Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Зависимость (коррелироваиность) между слу- 60 шйныии величинами Цп] и х[а+й] обеспечивается за счет 'того, что в образовании их участвует А общих случайных величин последовательности х[п]. При А=И значения Цп] и т[л+й] становятся некоррелнрованными. Характер корреляционных связей процесса Цп] опреде.тяется, очевидно, лишь выбором значений коэффициентов сь н не зависит от закона распределения исходных случайных чисел х[п), Если исходные случайные числа распределены нормально, то в силу линейностп преобразования последовательность Цп] будет нормальным случайным пропессом.
Случайная последовательность коррелнрованных чисел я[а] имитирует в точках 1„=пег значения некоторого стационарного случайного процесса Ц1) с корреляционной функцией Й(т), которая в точках т =лЛ1 определяется, как легко видеть, соотношениями: Р[б]=с',+. +с„, Р[Ц'=с,с,+ +сп,с, К[И вЂ” Ц=с,с„, )[[И]=О, где 'й[а] =л(аЯ.
Действительно, накладывая условие (2.7) на систему ,(23),,цолучим (2.9) . Вычисление корреляционной функции Й[п] по формулам (2.9) является, по существу, операцией свертки дискретной функции с„=с[п] с дискретной функцией с [и]= с[ — п], т. е. Я [п] = с [п] ф с [а] = Г у Х с [й] с [а — й], п =Ю, И вЂ” ! ', Аава+! У вЂ” л дь и [ — ~1.
=кв~:и. Вычисление корреляционной функции !т [я) по форм' лам (2.9) можно свестп также к перемножению натри "' и [о1 1е [Ц сл — 1 'и с, ... си О с, й [У вЂ” 21 И [Д1 — ![ о о о о с. о сл ст 1. Получение весовых коэффициентов путем решения нелинейной алгебраической системы уравнений Наиболее простым по своей идее способом синтеза дискретного фильтра с задаппычи свойсгиами явлнется получение коэффициентов с„из решения нелинейной алгебраической системы уравнений (2.9).
В работе 1691 приведены три метода получения приближенного ре, шения этой системы иа ЦВМ. Однако получение весовых множителей таким путем требует довольно значительной вычислительной работы. Если и задачах, иопользуюшнх модель случайного процесса, требуется изменить шаг дискретизации, то это связано либо с понториым решением указанной системы для соотвстствуюшего шага, либо с применением интерполяции моделируемого процесса по дискретным з очкам, найденным с прежним шагам. После того как подпповительная работа закончена, процесс формирования реализапий случайного пропесса методом скользище- 62 с, (2.11):;, Таким образом, методом скользящего суммирования'э по алгоритму (2.1) можно формировать дискретные реа-."; лизации стационарных нормальных случайных процессов с ограниченной во времени корреляционной функцией, определяемой выбором весовых множителей сь.
Если коэффициенты са заданы„то корреляциониую-".,' функцию случайного процесса, формируемого методом"- скользящего суммирования, легко можно найти из соот- ' ношений (2.9) — (2.11). Но это лишь задача анализа. Для:, моделирования случайных процессов методом скользя- ' щего суммирования требуется решать задачу синтеза: по заданной корреляционной функции Йут) найти нужные коэффициенты (весовую функцию дискретного фильтра), — которая, как и многие другие задачи синтеза, значительно сложнее задачи анализа. Рассмотрим возмодсные пути ее решения. ,о сумгкнрованяя (2Л) осуществляется весьма Просто. Мля запо- ~нп1анйя козффнцнентов, ед п текущих значеняа посаелователвностп 11а1 требуетсн ЗУ ячеек памяти. Обычно чпсло Ж ненотнко, напри.
чер Ь вЂ” 10. 2. Получение весовых коэффициентов путем разложения функции спектральной плотности в ряд Фурье В [!2) предложен новый подход к отысканию весовых коэффициентов сы позволяющий свести подготовительную работу к вычислению значений са по формуле, а именно весовые коэффициенты находятся как коэффициенты Фурье в разложении в ряд по косинусам функции спектральной плотности 6(са) моделируемого процесса, возведенной в степень '(а, т. е. Ю ы ~та акы са = — ~ ~ — б (в) ~ соз — с( о с == —" (2.12) с — - ат' Выражение (2.'12) можно получить, исходи из следующих соображений.
