Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В дальнейшем, пе нарушая общности рассуждений, положим а'=1, тогда с([0[=!. запишем функцию сг[л[ для л%о и комплексной форме; и й [и) = — ет"" + — е~ ", хьа= — т,+)тв Изображения г"+ (г) согласно (2.68) — (2.60) равны 1 %Ч Хи 1 Г+ (г) = — ~ е ' гя = ог 2~ а= 1,2. 2(! ге и) 1 РсозТег =е т~' 1 — 2рсозузг+ рзг' Следовательно, спсктрзльпав функция Г(г] н соответствии с (2.56) имеет внд 1 — р соз Тьг 2Р сов Тзг+ р*гт + ! — р сов у,г-' 1 1 — 2р соту,г-'+ рзг-з После приведения к общему знаменвтегво н приведения подобных членов получим — г-' ((! — р') р сов ҄— (! — рч) г+ (1 — 2рсозуг+ р г ) (1 — 2рсозузг"'+ + (! — рз) р соз Т,гз) — г — ' (А, + А,г + А,гз] )! + В,г+ Взгз)з + рзг 3) где Аз=(1 — рз)рсозуз, А,= — (! — р].
В, — 2рсочуы В,=рз. Знаменатель В(г) представляет собой произведение лвух сомножителей требуемой формы, т. е. в факторизации зваменатечв пет надобности. Зто всегда будет иметь место прн нспользованнп такой последавателнностн полтотовнтслнкой работы. Для факторизация чнслнтетя найдем его корни: — А, ~- р'А~ — 4Аг А, зт Аз о =очи.~У'4 1 ° в ейТ 1+ рз 2р соя Тв В данном слУчае ввнлУ сцммезРцн УпавненнЯ Аз+А~а+Легз=-0 анализ норней для уяснения вслнчнны нт модуля пе требуется, л в качестве корня о~ окончательного выражения вила (2.62) можно брать любой нз корней в'ьз.
В атон можно убедиться, подставив в уравнение — г-' (А,+А,в+ Ачгз) С (г — о,) (г-' — о,) (2.67) 67 Таким образом. днскретная передаточная функция формирующего феьеьтра и рекуррентный алгорнтм для моделвронанпя слуийного процесса с корреляцнонной функцией )7[а] =- е т"!"!соку,п имеют соответственно внд ае+ и,л к.(.)=,+„,+„., ~ [и] = — и,х [и] + «,» (и — 1] — Ь,Ц [п — !] — ЬД [п — 2].
где п, = — )' С с',, =- — Р Аеп'е.е! а, = РгС = Р А,, г'пе Ь, = В, —.— — 2р сиз у;, Ь, = В, = р; А,=(! — р) рсоеуе=2е эт зйт„газу,; 1 + ре сй т т. 2Р сов уз сок уз ' о ье = ое + пег е / .е Заметим, что квадрат модуля передаточной функции К.(л), очевидно, не нзмсннтся, а следовательно, пе изменятся н корреляцнон.
ная функция Формируемого процесса. е:.лн знаки перед коэффициентами ие н а, изменить на обратные нлн жс поменять коэффнцненты ие н иг местами. Прпмер 2. Рассмотрим теперь случайный процесс й(!) с экспоненцнальной корреляционной функцией: рг (т) — -е ! 1, )Р [гг] -. е т 1«1 (2.66) Эта коррсдяцнонпая функция явлнеюя частным андам коррсляцп. оввай фупкшщ (2.64) прн Те=0.
~Положив в формуле (2.65) ус=0, получнм 1 — ра 1 г+ (а) = чрт ] реле Отсюда согласно (2.611) летка находим функцию спектральной плотиостп днскретного провзсса Цп]: ] ре "(')=(1-р)( -р -) (2.69) Следовательно. днскрстнал передаточная функция и рскуррснтный алгоритм ддя цнфроаого моделнровання случайно~о процесса с экспонснциа'цюо коррелнпнонной фуикцней (2.66) имеют ннд (2.70) 1 — ра $ [и] = Ту ! — р' х [п] + рч [и — !], р = е т". вместо ое значения корней аз (2.66). Дейстпнтельно, уравнение '~ (2.67) обращаетсв в тождество прп Ае ]е с', Из приведенного примера моделирования случайного процесса с экспоненциально-косинусной корреляционной функцией (корреляционная функция второго порядка) видно, что подготовительная работа для получения параметров рекуррентного алгоритма является довольно громоздкой.
С увеличением порядка корреляционной функции объем вычислений еще оолее возрастает. Поэтому для моделирования случайных процессов с рациональным спектром подготовительную работу для распространенных типов корреляционных функций целесообразно проделать заранее 1161. Этот вопрос будет рассмотрен в 5 2.6. 2.
Получение параметров рекуррентных алгоритмов методом дискретизации непрерывных формирующих фильтров Предположим, что известна импульсная переходная характеристика л(Г) линейного непрерывного формирующего фильтра с постоянными сосредоточенными па,раметрами, на выходе которого образуется заданный случайный процесс Цг) при воздействии на входе белого шума х, (1) с корреляционной функцией (2.41). Если функция л(() неизвестна, ее можно найти методом факторизации заданной рациональной спектральной функции 6(ы) процесса ЦГ) (см. $2.2).
Покажем, что при соответствующей дискретной аппроксимации процесса фильтрации белого шума непрерывным формирующим фильтром можно получить рекуррентные алгоритмы, не обладающие методической погрешностью, для моделирования случайных процессов с рациональным спектром в отличие от приближенных алгоритмов скользящего суммирования, которме получались ранее при дискретизации формирующих фильтров. Поясним это на следующем примере.
