (е) = ГЕЕ(т)е Е"' ~Ет = ' ( ), (2.33) где 6~(ы) и 6т(ы) — полиномы степени Е' и гй>Е' соответственно. Это свойство позволяет синтезировать формирующие фильтры для зюделпроваиия случайных процессов данного класса другим по сравнению с описанными выше способом, основанным на следующих фактах. Случайные 'процессы с рациональной спектральной плотностью (2.33) наблюдаются, как известно, на выходе линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами прп воздействии на входе белого шума. Передаточяая функция К(1е) таких систем является дробно-рациональной функцией вида К(1")= К'11„1 ° (2.34) где К~Цв) и К1(1е) — полиномы по 1в степени 1 и гп>1 соответственно. Прн воздействии белого шума с едияичнойспектральной плотностьюиасистему с передаточной функцией (2.34) на выходе системы будет случайный процесс с энергетическим спектром ( )=)К() )~'=-К(1~)К( — 1в)= „'0,>~ „'1 1вв) (2.35) Произведя в (2.35) умножение, лолучим (2.33).
~При моделировании случайных процессов с рациональным спектром фильтр с передаточной функцией (2.34) целесообразно взять в качестве формирующего, но для этого нужно, зная дробно-рациональную спектральную функцию (2.33), найти передаточную функцию (2.34) формирующего фильтра. Последнее можно сделать путем факторизации спектральной функции б(в), т.
е. разложения ее иа множители вида О~йв) К|Цв) К ( — 1в) ~( ) =0,1 1= К,0 1 К,( — 1 1 ' (~. о) Множитель Ку()в)/Кз()в) в 'формуле (2.36) и будет передаточной функцией К(1в) формирующего фильтра (см. (233) и ',(2.35Ц. Порядок проведения факторизации следует из теоремы о разложении неотрицательных дробно-рациональных функций на множители [30, 70): всякая неотрицательная дробно-рациональная относительно в функция с П(в-в,.
61(в) ~, а=1 (2.37) П( — '1 монгет быть предегавлеиа в в!!де —.= с 02 (и) П «~- мм) Р х=)"' ю Рх= — -)ч!мь При этом множитель С должен выбираться из условия 1й'() >)!'=6( )- После того как найдена передаточная функция непрерывного фильтра, нетрудно получить весовые коэффициенты в формуле скользящего суммирования. В самом деле, импульсная переходная характеристика формирующего фильтра согласно известной теореме разложения [4Ц имеет внд Ф' р„! ь=в (2.39) где С н С вЂ” некоторые константы; ым и ещ, — те из кор-! У ней !!'!!, и а!'ы в первоначальном представлении дробно«",, рациональной функции (2.37), которые лежат а верхней ' полуплоскости.
Согласно этой теореме для нахождения передаточной упкции непрерывного формирующего фильтра методом акторизацнн нужно найти корни о!'!х н е!'зх числителя б! (ы) н знаменателя бг(е!) соответственно заданной дробно-рациональной спектральной функции (2.33); выбрать из них корни ыы н е!ы, лежащие в верхней иолу-' плоскости (корин с положительной мнимой частью), и записать искомую передаточную функцию в виде П ( — ,.) П(р — Р ) КО )=р'С ",.-' =,/С '=,„' =(((Р), П (!и )и.,) П (Р Рв) ь-! «=! Й (т) =Ь(т). (2.41) Тогда случайный процесс $(1) на выходе фильтра будет иметь заданный энергетический спектр б(ы).
Для получения алгоритма формирования дискретных реализаций этого процесса запишем процесс фильтрации белого шума в виде интеграла Дюамеля $ (1).= ~Ь(с) х (г — т) Их. о Шум х, (1) с корреляционной функцией (2А4) имеет бесконечную дисперсию.
Это создает неудобства при дискретизации уравнения .(242). Для упрощения, так же как зто было сделано в п. 2 данного параграфа, заменим белый шум х, (г) с неограниченным спектром белым нормальным шумом х!!(1) с ограниченным частотой в, спектром и выберем частоту км так, чтобы в полосе ( — в„ы,) находилась агодавляющая часть мощности процесса В(1). Тогда процесс $(1) с достаточной точностью можно представить в виде $(1)= ~Ь(т) х,(1 — т)(Ь, о (2.43) где нормальный шум х, (1) имеет конечную дисперсию, равную ч = — (площадь прямоуголышка с основанием 2е, и еднничт ьь ной высотой, поделенная иа 2я), н некоррелированные в точках Г, =--лдт=и — "значения.
