Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2.2), по.чучнм слсдуюшнй алгорнгм для модслнровання данного релсевсчгого случайного процесса: = азФг(~~ — р'х (и)+рык (гг-~!)х+ (у~ — рл (л)+рЕх[п — Ч)*. (2.98) где р = е ' ; л, (п), х, (и! — последоввгельносгн независимых — ч М/2„ нормальных случайных чнсел с параметрами (Од). л. Случайный процесс с показательным распределением Одномерная функция плотности этого процесса, среднее значение и дяспсрспя соответственно равны и га (у) = — е, тн — — 2о, о = Фо~~, (2.99) где па†параметр распределення.
Показательный процесс можно рассматривать как квадрат релеевского случайного процесса (квадрат огнбакгпШгй узкополосного нормального шума). В связи с этим показательный процесс можно представать как сумму квадратов двух одинаковых независимых стацнонарных нормальных случайных процессов с параметра- (а, о ): Е(г)=Е, (г)+Е (г). Корреляционная функция )с(т) нецентрнрованного показательного случайного процесса выражается через $22 нормированную корреляционную функцию га(т) процессов $~(1) и сз(1) в виде (50, 80): 1с(~)=4~"„(1+г(~)) ==4%!1+г ( И, где «(т) — коэффициент корреляции цснтрированного показательного процесса. Отсюда .(т)= р'г(). (2. 100) Равенство (2ЗОО) в отличие от равенства (2.96) является точным.
Таким образом, можно использовать следующий способ моделирования показательного случайного процесса $(Г) с одномерной функцией плотности (2.99) н заданной нормированной корреляционной функцией г(т) По известным правилам па ЦВМ формируются днскрет.
ные реализации Ял) и Яп) нормальных случайных процессов с козффнциентом корреляции га(т)= 1/г(т), а нз них по формуле $ (л) = Е', $~3+ се [~) образуются реализации требуемого показательного случайного процесса. Так, например, если корреляционная функция показательного случайного процесса экспопенциальная вида (2.97), то алгоритм для выработки последовательностей Ял1 и Ял) будет таким же, как и в рассмотренном выше примере моделирования релеевского случайного процесса [выражение (2.98)).
Заметим, что аналогичным путем, суммируя несколько (более двух) квадратов нормальных случайных процессов, можно моделировать случайные процессы с законом распределения уз (см. 9 1.4, п. 4). 4. Логарифмически-нормальный случайный процесс Одномерная плотность вероятностей, среднее значение и дисперсия логарифмнчески-нормального случайно;, го процесса имеют вид !и' г 1 га (д) = е, гла — — ) ~е а„ )г2яаеу аз=е(е — 1) а~, где оа — параметр распределения. Логарифмически-нормальный случайный процесс ча-,, сто используется в качестве модели атмосферных н ин- -', дустриальных помех (4). Данный случайный процесс можно ржсматрнвать как ( нелинейное безынерцгонное преобразование стационарного:,' нормального случайного процесса с параметрами (О, з ) звеном с характеристикой нелинейности р=!(х) =е .
В дальнейшем, ие нарушая обшностн, положим оа=(. Для получения зависимости Я=м(г,) подставим функцию !(х) =е" в двойной интеграл (2.87). В данном случае функция 1(х) такова, что интеграл (2.87) удается выразить в конечном виде. Последнее легко сделать, так как интегрирование по переменным х, и х, сводится к вычислению табличных интегралов вида (25) ЗО цЭ е — рмэ~~х, 17й тм оХ= — е Р В результате получим м !С (г,) = е", г (г,) = —, (2.101) Отсюда г,=!п(1+ (е — 1)г). Таким образом, для моделирования стационарного логарифмически-нормального случайного процесса с коэффициентом корреляции г(т) нужно сформировать нормальный стационарный случайный процесс с коэффициентом корреляции го(т) =1п(1+ (е — 1) г(т)), (2.! 02) а затем пропустить его через нелинейный элемент с экспоненциальной характеристикой у=с".
Оценим, к каким корреляционным искажениям приводнтзаменатребуемого коэффициента корреляциига(т), определяемого формулой (2.102), коэффициентом корреляции г(т) моделируемого процесса. Величина ошибки согласно (2.101) равна е"' — 1, йг(г ) =г — — ' Графчик функции Ьг(г,) .показан на рнс. 2.8, из которого видно, что максимальная ошибка составляет 20з)„прн 1 гз = - — — = — -- 0,37. Если возможные значениз ковффицп- е ента корреляции лежат в интервале (--0,2; 1), то ошибка не превышает 107о. Как видно, в этом случае корреля- Рис. 2.6.
