Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

г-"~ И Ряс. Ът. В (1.48) справа даны аснмптотические значении ошибки интерполяции при малых з. Аснмптотическими формулами практически можно пользоваться вместо точных формул прн е =!. Из рис. 1.7 видно, что в рассматриваемом примере линейная интерполяция по величине опшбкн восстановления весьма мало отличается от опти- И мальиой @птерполяции. В пределе при бт' — «О соглйсйб '' (1.47) линейная интерполнция является в данном случае ' оптимальной. Наибольшаи погрешность восстановления имеет место при использовании ступенчатой несимметричной интерполяции. Интерполяция по Котельникову в отношении точности занимает здесь промежуточное положение между -ступенчатой симметричной и линейной интерполяцией.

Вообще же в этом примере значения ошибок довольно большие и слабо зависят от вида интерполяции. Это объясняется тем, что, во-первых, выбранный для примера процесс имеет интенсивные высокочастотные составлянзщие (спектральная плотность его в области высоких частот убывает всего лишь как 1/ыт), во-вторых, шаг дискретизации выбран слишком большим (коэффициент корреляции между соседними дискретами процесса равен е "~~=0,2). В заключение можно сделать вывод, что полученные здесь формулы оценки погрешности интерполяции позволяют в каждом конкретном случае достаточно просто найти ошибку восстановления стационарных случайных сигналов по дискретным данным при различных видах интерполяции. Полученные результаты будут использованы в $ 3.7.

Глава вторая МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 2.1. Постановка задачи Рассмотренные в первой главе методы моделирования случайных векторов в рамках многомерных распределений и рамках корреляционной теории, вообще говоря, пригодны для моделирования случайных процессов, заданных на конечном интервале времени.

Однако при формировании реализаций большой длины .этн методы, как было отмечено. требуют большого количества вычислений и трудоемкой подготовительной работы, что затрудняет их практическое использование. К сожалению, более простых методов получения неограниченных во времени дискретных реализапий случайиых процессов с заданным многомерным законом распределения или же с заданной корреляционной функцией аг(1, 1'1 до настоящего времени не известно. Однако на практике столь широко поставленные задачи моделирования случайных процессов встречаются редко. Чаше требуется моделировать случайные процессы, относящиеся к определенному, более узкому классу случайных процессов, например: стационарные нормальные случайные процессы; стационарные процессы, не являющиеся нормальнымн, но порождаемые нормальными в нелинейных системах; нестационарные нормальные случайные процессы со стационарными приращениями; многомерные стационарные нормальные случайные процессы (т.

е. несколько стационарнйх и стационарно связанных случайных процессов); марковские процессы; случайные потоки и др. Для этих классов случайных процессов можно указать достаточно аффективные моделирующие алгоритмы. ~В настоящей главе рассматриваются вопросы моделирования названных классов случайных процессов.

Кроме этого, рассматриваются принципы моделирования случайных полей, т. е. случайных функций нескольких переменных. Основное внимание уделено методам моде- рн лнрованни стационарных нормальных случайных процессов, так как эти процессы, с одной стороны, имеют наибольшее распространение в качестве математических моделей различного рода флюктуапий в радиотехнике, а с другой стороны, имея эффективные алгоритмы для моделировании стационарных нормальных случайных Процессов, можно сравнительно просто получить алгоритмы для моделирования других классов случайных процессов, именно тех случайных процессов, которые можно рассматривать как порождаемые стационарными нормальнымп пропессамн при различных линейных н нелинейных преобразованиях.

Для стационарных нормальных случайных процессов в последнее время найдены весьма экономичные моделирук>щие алгоритмы. В основу этих алгоритмов положено линейное преобразование стационарной последовательности х[л[ независимых нормальных случайных чисел (дискретный белый и!ум) в последовательность Е[н[, коррелированную по заданному закону. При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде скользя»(его суммирования с некоторым .весом сх=сЩ Е [»[ = Я,е,х [» — й[, 3;=! либо как ренуррентное уравнение вида Е [и[ = а,х [»[+ а, х [и — Ц+ ... + а!х [» — ([— — Ь,Е[» — Ц --Ь,Е[» — 2[ — ... — Ь Е!».— !в[= т = ~ ахх [и — 'й[ — ~' ЬхЕ!» — Ь[.

(2.2) Вид корреляпионной функции случайного процесса, моделируемого с помои!ью алгоритмов (2Л) и (2.2) „ определяется набором значений параметров а„, Ьь и сь и их количеством, которое обычно невелико. Алгоритмы (2.Ц и (22) отличаются простотой и позволиют формировать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно боя! и!об длины. Начальные условия в рекуррентном уравнении (2.2), т. е. предыдущие значения последовательности Цп[ при зв вычислении первого значения этой последовательности можно выбирать нулевыми.

При этом будет иметь место некоторый переходный процесс, в результате которого начальный участок моделируемого процесса будет искаженным. Однако после окончания цереходпого процесса последовательность й[и) становится стационарной. В $2.6 будет показано, каким образом нужно выбрать начальные условия, чтобы избавиться от переходного процесса. Параметры аы Ь„рскуррептных алгоритмов и дискретная весовая функция сь в формуле скользящего суммировании определяются на этапе предварительной подготовки к моделированйю.

