Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 13
Текст из файла (страница 13)
у с~ (2.48) У( Отметим, что в этом случае при моделировании нормального случайного процесса исхолная послеловатетьносгь х[п[ может иметь равномерное распределение, так как при суммировании Й равномерно распределенных случайных чисел с одинаковыми параметрамп закон распределения суммы будет близок к нормальному уже при Ж=З. Так, например, если последовательность х[л) имеет равномерное распределение в интервале (О, Ц (случайиые числа из датчика), то для моделирования нормального случайного процесса с треугольным законом корреляции можно воспользоваться алгоритмом й[п) =е йтг — ЛУЫ»[ — й[ — 2,йГ>З* г Г2 (%') =Ув~Ь а —.а Этот алгоритм не требует нормализации исхолиой последовательности: формирование корреляционных свнзей и нормализация производятся одновременно.
Прнвеленный пример указывает на то, что необходимую весовую функцию формирующего фильтра в некоторых случаях можно находить, подбирая такую дискретную функцию г[п1 которая при свертке с собой, согласно (2ЛО) или (2.25), лает требуемую корреляционную функцию !т[п) 2.3. Моделирование стационарных случайных процессов с помощью рекуррентиых разностных уравнений Рекуррентные алгоритмы вида (2.2) пригодны только для моделирования случайных процессов с рациональным спектром.
Применение рекуррентных уравнений наиболее аффективно, когда корреляционные функции моделируемых процессов имеют невысокий порядок, определяемый числом полюсов спектральной функции, так как а этих случаях моделирующие алгоритмы очень просты, не имеют методической погрешности и их параметры удается выразить в явном виде через параметры корреляционной функции.
Отсутствие методической погрешности понимается здесь в том смысле, что дискретные реализации ай[п3, полученные на ЦВМ, и последовательности ьй(гг(зу) выборочных значений процесса й(() и точности совпадают прн любом шаге Лг, если пренебречь погрешностью йр округления чясел' в ЦВМ н считать исходные случайные числа х[п] строго независимыми и нормальными. Рассмотрим два метода получения параметров рекуррентных алгоритмов по задиным корреляционной функции Я(т) и энергетическому спектру 6(ь) моделируемого непрерывного процесса. 1.
Получение параметров рекуррентных алгоритмов методом факторизации где С» миогочлены относительно т [при кратных корнях %(]ы)]. Для вещественных процессов комплексной записи (2.36) соответствует вещественная форма записи В (т) = Х [А» (т) соз а»а + В» (т) з(п а» ~ с ~] е где А»(т) н В»(т) — ииогочлеиы относительно т. Таков общий вид корреляционной функции случайных процессов с рациональным спектром.
Корреляционная функция соответствующих дискретных процессов Щ=в(пМ) в общем виде запишется р[п] — ~)~~(А» [и] соз а»я+В» [и] з(п $~п[)е г»'"', (2.50) где А„[п], В»[п] †дискретн миогочлеиы; ໠— — а»М, р»=[~»И †безразмерн параметры. Для дискретного случайного процесса а[п] по аналогии с непрерывным случайным процессом $(1) вводится понятие спектральной плотности (энергетического спектра) в виде (см., например, [83]) а=е 1". (2.51) Ф( )= Е В[п]е ' = Х В[п]а", Пусть Ц~) — непрерывный стационарный случайный процесс с рациональной спектральной плотностью (2.33).
Можно показать [30], что корреляционная функции этого процесса имеет вид й(т)=ХС»е ", Х»=а»+]р», [)» >О, (2А9) где в = вйт — безразмерная частота. Спектральная фуннция";: Ф(м) дискретного случайного процесса согласно определе-' нию (2.5!) является двусторонним дискретным преоб- 6 азованием Лапласа от его корреляционной функции. одобно энергетическому спектру 6(е) непрерывного случайного процесса функция чр(м) неотрицательна. Эти две функции, как известно (85), связаны следующим соотношением: ИФ(вй()= ~т~~ б(м — 2ю,а), а= — й~ где в, = ж/о( — частота дискретизации. Можно показать (30], что спектральная плотность Ф(ш) дискретного случайного процесса с корреляционной функцией вида (2.50) является рациональной функцией относительно а=е '": Ф(.-)= л'(е ~ ) А,'(г) =Р(,), (2,52) и (-)Г) '(т) где А (.)=А.+А,г+...+А н.г'; В' (а) = В', + В', г+ ...
+ В", г Для вещественных процессов все коэффициенты А'„А',„ В'„В', — вещественные числа. Известно (85), что при воздействии дискретного белого нормированного шума х(п) на дискретный линейный фильтр с передаточной функцией на выходе фильтра будет дискретный случайный процесс со спектральной плотностью, равной квадрату модуля передаточной функции." Если А(а) и В(г) — полнномы, то спектральная функция (2.53) является рациональной.
Сравнивая (2.53) 82 с (2.52), видим, что дискретный процесс $Ц, порождаемый непрерывным случайным процессом Ц1) с рациональным спектром, можно получить, пропусиая дискретный белый шум через дискретный линейный фильтр с рациональной передаточной функцией К,(я), удовлетворяющей условию (К. (г) )'=Г(г) или (2.54) Зная дробно-рациональную передаточную функцию К (г), путем идентификации легко можно найти параметры рекуррептного алгоритма вида (2.2) для осуществления на ЦВМ дискретной фильграцин.