циониыс искажении довольно большие, поэтому чаще приходится пользоваться точным выражением для коэффициента корреляции исходного процесса. 5. Случайный процесс с одномерным распределением по закону арксинуса рассмотрим случайный процесс $(1) в ниде следующего преобразования нормального стационарного случайного процесса ~з(1) с параметрами (О, 1): (2.103) $ (1) = з'п [а,1, (г)), где па†некоп1рая константа. В данном случае нелинейное преобразование у= =)(х) =з(паех немонотонное и является периодической функцией. Если функцию )(х) =яп оех подстанить в формулу (2.87) и при интегрировании по переменным х~ и хз воспользоваться табличным интегралом (25) е ген з(п (д (х+ Щ дх = ФО е з(п цех — — 6 а16 ф~ à — ( — ъи ° гк 4Ф Согласно (2.104) коэффициент корреляции случайного процесса -(1) связан с коэффициентом корреляции исходного процесса с,(1) соотношением зьа г 2 г(г,)= — '= —,.
э (~1 ал е~~ г,(г).—.-. — агсз1~ [(ай а ) г], 1 2 'о (2.105) Рассмотрим теперь преобразование законов распределения. В обшем случае закон распределения процесса $(Г) как закон распределения периодической функции у= =яп пах от нормально распределенной случайной величины к выражается сложным образом через закон распределения аргумента. Однако при достаточно большом параметре о~ распределение нормальной случайной величины Х= пах, приведенное к интервалу периодичности функции у=з(пХ, т. е.
к интервалу ( — сн и), как показано в [51], будет весьма близким к равномерному на интервале периодичности. Тогда распределение случайной величины р=з(п оах будет подчинено закойу арксннуса: ш(у) =, [у [~1. (2.!06) Для этого вполне достаточно взять параметр о„=2п, что приводит к погрешности в равномерном законе всего лишь порядка 10-а [51]. Случайные процессы с распределением (2.106) могут иметь место на выходе схем с фазовым детектором.
Таким образом, для моделирования стационарного случайного процесса с коэффициентом корреляции г(т) и законом распределения арксинуса (2.106) нужно Иб то для функции )г=<р(г,) нетрудно получить следукхцее',". выражение: т (ге) = е зй э~> га. (2. 104): сформировать стационарнын нормальный случайный процесс с коэффициентом корреляции г, (т) — ~ агсз11 )г (с) зй э ), са а затем пропустить нормальный процесс через нелинейный элемент с синусоидальной характеристикой д= =з(повх, положнв, например. па=2п.
Если допустима меньшая точность воспроизведения закона распределения,то параметр оэможно уменьшить. Удовлетворительная точность получается при оэ=л. Заметим, что нелинейное преобразование (2.103) при о„>1 вносит большие корреляционные искажения (зависимость (2.105) явно нелинейная), поэтому при моделировании исходный нормальный случайный процесс "ч(1) нужно брать с корреляционной функцией, определяемой точным выражением (формула (2.105)).
2.9. Моделирование многомерных стационарных нормальных случайных процессов Многомерный стационарный случайный процесс определяется как совокупность л1 стационарных и стационарно связанных между собой случайных процессов йх(1), л=1, К. Такой процесс принято обозначать в виде случайного вектора-столбца, зависящего от времени: 11 с (() й = ~! сх (1) ~~ „=,„. Многомерные случайные процессы используются при описании многомерных (многоканальных) систем. В настоящем параграфе рассматривается задача цифрового моделирования нормальных многомерных стационарных случайных процессов. Результатом решения этой задачи, как н в одномерном случае, является алгоритм, позволяющий формировать на ЦВМ многомерные дискретные реализации заданного процесса.
Л'-мерный непреывиый нормальный стационарный случайный процесс $(1)(( задается обычно либо в виде его корреляционной матрицы ~35, 70) (~ (()!~=~(~ы(.)() '=' 127 ЛН6О В авда бЧЕИП1раЛЬИОй Мати)ян(М Где )7м(т) =-М(еь(1) $г(1)) — автокоРРелацнонпые (пРН л=1) и взаимно корреляционные (прн 1~1) функции случайных процессов гэ(1), 1=1, Ж; бм(ы) — преобразование Фурье от Км(т). При этом, поскольку )гм(т) = '=ага( — т), элементы бм(ь) и бм(ы) спектральной матрицы комплексно-сопряженные, бм(га) = 6*и(ы). Дискретные многомерные нормальные случайные процессы задаются аналогично непрерывным с помощью корреляционных и спектральных матриц ~35, 701 )! 17 (и! !! — — !! йи ! ! !! !! Р (Я1 !! — !! Рм (2) !! Й=.1, У, где Гы(з) =~~1(ю[и!»", причем Гы(г)=гм(г '). Задачу цифрового моделирования многомерногонормального случайного процесса целесообразно сформулировать следующим образом. Задана корреляционная или спектральная матрица случайного процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
