Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поскольку предполагается, что моделируемый процесс Ц1) имеет параметры (О, 1), то в ряде (2.88) се=О и «)гиосительно га. ««ислен««««с решение этого уравнений: с целью нахождения табгцщы значений функции ге= ' =«р-'(г) можно осуществить на ЦВМ методом итераций. ', По найденной зависимости «р-«(г) легко определяется ' корреляционная функция исходного процесса: ге(т) =«р-«(г(т)). Функция г,(т) ввиду численного решения уравнений для ее получения будет табличио заданной. 4.
Для ««ахожден««я алгоритма, позволя«ощего формировать иа ЦВМ дискретные реализации стационарного нормального процесса с корреляционной функцией г,(т), таблнчно заданную функцию гс(т) нужно аппроксимировать функцией аида (2.50)*1, чтобы получить потом рекуррентиый моделирую«ций алгоритм, или решить нелинейную систему типа (2.9) для моделирования исходного процесса путем скользящего суммирования. Можно использовать также алгоритл«скользящего суммирования с весовой функцией, полученной путем разложения в ряд Фурье квадратного корня из спектральной функции исходного процесса та(1), но для этого требуется найти преобразование Фурье от таблично заданной корреляционной функции го(т). Лля проведения подготовительной работы в данном случае можно составить стандартную программу.
Алгоритм этой .программы следует из приведенных выше соотношений. Затруднение принципиального характера состоит в том, что в общем случае не представляется возможным доказать существование решения уравнения (2.88) относительно го. В тех случаях, когда заданная корреляционная функция неотрицательна, решение уравнения (2.88) как легко видеть, всегда существует. Ввиду того что подготовительная работа при данном способе моделирования ненормальных стационарных случайных, процессов, вообще говоря, довольно трудоемкая, моделирование процессов с распространенными типами одномерных законов распределения целесообразно рассмотреть специально.
Подготовительную работу для моделирования этих процессов, как .показано в следующем параграфе, можно существенно упростить, если *«Способ такой аппроксииации ииестсп в приложении к работе (56). 116 й конкретных случаях йсйолйзовать особенности функции г=Ч~(гз) и применять несколько отличные от описанных нелинейные преобразования исходных нормальных случайных процессов, в частности одновременное нелинейное преобразование двух нормальных случайных процессов. 2Я. Моделирование стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения В этом параграфе рассматриваются возможные алгоритмы для моделирования на ЦВМ ненормальных стационарных с.тучайных процессов с часто встречающимися одномерными законамн распределения н заданными корреляционными функциями.
1. Случайный процесс с равномерным распределением Пусть требуется формировать на ЦВМ дискретные реализации стационарного случайного процесса, раино- мерно распределенного в интервале ( — а, а) и имеющего корреляционную функцию гг' («) = —, г («), (2.90) )(х)=2а~Ф(х) — .1 1= ~~ 1е '~(1, з,-)гБ, о (2.91) где Ф(х) — функция Лапласа. Корреляционную функцию случайного процесса $(1), получаемого с .помощью преобразования (2.91), удается ыт где г(т) — коэффициент корреляции процесса. Длн получения случайного процесса Ц1) с равномерным распределением из нормального случайного процесса $«(«) достаточно, как известно, подвергнуть последний нелинейному преобразованию с характеристикой нелинейности типа «сглаженный ограничитель».
Точное выражение для функции )(х) в случае, когда исходный нормальный процесс имеет параметры (О, 1) н требуется получить равномерно распределенный в интервале ( — а, а) процесс, имеет вид выразить в замкнутой форме через кбррсляционную, функцию гь(т) исходного нормального случайного,процесса (см„например, (80], стр. 213 — 214): Й (т) = — агсз)п — ', 2л~ . «, (ь) Я з Отсюда, для того чтобы получить заданную корреляционную функцию )г(т) равномерно распределенного случайного процесса, нужно брать исходный случайный процесс с коэффициентом корреляции г,(т)=2з)п ~ —,", l((т) ~ =2ып ~ — "г(т)1.
(2.92) Легко видеть, что коэффициент корреляции гь(т) почти совпадает в (2.92) с коэффициентом корреляции г(т). Действитсльио, поскольку аргумент у синуса в (2.92) изменяется в пределах от — и/б до и/6, замена функции синуса на этом интервале прямой линией внесет несущественную погрешность. Поэтому практически можно считать, что гь(т) = «(т), т. е. сглаженный ограничитель, прееращающий нормальный случайный процесс е процесс с равномерны.т распределением, почти не искажает энергетический спектр исходного процесса. Оценим искажения корреляционной функции по величине максимума разности в йг(г,)=г, — — агсгйп —,, Исследование функции ог(гь) иа экстремум показывает, что максимум ошибки Л«в интервале ( — 1, 1) наблюдается при г,=~ 2 р' 1 — — „, =-+-0,6, ° Г 9 причем величина максимума равна Ьг„„, ==0,6 — — агсз)п )/! — —, =0,016„ 11в Отсюда видим, что максимальная погрешность в коэффициенте корреляции менее 2Ъ.
