Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поскольку при этом нужно помнить еще У дие- за нсрснй ы„коэффнциентов Кы то всего в общем случае потребуется У(й1+'1) ячеек., Сход~тво рассматриваемого способа моделирования случайных векторов со способом линейного преобразования является не только внешним. Оказывается (в этом проще всего можно убедиться на примерах), что алгориты (1.1б) и алгоритм (1.28), в котором о' и «рь(п) определяются ло $орл«улам (1.27), и точности совпадают, «с. ао=-онр~(Ц, ам=-о~пч(2), ам-— -озвэ[2) н т.
д. Таким образом, формулы (1.27) явля«отея разновидностью формул (1.19) для вычислении элементов а„ матрицы преобразования А. 3. Метод разложения в ряд Фурье 11ля стационарных случайных процессов наиболее простым частным случаем общего ортогонального разложения (1.27) на конечном интервале (О, Т) является рзчложепне, в котором собственными функциями являются синусы и косинусы (разложение случайных процессов в рял Фурье), Каноническое разложение случайного процесса имеет при атом вид $(()=Я )тысове4+(1„в(пть1, 0~1«=-Т, (1.29) з.=в где )ть, (4 — случайные амплитуды гармоник; ыы=й«в~— частоты гармоник, кратные основной частоте «оь При — со<1<со реализации случайного пр«щесса (1.29) являются периодическими функциями с периодом Т«2н/ыь Предполагается, что период Т, в общем случае не совпадает с интервалом разложения Т и его нужно выбрать.
Сделать выбор величины Т, н найти алго' ритм канонического разложения (1.29) позволяют следующие соображения. Поскольку коэффициенты )ть, уы некоррелярованы, 'т«йф:.аорреляпнонная функция случайного пропесса (1 29) «й1глпсно общей формуле (1.22) имеет вид еь Щ,3 ) =Я Р Щ сов ек1совеы1'+ Р (()в) вще4в1пеьт . где Р()ть), Р(0к) — дисперсии козффициеитов (ть и «уь 37 При равенстве дисперсий в парах коэффициентов У и У„с одинаковым индексом случайный процесс (1.29): является стационарным в широком смысле, так как его, корреляционная функция зависит лишь от разности аргу-. ментов ! н ('. Й(г,т)=~ о (соэозогсоэо)о!'+з!поы,! 51пеор) —— = 1', а созыв(8 — !')=~ о соя око= — (Г(о), где о = ! — !'. При этом корреляционная функция 1т'(т) является периодической с периодом Т, „равным периоду процесса $ (т), а дисперсии о равны коэффициентам разложения корреляционной функции Р(т) в ряд Фурье по косинусам.
Изменениям аргумента корреляционной функции !г'(т) в пределах периода, т. е. от — Ти(2 до Т~/2, соответствует изменение времени ! и !' в пределах полупериода„т. е. в пределах интервала длиной ТД2. Все это подсказывает следующий путь канонического разложения стационарного случайного процесса в ряд вида (1.29) на интервале (О„Т). Зная величину интервала разложения Т, находим коэффициенты разложения корреляционной функции Й(т) заданного пропегса в ряд Фурье по косинусам на удвоенном интервале ( — Т, Т) по формулам: 7 и-= т ~й'( )~' о (!.ЗО) а,= т ~ й(т) созЬ"-" - =- т '=- ! 2 Г о о Полученные коэффициенты ао принимаем в качестве дисперсий оо коэффициентов Уь н (/о в искомом разложении.
Если величина интервала Т выбрана такой, что при )т) ~Т значения корреляционной функции равны нулк1 или пренебрежимо малы, то верхний предел в интетра- 33 лах (1.ЗО) можно аоложить равным бесконечности. 'Ьгда о т () 27' ~ г а (о) т ) ~(')соей" ч"'= т а г 6(ы д) о где 6(и)= ~ )т(т)е~ Жо=2~Я(о)созвч1о -- энергетический спектр .моделируемого случайного процесса. Следовательно, в этих случаях дисперсии оо с точностью до множителя совпадают со значениямй функции спектральной плотности О(е) моделируемого случайного процесса в точках ыо=йщ =йп(Т, й=О, 1, ...
Зто при известной функции спектральной плотности делает процесс вычисления дисперсий о весьма простым. 2 В Заметим, что при разложении нормального случайного процесса в ряд (1.29) коэффициенты г'о и Уо будут нормальными случайными величинами. Рассматриваемый метод моделирования стационарных случайных процессов достаточно прост по своей подготовительной работе. После получения дисперсий о' дискретные ре- В ализации случайного процесса при постоянном шаге дискретизации М=Т/Ж 'формируются согласно алгоритму $(и) =~~ Уосоз — +У~в)п —, и.=!,Ф, (1ЛЦ о=о где )то и У» — некоррелированные случайные числа с параметрамн (О, ь'). Разложение (1.29) можно, конечно, использовать и ~!!,;";;~$~щ получения дискретных реализаций процессов в неФФф)(йноотстояших точках. "о)аосло слагаемых в формуле (1.31) практически целе, ' сообразно выбирать из условия 1 — — р о (о, й (О) р( о о=о 1де» вЂ” достаточно малая величина.
Это неравенство жает тот факт, что сумма дисперсий а должна быть » на дисперсии моделируемого процесса. 4 При моделировании нормальных случайных процес-,': сов распределение коэффициентов Р» н У» должно быть нормальным. В этих случаях иногда удобно представить алгоритм (1.3!) в виде $[п]=~~~ ~Е»соз(- ' — "+а»), (1,32) где Е» — случайные коэффициенты с релеевским распределением (1.4), у которого параметр о равен о», а»вЂ” случайные фазы гармоник, независимые от Е» и распределенные равномерно в интервале (О, 2п). Интересно заметить, что если в разложении (1.32) коэффициенты Е» выбрать неслучайными, т.
