Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Моделирование квази- нормальных случайных векторов сводится к моделнрованню нормальных случайных векторов с последуюшнм воспроизведением заданного преобразования н может быть осуществлено в рамках многомерных распределеннй, для чего, очевидно, достаточно обеспечить лишь необходнмые корреляционные связи исходных нормальных ве"торов.
Примером квазннормальных случайных векто- 29 ров явлнется последовательность значеннй огнбающей суммы гармонического сигнала н узкополосного нормального шума. Эта последовательность подчинена, как известно, многомерному закону распределений Райса (прн отсутствии сигнала — многомерному закону распределення Рслея). Огибающая легко выражается через квадратурные составляющие колебания, распределение которых нормальное. В-третьях, многомерныс законы распределения случайных векторов, пе являющцхся нормальнымн нлн квазннормальнымн, весьма трудно получить теоретически н экспериментально.
Исключение составляют лишь ненормальные случайные процессы, которые являются (нлн могут считаться) марковскими случайными процессами невысокого порядка; нх многомерные распределения найти сравннтельно несложно [78!. Корреляционные же моменты обычно определяются значнтсльно проще. Поэтому практически в этих случаях многомерные законы распределения, как правило, неизвестны, н задача моделнровання случайных векторов имеет смысл лишь в рамках корреляцнонной теории. Рассмотрим возможные методы моделирования на ЦВМ многомерных случайных векторов в рамках корреляционной теории.
1. Метод линейного преобразования Это один нз панболее известных методов трормнровання реализаций случайных векторов 110, 1Ц. Основная идея его состоит в том, чтобы, выработав У независимых случайных величин хн х„ с параметрами (О, 1), подвергнуть нх такому линейному преобразованию А, после которого полученные величины уь ун имели бы наперед заданную корреляционную матрицу !! П = !! )~ !! „—,'„= )! М(у -) )! „:,'„' где М вЂ” символ математнческого ожидания. Известно 148), что произвольное лннейное преобразованне А тт'-мерного вектора !!х!! сводится к умножению его на некоторую матрицу )т'-го порядка: !!у!! ))А!! !)х!!, (135) где (( х (( = (( х„() а = 1,ЬЧ~ у !! = (( у !( а = 1У вЂ” матрицы-столбцы с алиментами х„х„, У„Уч гоответственно;!!А!! = = )( а )( ~ ц — квадратная матрица преобразования.
в=!,И Выберем матрицу преобразования !! А !! треугольной, тогда у1 =аих у,=а„х, +а„х„ ув=алР~+алтх +" +аллхв' Элементы а матрицы !! А(! найдем из условий: — 117 МЬ )=Й..М( х)= =(,0' „~т ( 7) Из условий М (у',) =а„=Й„, М(у,у,) =а„а„=Й„, М (уз) =ам+а„=Й,„ получим а„=р Й„; а„=Й„Д/Й„; а„=~ Ʉ— К,„(Й„. (1.19) Аналогично можно найти: (!.20) ~ '!з (Ȅ— И,Фо А;,)' вз м л„л ~а,.л действуя таким образом, можно последовательно определить злементы всей матрицы !!Л31 Тогда алгоритм выработки реализаций случайного вектора с заданной корреляционной матрвцей сведется к умножению реализаций вектора с незавнснмымн случайнымн координатаин на матрицу !!А(!.
Составляющие вектора !!у(! будут 31 иметь нулевое среднее значение. Вектор с ненулевым' средним значением получается путем сложения ((у))+ + 1)ж„1, где Егл ~ — вектор-столбец средних значений случайного вектора !!у!1. Операция умножения матрицы на вектор выполняется на ЦВМ по стандартной программе. Можно построить стандартную программу и для вычисления элементов матрицы 1А!! по заданной корреляционной матрице. Отметим, что рассмотренный процесс моделирования позволяет получить лишь необходимые корреляционные связи между координатами случайного вектора. Законы распределения координат не принимаются во внимание, поэтому законы распределения координат исходного вектора могут быть произвольными, например равномернымн.
Требуется только, чтобы случайные координаты х„ вектора Ех!! удовлетворяли условию (1Л7). Если законы распределения координат исходного вектора принять нормальными, то искомый вектор также будет нормальным (нормальный закон, как известно, ннвариантеи по отношению к линейному преобразованию). Рассмотренный способ образования возможных значений случайного вектора прн больших Ф становится неудобным для машинной реализации, потому что запоминание элементов матрицы требует очень большого объема оперативной памяти (й(1У+!)/2 ячеек] и большого объема вычислений.
Поэтому в ряде случаев оказывается более удобным моделирование случайных векторов по каноническому разложению соответствуюших этим векторам случайных процессов (28, 68). 2. Метод канонических разложений Пусть непрерывный центрированный случайный процесс "(1) задан каноническим разложением (1.21) где г'х — некоррелировапные случайные коэффициенты с парамстрамн (О, оь); Еь(1), й=1, 2, ...— система некоторых детерминированных координатных функций.