Такой погрешностью во многих практических случаях можно пренебречь. График ошибки Лг как функции го показан на рис. 2.6. Такнм образом, можно использовать следую- Рис. 2.6. щий алгоритм моделирования случайного процесса с равномерным в интервале ( — а, а) распределением н заданной корреляционной функцией (2.90): на ЦВМ формируются реализации стационарного нормального случайного процесса Со(1) с параметрами (О, 1) и коэффициентами корреляции г(т), которые путем нелинейного безынерционного преобразования (2,91) превращаются в реализации процесса с желаемыми характеристиками. 2. Релеевсннй случайный процесс Одномерная функция плотности, среднее значение и дисперсия процесса этого типа определяются соотношениями: 'о ' ° lоо /,от (2.93) где оо — параметр распределении. В задачах статистической радиотехники ре.чеевский случайный процесс появляется обычно прп рассмотрении огибающей стационарного узкополосного нормального шума (50, 801.
В связи с этим релеевский процесс $(1) выражается через два одинаковых независимых стацно- 1!9 нарных нормальных случайных процесса а1(1) и $4(1) ': с параметрами (О, о4т) (квадратурные составляющяе узкополосного нормального шума с симметричным энергетическим спектром) в виде й(1)=~ Е', Я+~,'(1) (2.94) При этом корреляционная функция )г(т) релеевского случайного процесса (имеется в виду корреляционная функция нецентрированного релеевского процесса, такая, что )г(О)= = т'„+ ~о = 2зр ) связана с нормированной корреляционной функцией га(т) процессов $~(1) и ат(1) зависимостью (см., например, [80)): к 2/ 4 — к )~ (т)= 2 эа~1+ г(~)) =+ а ~1+ (!,)".()+Я' ',()+ +~2 4.6) о ( ) ""]' (2.95) где г(т) — нормированная корреляционная функция центрированного релеевского процесса. В задачах, не требующих высокой точности решения, ряд (2.95) ввиду быстрой его сходимостн можно ограничить лишь первыми двумя членами и считать, что г(т) совпадает с г (т), т.
е. ~(") 2 о ~1+ га(')1" Отсюда ге(т) — ~/ 4 — л~ а 1~='г' «И- (2.96) l и /2Л (~) ~ "чо Это открывает следующий простой путь приближенного моделирования релеевского случайного процесса с корреляционной функцией 14(т) н одномерной плотностью вероятностей (2.93): на ЦВИ одним из изложенных ранее способов формируются дискретные реализации двух независимых стационарных случайных процессов еы(1) н т~т(1) с параметрами (0,1) ис коэффнцпентоц 50 Корреляции г4т), определяемым соотношением (2.96), а из них по' формуле $ (и) = а, ~Г $', (п]+ 2; (а] формируются реализации релеевского случайного про. несси.
Погрешность метода при этом будет незначительной. Дл11 оценки погрешности найдем разность между заданным коэффициентом коРРелнцииг(т) и полУчаехгым гг(т). Зависимость Я(гг), опРеделаемУк) РЯдом (2.95), Удаетси выразить в замкнутом виде следующим образом: где Е(г,) и К(гг) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода (92]. Отсюда Л( 1 г 2Е(ой (1 го~) К (~е) — + г (г,)— г и У 2 — -у- В результате упрощений, сделанных при выводе формулы (2.96).
заданный коэффициент корреляции г (г,) приближенно заменяется величиной гг, что приводит к ошибке 2Е (гг) — (1 — гг) К (ге)— Ьг (г,) = г„— г (г,) — г~~— 2 —— 2 г'э 121 Используя таблицы полных эллиптических интегралов 192), можно найти зависимость ошибки Ьг как функцию гь На рнс. 2.7 показан график ошибки Лг(ге), из которого видно, что максимальная погрешность форми- рования коэффициента .. корреляции составляет '2,61х1. Такая ошибка во 4~ многих практических задачах является .вполне допустимой. О Заметим, что описывае- Ф мый способ моделнрова- Рис. 2.7. иця прнгоден лишь для случаев, когда заданный коэффн=::, цнент корреляция г(т) пс принимает отрицательных зна- г' ченнй, иначе н формуле (2.96) появятся мнимые вели- ' чины. Прнмер Ь Пусть для моделнровання задан релсенскнй случайный процсчт, коррглнционную функцию которого можно аппроксямнровагь зкспонснтой: г(г) = е (2.97) Подставляя (2.97) н формулу (2.98), найдем нормнрованную корреляцнонную фупнцню нсходпых нормальных случайных процессов г, (с) = е Используя готовый алгорнтм длн моделнровання нормального случайного процесса с зкспоненцнальной коррслнцнонцой функцней (табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