е. положить юл $,(л)=~С»соз( ~ +а»~Х (1.33) »=-в н выбрать значения С» нэ условия С~~=2аз, оставив фазы случайными равномерно распределенными в интервале (О, 2п), то корреляционные функции процессов Цл) и ~~(п) будут одинаковыми. Этот факт положен в основу метода моделирования, описанного в!105).
Алгоритм (1.33) требует меньшего объема вычислений, чем алгоритмы (1.31) и (1.32), так как содержит в два раза меньше случайных коэффициентов, реализации которых необходимо формировать иа ЦВМ при моделировании. Однако алгоритм (1.33) не позволяет, строго говоря, формировать реализации случайных процессов с нормальным распределением, хотя при большом числе слагаемых с приблизительно равными коэффициентами в силу центральной предельной теоремы закон распределения формируемого процесса будет близок к нормальному. Недостатком рассмотренного способа моделирования является необходимость учета большого числа слагаемых в формулах (1.31) — (1.33), когда интервал разложении Т во много раз превышает время корреляции т„„в моделируемого процесса.
Последнее объясняется тем, что при Т/т„,э»1 ряд (!.29) сходятся, вообше говоря, мед- 40 лепно н, слеЯЬватбльно, для получения приемлемой точногчн в сумме (1.29) приходится учитывать большоечисло слагаемых Алгоритмы (1.31) — (!.33) включают в себя операции вычисления тригонометрических функций, для выполнения которых на ЦВМ используются стандартные про;ламент, насчитывающие десятки элементарных операций. Это также увеличивает объем вычпслений и сннжа; г тффсктивиость алгоритмов (1.3! ) — (1.33) . Если память машины достаточна, то для сокращения объема вычислений при многократном формировании реализаций случайных векторов значения тригонометрических функций в дискретных точках, однажды вычисленные, можно запомнить и использовать в готовом виде для дальнейших вычислений (см.
3 1.2). Пои постоянном шаге дискчетизацни объем вычислений чожио значительно уменьшить, если исключить многокоатныс вычисления тригонометпическнх функций от аргументов Ьм вила —; —, п.=1,Х, используя рекуррентный алгоритм (1.3). При атом достаточ~ю вычислить гаппь значения тригонометял рнческих функций при и=1, т. е. св[Ц=соз -~- и зт [Ц= в)п — — для всех й. Коэффициенты ст[Ц и зв[Ц, в ак свою очередь, можно также вычислять рекуррентно для й= =2.гл. зная с, [Ц=соз — и а, [Ц=а!и —. Использование рекуррентных формул (1.3) вместо прямого вычисления тригонометрических функций на каждом шаге сокращает количество элементарных операций для формирования реализации случайного процесса по алгоритмам (1.31) — (1.33) на порядок н более в зависимости от того, сколько злемситарных операций насчитывают программы вычисления тригонометрических .
функций. *,т в!'. Погрешность восстановления непрерывных сигналов по дискретным данным Прн выборе шага дискретизации непрерывных про' цессов, в частности сигналов н помех, необходимо оце. , нить погрешность замены непрерывных процессов днс- 9 кретными. В настоящем параграфе рассматриваются во просы оценки этой погрешности. Пусть непрерывный процесс и(С) изображается ней ЦВМ в виде последовательности его значений и(п)=::. =и(пМ) в равноотстоящих точках С„=пМ. ясно, что:; дискретный процесс лишь приближенно изображает не-) прерывный процесс.
Требуется найти количественную:: меру этого приближения, т. е. найти погрешность дискретизации. Величина погрешности дискретизации, очевид- «.и! с ас «~«!' ИФ «сс! «йц Рис. 1А. по, зависит от того, что понимается под погрешностью. Определение погрешности дискретизации зависит от той задачи, в которой используется дискретный процесс вместо непрерывного. При рассмотрении некоторой конкретной задачи погрешность дискретизации целесообразно определить как величину отклонения результата ее решения прн использовании дискретного процесса от результата решения этой же задачи при использовании непрерывного процесса. Поскольку задачи могут быть самым~ разнообразными, то определить заранее, к чему может привести дискретизация, не представляется возможным.
Поэтому обычно под погрешностью дискретизации процессов понимается та погрешность, с которой может быть восстановлен непрерывный процесс по его дискретным значениям, т. е. понимается погрешность в задаче интерполяции непрерывного процесса по дискретным точкам. 'Восстановление иепрерывносо процесса и(С) по соответствующему ему дискретному процессу и(п) обычно можно представить как пропускание последовательности «мгновенных» импульсов (6-функций) с огибающей и(п] и периодом И через линейный интерполирующий фильтр (ИФ) (восстанавливающий элемент) с некоторой т2 импульсной переходной характеристикой (интерполируюшсй функцией) йе(М).
Этому соответствует схема восстановления, показанная на рис. 1.4. Она содержит ключ, ззяыка1ощнйся в моменты времени 1„=пЛг, и интерполнрующий фильтр (восстановление как процесс прерыззнйя и сглаживания (49)). В результате восстановления образуется сигнал и. (1)= ч~~ и(л)й,(1 — иИ). В соответствии с данной схемой осуществляется восстановление процессов при наиболее распространенных (1.34) -.лт т б) -лс лл пилах интерполяции: ступенчатой несимметричной и снмчстричной (мстод прямоугольников, рис. 1.5,а„б), линейной (метод трапеций, рис. 1.5,в) и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