32 Из условия некоррелированиости коэффициентов, Уь слелует аналогачпое каноническое разложение корреляционной функцик случайного процесса 3(г): й(1 1') =М(3(03(1'Ю =Х '„МОрь(1'). (122) ь=! Задание случайного процесса в виде канонического разложения — это и есть параметрическое задание случайного процесса, о котором шла речь в $1 1. Моделирование случайного процесса, заданного каноническим разложением, осуществляется довольно просто: в процессе формирования дискретных реализаций в(л) (в процессе выработки координат случайного вектора) они вычисляются по формуле (1.21) непосредственно. При этом в качестве г'ь используются выборочные значения некоррелированных случайных величин с параметрами (О, оь). Бесконечный ряд (~1.2!) при вычислениях приближенно заменяется усеченным конечным рядом.
Подготовительная работа при моделировании случайных векторов методом канонических разложений заключается в выборе системы координатных функций и в нахождении дисперсий а, т. е. в осуществлении непосредственно канонического разложения. Часто в качестве координатных функций выбирают систему ортонормированных функций, т. е. функций, удовлетворяющих условию = =~0,' $0 11, а=т 10, в~и Разложение случайного процесса в ряд с некоррелированными коэффициентами по ортонормированной системе функций всегда может быть произведено (теорема Карунена — Лоева). При этом дисперсии находятся как собственные значения, а функции уь(1) — как собственные фуниции интегрального уравнения (28, 68) ~)~(, ) () ()~~ — и(), (~л) <г) где Т вЂ” интервал разложения (в том числе и Т=о ); р(1') — произвольная неотрицательная функция веса.
К сожалению, разложение (1.2!), полученное с помощью (1.23), больше приыеняется прн теоретических 3 — ГГО 33 )тсследованиях, а Йрактическое использование его затруднено, так как не существует достаточно простого общего способа решения интегральных уравнений вида (1.23). Сравнительно несложное решение можно получить лишь в некоторых специальных случаях, например для стационарных случайных процессов с рациональной спектральной плотностью. Существуют приближенные способы получения канонических разложений случайных процессов.
Среди них наиболее удобным для моделирования случайных векторов и случайных процессов является способ канонического разложения случайных функций в дискретном ряде точек, предложенный В. С. Пугачевым. Описание этого способа и порядок его практического использования дается в (68, 1) 58, 59]. Мы приведем здесьлишьокончательный алгоритм вычисления дисперсий а„иекоррелированных случайных коэффициентов Г~ и координатных функций «рь(1) в разложении (1.21). Пусть задан случайный процесс В(1) с корреляционной функцией Р(1, 1') и пусть на временнбй оси задана последовательность точек 1„, и= 1, У, (не обязательно равностоящих).
Требуется аппроксимировать случайный процесс 3(1) случайным процессом "э(1), представленным в виде разложения (1.21) и таким, что его корреляционная функция Й~(1, 1') совпадает с Я(1, 1') в заданных дискретных точках, т. е. И (1яХ ~=-Рс(1„,7 ),и = 1ХШ=!,Ф. Такому условию, как показано в (88), удовлетворяет каноническое разложение с конечным числом слагаемых, равным числу дискретных точек Ф: (1.24) причем дисперсии коэффициентов и координатные функции в разложении (1.24) могут быть найдены по следующим рекурреитным формулам: в котором дисперсии а, иекорреларованных случайных коаффнцнс 2 тов 1'а и дискретные координатные функпнн фа [п] находатсн н соотношений: е, =й[1,1].
у! [п)==ай [п,1], е! а — ! аа — — й[й.в] — ~' а т, [й], а=2,1Ч, (!.27) и — ~ та [и[= — 11 [и,й) — ~а т, [п] т,[й], а=2,]у. 1=! Алгоритм (1.26) можно написать н виде У р„= ~ а„х„у„[п].', а=! где хпхп — некоррелированные случайные величины с параметрами [о.1). Если моделируемый процесс является нормальным, то, положив закон распределения случайных коэффициентов Уа в каноническом разложении по данному способу нормальным, придем к алгоритму, позволяющему точно, т. е. в рамках многомерных распределений, а не в рамках корреляционных приближений, формировать на ЦВ]у[ дискретные реализации стационарных и нестационарных нормальных случайных процессов, заданных на конечном интервале времени.
При формировании по этому способу реализаций случайных векторов подготовительная работа по объему вычислительных затрат примерно такая же„что и при формировании случайных векторов с помощью линейного преобразования, описанного выше. Однако необходимое количество ячеек памяти в данном способе может быть значительно меньшим. Это ямеет место в тех случаях, когда координатные функции чуа!г) удается выразить достаточно. простыми аналитическими выражениями. В противном случае значения У координатных функций в ]у дискретных точках потребуется запоминать в виде таблиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