Пусть непрерывный случайный процесс $(1) есть реакция линейной системы с импульсной переходной характеристикой вида А (г') = С е ~, г =- О, на вггздействие белого шума х,(() с единичной спектральной плотностью, т. е. с корреляционной функцией (2.4!). Выразим процесс $(() через 89 входной сигнал с помощью интеграла Люамеля с с Е(1)=~ х (с)й(1 — с)с1 —.С~х,(о)е '" 'с(о. Значение процесса Е(1) в точке 1+й( равно с+ос Е(1+Л1) =С ) х (с)е '"+ ' о с(т. (271 а Если разбить.интервал интегрирования в формуле (2.7Ц иа два смежных: (О, 1) и (1+Л1) (рис. 2,4) и вынести при интегрировании в первом интервале множитель е то получим Е(1+И)=е С )х (с) е ~ о с1с+ о с+и -)-С ~ х ()е "' '='сс( = ' Е(1)+ЛЕ.
(2.72) Случайные величины Е(1) и ЛЕ независимы между собой, так как они являются интегралами от белого шума по нео1о лс-о1 с сае Рос. 2.4. перекрывакицимся промежуткам. Используя свойство дельта-коррслнрованиости шума х, (1), нетрудно убедиться, что дисперсия случайной величины ЛЕ равна с+ос ос о', = ~ йо (1+ Л1 — ч) Ус =~А* (1) Ж = с о ос =С" ~е 'и с(1= — „(1 — е ' ) (2.73) о Из (2.72) и (2.73) получаем следующий рекуррентный алгоритм для формирования значений случайного процесса $(г) в точках г =пА1: й [а] = е ~ $ [и — (] + зх [и]= = рч [и — !] + ф~ (Ст/2а) (! — р') х [и], (2.74) где р = е; х [и] — последовательность независимых случайных чисел с параметрами (0,1).
При Сз=2а н а=е алгоритм (2.74) совпадает с алгоритмом (2.70), полученным с использованием факторизации для случайного процесса с корреляционной функцией (2.68). Возможность вычисления интеграла свертки (2.7) ) в более экономичном рекуррентном виде (2.72) основана на том свойстве зкспоненциальной весовой функции, что сдвиг экспоненты е по времена на величину И равносилен умножению ее на постоянный множитель р=е ~: — а и ~ы) — м — аы — и е =е е =ре (2.75) Это объясняет природу рекуррентности. Действительно, при вычислении $(г) входной сигнал х, (з) должен быть проинтегрирован в интервале (О, () с весом е и 1 [см. рис.
2.4, где показан график функции 6(1 — т)=Се и условно показан шум х, (з)]. При переходе к вычислению $(г+И) требуется снова проинтегрировать входной сигнал л~ (т) на интервале (О,(), но уже с весом р е н ' и добавить интеграл от х,(т) в п)уделах от 1 до 1+Я с весом ре "" '. Экономия прн вычислениях состоит в том, что интеграл от х, (з) на интернале (О, г) не вычисляется повторно с измененной весовой функцией, а получается в соответствии с (2.75) умножением на р уже вычисленного интеграла $((). Рассмотренный прием получения рекуррентных алгоритмов допускает обобщения. Так, например, если у непрерывной системы передаточная функция К(р)=фф к () й(() =~ Сье ", (2.76) )гю (рь) )(ю ( ) лкз (р) Р('* (р.) ' ' Р" лр рь — корни уравнения К,(р) =О.
Сумме экспонент импульсной переходной характеристики Й(() соответствует, как нетрудно видеть, сумма рекуррентных уравнений для получения значений моделируемого процесса Ц(): где $ [и] =- 2,' $„[п[, Ф=! (2.77] Ре[п~ =рд, [и — )[+Я, [и[, Рь =е"" [[ ЬФ„[п) 1[ й = 1, т — последовательчость независимых (при различных и) случайных и-мерных векторов с коррелированными координатами ЛЦп[, ЛЯГ ..., Ав [и). Элементы корреляционной матрицы вектора 1[Щ[п) [[ А=1„ш имеют вид и )7ы = М фй„[и[ банг [и[) = ~ Сь е " С; е ' й = о (2.78) Формула (2.77) является простым обобщением формулы (2.72).
Для формирования векторов с коррелированными составляющими можно использовать методы, описанные в первой главе. Так, например, в трехмерном случае, используя для формирования случайных векторов метод линейного преобразования вектора 1[хь[а)1[ й=),3 с независнмымн случайными координатами хоп[, согласно соотношениям (1.19), (1.2О) получим следую. щий алгоритм: 92 имеет простые вещественные корни, то ее импульсная ',:: переходная характеристика Ь(4) является в соответствии с (2.39) суперпознцией экспонент: И, [п[.~~:=аз,х, [и[. Я. [п1.=а„х, [п[+ а„х, [п1, Мз [и[ =атх, [п)+ а„х, [и[+ а„х, [331, где ~„=~'3„. ~,=3„!Гз„...= Г 3.,— !Г!Ззт лзз Рззязз. Рт а„=3!'„lтг зг„, а„= ° !' Пзз — т! !Пз! 33 (Пт -~3!я!3 ~зз) яз а '= 33 33 2; т Пт — К 'кз! = !.з 1[зтьг[~ ' — корреляционная матрица с элементами, 1= 1,3 вычисляемыми по формуле (2.78); хз [и[ — трехмерная выборка независимых случайных чисел с параметрами (0,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