Различие между предложенными методами моделирования состоит в путях перехода от заданных корреляционно-спектральных характеристик к параметрам алгоритмов, т. е. в подготовительной работе. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают поведение некоторого дискретного (импульсного) линейного фильтра [Щ который из дискретного белого шума, подаваемого на его вход, формирует на выходе дискретный случайный процесс с заданными корреляциоино-спектральными характеристиками. Передаточные функции этих фильтров в смысле дискретного преобразования Лапласа имеют соответственно вид К„(х) = сне+ ... + с„ф', (2.3) Ха а„г" а, + а,а+...

+ аси л=в 1+Ь,а+... +Ь а™ ~+2,'ь„* (2.4) й- () й.( -„) ~~(~*!~И 57 Функция К.(х) определяется как отношение дискретного преобразования Лапласа (нначс з-преобразования илн 0-преобразования [Зй[) выходного сигнала к дискретному преобразованию Лапласа входного сигнала.

Если входной и выходной сигналы обозначить соответственно через х~[п[ и х,[л[, то 0(х, [п[)=~ х,[л[е ч"=~ х,[гг]а»; (2.5) «=О е=а г) — комплексное число, реальная часть которого выбирается из условия сходимости рядов (2.6) н (2.6). Аргумент я передаточной функции является комплексной переменной, модуль которой равен единице. Символ зх можно рассматривать как изображение оператора, который осуществляет задержку входного сигнала на й периодов, так как смещение функции к[а[ на й периодов соответствует умножению ее изображения на з", т. е. г'.г (х [и — - й[) = хЧг (х [гг[).

Дискретное преобразование Лапласа обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам обычного преобразования Лапласа [об[. Кроме отмеченных выше, в дальнейшем нам потребуется еще знать свойство линейности (изображение суммы дискретных функций равно сумме изображеггий слагаемых н умножение функции на постоянный множитель соответствует умножению /и/= Е гг аР-Х1 Ф/ Рис, 2.1 ее изображения на этот же множитель), а также то, что дискретная передаточная функция системы последовательно (параллельно) соединенных дискретных линейных фильтров равна произведению (сумме) дискретных передаточных функций отдельных фильтров.

Используя зти свойства з-преобразования (в том числе и отмеченные 68 ранее), легко можно изобразить структурные схемы дискретных фильтров, описываемых уравнениями (2.1) и (2.2) и имевших передаточные функции (2.3) н (2.4) соответственно (рис. 2.1 и 2.2). 11а этих рисунках элемент вычитания в отличие от элементов суммирования зачериен. и .хх Как следует нз рис. 2.2, рекуррентное уравнение (2.2) описывает процессы в замкнутой линейной дискретной системе, в отличие от формулы скользящего суммирования (2.1), описывающей поведение разомкнутой дискретной линейной системы.

Процесс перехода от передаточных функций вида (2.3) и (2.4) к уравнениям (2.1) и (2.2) соответственно, описывающим процесс дискретной фильтрации во времени, очевиден; он называется идентификацией дискретных передаточных функций [%). Задачу цифрового моделирования случайных процессов с помощью скользящего суммирования и рскуррентных разностных уравнений можно рассматривать как задачу синтеза линейного дискретного формирующего фильтра, который преобразует днскрстный белый шум в коррелированный дискретный случайный процесс с заданными корреляционио-спектральными характернстика- 69 ми. В случае моделирования многомерных процессов ставится задача синтеза соответствующих многомерных формирующих фильтров. Ниже рассматриваются различные методы решения этих задач применительно к моделированию стационарных (в том числе н многомерных) и нестационарных нормальных случайных процессов.

Для моделирования ненормальных случайных процессов предлагаются нелинейные дискретные формирующие фильтры. В основном рассматриваются дискретные случайные процессы, порождаемые непрерывнымн. Прн синтезе дискретных формирующих фильтров широко используются свойства исходных непрерывных процессов и систем. 2.2. Моделирование стационарных случайных процессов методом скользящего суммирования Пусть задана последовательность х(п] независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (ортонормированная последовательность случайных величин или нормированный дискретный белый шум). Корреляционная функция последовательности х(п] имеет внд Й[п]=М(х]й]х]А+п]]=а„=! ' ' (2.7) (О, и+ О.

Сформируем нз последовательности х(п] согласно алгоритму (йЛ) новую последовательность $(п]: $]п] =с,х']и — )]+ . +с„х]п — 'Й], Е]п+ )] =с,х]п]+ ...+с„х]п'+!' — !у], (2.8) Случайная величина й(п] получается путем суммирования (с весами сь сл) У независимых случайных чисел, представляющих собой отрезок последовательности х(п]. При этом для 'вычисления очередного значения Цп+')] исходная последовательность х(п] сдвигается на один элемент вправо, так что значение х(п — Щ выбрасывается.

Характеристики

Список файлов книги