Пусть длн моделирования задан непрерывный стационарный центрированный нормальный случайный процесс Цг) с энергетическим спектром О(е)= ~К(ч)е ' с(ч. Обычно спектральная плотность б(со) при достаточ,но болыпнх од убывает и, начиная с некоторой частоты отщ становится пренебрежимо малой. Тогда случайный процесс $(1) с достаточной точностью можно заменить (погрешность замены будет оценена ниже) процессом 3а(г) с энергетическим спектром Будем рассматривать случайный процесс Ь(х) как результат воздействия непрерывного нормаль- ~::;,'-:.„,доге белого шума х(8) с ограниченным частотой щ, спек- 63 тром на непрерывную линейную систему, передаточи функция которой определяется соотношением 6,!К( )1Р=6,(м), (2. где 6э — спектральная плотность белого шума (рис.
2,3 Соотношение (223) выражает известный из теории слу чайных процессов факт: энергетический спектр шума на'~ выходе линейной системы':;; Са равен пронзведсншо эпер- ' )„,( ))т «„~ гетического спектра вход-:, ного шума на квадрат .,'. модуля передаточной;" функции (комплексной чад стотной характеристики) системы. Рис.
2.д Условию (2.13) удов- летворяет бесконечное множество линейных систем, которые отличаются друг от друга фазо-частотными характеристиками, являющимися аргументами комплексной функции К()ы). Выберем одну из этих систему (систему Ке) с фазо-частотной характеристикой, равной нулю.
Передаточная функция такой системы вещественная. Чтобы удовлетворять условии> (2.!3), она должна иметь вид (2.14) Импульсная переходная характеристика, соответствующая передаточной функции (2.14), равна СО б й(1) = — ~К,(1 е) е сХш= — " ~ — 6,,'(м)~ соз еЫа. ви (2.15) Последнее равенство в формуле (2.15) написано в силу четности функции Кч()ы).
Заметим, что система Кч физически не осуществима, так как ее импульсная переходная характеристика„определяемая формулой (2.15), отличиа от нуля не только при положительных, но и прн отрицательных значениях 1, причем й(1) =Й( — 1). Однако в данном случае это обстоятельство пе является ограничением. 64 (2.16) где ([) мп [ма (Ф вЂ” пи)[ е м, (1 — пж) х [и] = х (иМ) — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами (О,У); Ю вЂ” 6,Же=6, — ' — дисперсия шума х(1).
Соотношение (2.16) выражает непрерывный белый шум х(М) с ограниченным частотой ы, спектром через дискретный белый шум х[п], значения которого совпадают со значениями х(пМ). В дальнейшем будем предполагать, что последовательность х[п] ортонормирована (а' 1), тогда 6,= — =йг. Ю, Выразим реакцию системы Кз иа воздействие х(1) в виде интеграла Дюамеля: $,(1)= ]й(т)Х(1 — т)Ит. ОО (2.!7) Отсюда $,[и]= 1й(т)х(пй( — т)г[т. Для нахождения последовательности $а[п] функцию й(1), которая в силу (2.'15) имеет ограниченный спектр, запишем в виде ряда Котельникова: СО Ь(Ю)= Е Ь[п]| Я, (2.18) Покажем, что дискретные значения й,[п] процесса $,(М) на выходе системы К, в точках г„=по(=п — можно еь точно выразить через дискретные значения входного процесса и дискретные значения импульсной переходной характеристики системы.
Запишем случайный процесс х(Г) на входе системы Кз в виде ряда Котельникова: х (1) = ~ х [и] [„(8), Ф Ь [п[ = Ь (пИ) = — К, (ко) соз — "' йе. Подставив в (2.17) ряды (2.16) и (2,18), получим й.[)= Х Х [й) [ [ ~и()).( — и. Поскольку ) (пМ вЂ” т) =г„(т), то на основании соотношения ортотональностн функций )ы(1): ОР ~)ь (1) ) (1) сй = — Вд в где 1, А =п — гп, О, й~п — гп, окончательно будем иметь $, [и[ =- ~ с, [й[ х [и — я[.
(2.!9) Здесь с, [й[ = — Ь [й[ = — К, О в) соз — йо = ~а 1 1 ггм, зпз = — ~ ~ — 6(е) ~ соз — 'Же=~я,(х)созйвхдх, (2.20) ма ме где г ЮО 1 ч'2 з,(х)= — К,()в,х)=~ — '6 (е,х)1 х = — — безразмерная частота. Отметим, что формула (2.!9) совпадает с известной формулой прямоугольников для приближенного вычисления интеграла, если шаг дискретизации подыитегральной функции й(т)х(г — т) выбрать раиным Л1 Приведенный выше вывод показывает, что формула прямоуголь- 66 (2.22) ников с шагом И=и(ы, в прил!енении к интегралу (237) дает точный результит, если функции йЩ и кЯ имеют спектры, ограниченные частотой ыь=иг!Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