В этом и состоит суть рассматриваемого метода моделирования случайных процессов (77, 101). Подготовительная работа здесь включает в себя три этапа. 1. Нахождение спектральной плотности Р(г) (если она неизвестна) моделируемого процесса Цп) по корреляционной функции )г[п) с помощью двустороннего дискретного преобразования Лапласа (2.51). 2. Факторизация спектральной функции Г(г), т. е. разбиение ее в соответствии с (2.53) на два сомножителя: А'ы) А(г) А(я ') Р(~) и ( ) и( 1 и( ~1 )К~(()~ ' (2 55) 3.
Преобразование передаточной функции К (в) к виду (2.4): ее+аде+ .. +а~я' 1+ Ь,з+... + Ь„,я~ с целью получения параметров аь н Ьь моделирующего рекуррентного алгоритма вида (2.2). Последний этап сводится к простой нормировке путем деления числителя и знаменателя передаточной функции К,(з) на коэффициент при нулевой степени в в знаменателе. Более сложными являются первый и второй этапы.
На первом этапе требуется привести к замкнутому виду бесконечную сумму (2.51). Для этого можно использовать таблицу изображений функций в смысле дискретного преобразования Лапласа. Такие таблицы имеются, например, в (85]. Если таблицы содержат лишь 6'" 83 односторонние преобразования Лапласа, то для полу ння двухстороннего преобразования можно нспользов соотношение Р(г) =Р'(г)+Р (г- ) — )((0), (2 Р+ (г) = 2,' Д (л) ~" (2.57; я-. я — одностороннее з-преобразование корреляционной функ- ' ции.
Для нахождения изображения Р(г) корреляцион- ' ную функцию «х«(п), заданную в виде (2.50), в общем ' случае целесообразно представить в комплексной форме;:, (2.49). Тогда ряд (2.51) разобьется на сумму рядов;:; вида Р+ (г) = ~ и' е ' ги, (2.58): я=о изображение которых (1851">, стр. 899) Р+(г)= „х)„,(ге*), г-1, (2.59) ге «),е« Р+ (г) = (1 — ге ') где Я„(г) — многочлены степени г. Первые пять многочленов имеют вид (185), стр. 159): (;1,(г) = 1, !е«(г) = 1 + а« Я,(г)=1+4г+г«, (2.60) О,(г) =1+11г+11г'+г', Я«(г) = 1+ 26а+ 662'+26г'+ г'.
Остальные 9«(а) можно найти, вычисляя специальный определитель или дифференцируя соответствуюшую производяшую функцию (85). Найдя изображения Р+ (г) и просуммнрсмав их по г и з, по формуле (2.56) получим спектральную плотность Р(а) в виде (2.52). и Переменная г в наших обозначениях равна е «в обозначениях [851. ае Наибольшие трудности встречаются па этапе факторизации. Факторизация спектральной функции Г(г) дискретного случайного процесса, так же как и факторизация спектральной функции 6(е!) непрерывного процесса ($2.2.), связана с нахождением корней полиномов, стоящих в числителе и знаменателе спектральной функции Г(г), н вытекает нз следующей теоремы о разложении дробно-рациональных неотрицательных функций «30, 70): всякая неотрицательная рациональная относительно г =- е '" функция А (г) А',+А',г+ ...+А'!,г! "(')=- () ~,+ „+„.+ .„- с'П (г — ы„) !:=.
! П( -и,) х — ! (2.61) может быть представлена в виде П (г — О~) Р( )= (А'+Аз+"'+Аии 1 =С вЂ” ~~В.+В,г+ ... + В.,х:~~~ П ( — е.) С а=' ! П( — -а,) А А(г) А (г-') Ш В(г) В(г-') ' п(- --.) (2.62) Д (г ма) ь=! где С' и С вЂ” некоторые константы; при этом корни пав те из корней о'ь в (2.61), которые по модулю больше единицы, н половина тех корней о'ь которые по модулю равны единице, корни и!х — те из корней га'ж которые но модулю больше единицы. Из теоремы следует, что для осуществления факторизация нужно найти корни о'а числителя А'(г) и !а'ь знаменателя В'(г) спектральной функции Р(г); выбрать 85 нз ннх корни, модуль которых больше нли равен единице, и взять .их в качестве корней числителя и знак!она- 1 теля искомой передаточной функции с(.(г). Тогда с П( — ъ) Ке(г)=йсгС ь П( — .) а=! Множитель С выбирается из условия П (г — оь) =д.
(,) =Р(г). А' (г) й --.) Практически при использовании одностороннего а-преобразования приходится определять лишь корни числителя, так как общий знаменатель в сумме (2,56) автоматически оказывается разложенным в произведение В(г) В(г-с), Рассмотрим порядок проведения подготовительной работы на конкретных примерах. Пример 1. Пусть требуется найти дискретную передаточную функцию формирующего фильтра для цифрового моделирования стационарного случашюго процесса с рациональным спектром, корреляционная функция которого имеет вид С((т) и -ш!т! (2.63) Корреляционная функция соответствующего дискретного процесса равна сг [л[ = иг е ™ ! " ! соа тил, (2.64) гДе та =в бС, т =м ДС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