Заыеняч теперь интеграл (2.43) мо 77 где р„— полк!6ы передаточной функции (2.33) (корни зюменателя) кратности Г каждый (Г +Г +...+г~=п!); г„— ~а — 1 ! 1„ з (ㄠ— И вЂ” !)! ~„ †! ! л т ! Р=Р» ~Пусть на входе 'фильтра с импульсной переходной характеристикой (2.39) воздействует непрерывный белый шум с единичной спектральной плотностью, т, е. с корреляционной функцией Пример 2. Найдем весовую функцию лля моделирования случайного процесса с корреляционной функцией и знергетическим спектром вила П(т)=-е "", о(ю)=- ма+юг Корни знаменателя спсктралннай функции 0(ы) раи~ы мцт= =.~на,.
Передаточная функция формирующгео фильтра согласно (2.38) имеет внд (2.45) суммой с шагом Ы, получим алгоритм формирования дискретных реализаций процесса $(() в виде ее еч Цп~ = ЦпИ) = И ~ Ь Я х, (п — Ь)=~"„сах (и =Ь), (2.44 а=о а=о где Ь (Ь] =.Ь(ЬИ) — дискретные значения импульсной переходной характеристики формнрунхцего фильтра; си —— =Ив,й Щ =)/'Й Ь [Ь); х (и) — независимые нормалыгые случайные числа с параметрами (0,)). Алгоритм (2.44) является алгоритмом скользящего суммировании с весовой функцией, равной (с точностью до множителя) дискретным значениям импульсной переходной характеристики Ь(г) ~формирующего фильтра, определяемой формулой (2.39).
При использовании алгоритма (2.44) бесконечная сумма практически заменяется конечной. Из условия )У(Ою) )т=б (ю) следует Г'С = т'2ю . По 4юрмулам (2.39) и (2.40) прн л=г,=1, рг= — ы найдем импульсную переходную характеристику формирующего фильтра й (1) = ггС е~ г = 'гг2мне Отсюда в соответствии с (2.44) онончательно получим с„= )г 2в йге~™ = 'тг2те т* .
т = ю М. В рассматриваемом примере спектральная функция допускает простую факторизацию. Однако это не всегда имеет место. При факторизации спектральных функций высокого порядка требуется находить корни полиноиов степени выше второй, что в общем случае затруднительно и что ограничивает применение метода факторизации. 78 4. Некоторые специальные способы попуценив весовых коэффициентов В некоторых задачах при моделировании нормального случайного процесса й(г) бывает известна пе только его коррелнцнонная функция и энергетический спектр, яо и та, что этот процесс является результатом возлействия белого шума па линейную систему с заданной передаточной функцией К(р) (не обязательно дробно рациональной) и импульсной переходной характеристикой й(Г).
При моделировании данную линейную систему целесообразно использовать как формирующий фильтр. Подвергнув процесс фильтрации белого шума дискретизации (используя прн этом заланную импулщную переходную характеристику фильтра), получим аналогично тому, как было сделано в п. 3 этого параграфа, алгоритм скользящего суммирования для малелироваиия случайного процесса й(г). В этом алгоритме весовые коэффициенты сз будут совпадать с точностью до постоянного множителя с дискретной импульсной переходной характеристикой фильтра йщ=/з(йб/) !формула (244)!. В рассматриваемом случае подготовительная работа очень простая.
Рассмотренные выше методы получения весовых коэффициентов требуют более сложной подготовительной работы, твк как в них предполшгается, чта характеристики формирующего фильтра заранее неизвестны и должны быть определены тем или иным путем. В заключение этого параграфа укажем на олин пример стационарного случайного процесса, для моделирования которого с помощью скользящей суммы можно палучгггь необходимую весовую функцию сю ке прибегая к универсальным методам. Пусть сз=с, тогда согласно (2.9) Эта соответствует треугольной коррсляшювной функции вида 1~1~ //(,)=("(' —,, / !ч!'=~ (2.49) (о !с!) сэ. когда отношение (2.47) /у = тз/д/ являетсн целым числом. Это открывает следующий простой путь отыскания иесовой функции формирующего фильтра дзя молелирования случайного процесса с треугольной корреляционной функцией вила (2.4б): выбрав отношение тз/Лг целым, по (2.47) находим Ф; значения сь с» берем олинакоаым и равными Алгоритм формирования случайного процесса с треугольной кор- реляционной фуик1гпей сводится к скодьзнщему равновесному сум- 79 мированню артовормнрованной последовательности случайных чпсвгй па формуле с [и) = — » [и — й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
