Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Требу-. ется отыскать алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса с заданнымн корреляционными (спектральными) свойствами. Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра. В рассматриваемом случае речь идет о синтезе многомерного формирующего фильтра. )у-мерный линейный фильтр определяется как линейная динамическая система с 1у входами и л1 выходами РЯ Если !!Х(1) )! = !!хх(1)!! а —,я — входное воздействие и !!й'(1) )! =!!ух(1) !! „,— „— реакция системы, то связь между входом н выходом Ж-мерного линейного непре- 128 рывного фильтра описывается с помошыо передаточной матрицы в виде П У(р) П = П К(р) П П х( ) П где Ц Х (р) Ц = Ц Х,(р) $$ и Ц у(р) $$ = $$ уа (р) Ц Й=1, Л~ — изображения входного и выходного сигналов соответственно в смысле преобразования Лапласа; $$ К(р) $$ = 1=1, Ь' = $$ Кы (р) $$ ' — передаточная матрица У-мерного ь=Г; Ж фильтра, у которой элементы Аы(р) являются передаточными функциями каналов 1-й вход — а-й выход.
Аналогично описывается связь вход — выход в дискретных Ф-мерных линейных фильтрах: Ц У„(г) $$ = Ц К„(а) $$ Ц Х„(х) $$, где $$Х.(а)И и ПУ.(х)$$ — изображения в смысле дискретного преобразования Лапласа входного н выходного сигналов; $$К. (х) $$ — передаточная матрица дискретного У-мерного фильтра. Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рнс. 2.9, согласно которому У~(Р) =Кп(Р) Х~(Р) +Км(Р) Хз(Р) Уэ(р) -К. (р) Х (р) +К*.(р) Хз(р). (2.107) Видим, что каждый из выходных сигналов у~(1) и (и(1) является суммой линейных операторов от входных сигналов х~(1) и хз(1). Аналогичные соотношения имеют место и в обшем случае.
В этом и состоит идентйфикация передаточных матриц (Щ Пусть воздействие на входе )т'-мерного линейного фильтра представляет собой Й-мерный белый шум, т. е. случайный процесс с корреляционной матрицей вида для непрерывного времени и $$ЬВ!$$'=! Ф для дискретного времени, 9 160 1!. й=1, где 6ы=(О' „' В(т) — дельта-функция. У-мерный беглый '! шум определен здесь как совокупность У независимых между собой б-коррелировапных случайных процессов.
- Можно показать (см., например, Щ), что при воз- Рис. 2.9. действии белого шума спектральная матрица процесса на выходе Й-мерного фитьтра для непрерывного и дискретного времени соответственно связана с передаточной матрицей филыра соотношениями (! 6(м) !! = !! К (уо) !! /! К ( — уэ) )! (2.108) !! Р() !)-=- !! К.'() )! (! К. (з-') !!' где символом Т обозначена транспоннровапиая матрица, Следовательно, для получения Ж-мерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей нужно пропустить Ф-мерный белый шум через И-мерный формирующий фильтр, передаточная матрица которого удовлетворяет уравнениям (2.!08).
Для нахождения передаточной матрицы по заданной спектральной матрице требуется разбнсние последней на два сомножителя вида '(2.108). Эта процедура называется факторизацией спектральных матриц. Она может быть реализована по известным алгоритмам (88, 70). Многомерная фильтрация белого шума осуществляется достаточно просто: каждая составляющая $а(1), Й=1, У 130 случайного пРЬц((еаа" )! ч(г) )! на выходе К-мерного фильтра (=1, У с передаточной матрицей )! Кз1 (р) !! ' получается пуз =1, ~Ч' тем суммированпя по 7 составляющих х~((), 1 1, Ф входного процесса (!х~(() !!1=1, )У, профильтрованных од- номерными фильтрами с передаточными функциями Км(р) (см.
формулу (2.! 07)). Алгоритмы одномерной фильтрации рассмотрены выше. При данном способе моделирования возможны два пути: 1) заданную спектральную матрицу непрерывного Ф-мерного случайного процесса можно непосредственно подвергнуть факторизации для получения передаточной матрицы непрерывного формирующего фильтра, а за- тем, используя описанные выше точные илн приближен- ные методы дискретизации непрерывных фильтров, осу- ществить многомерную фильтрацию непрерывного бело- го шума; 2) по заданной спектральной матрице !!6(в) !! непрерывного Ф-мерного процесса К(() !!, используя г-преобразование, можно найти спектральную матрицу !(Р(з)(! соответствующего дискретного случайного про- цесса !Щл)!! (см. 2 2.3), далее путем факторизации !(Р(г)!! найти передаточную функцию дискретного фор- мирующего фильтра, а затем произвести многомерную фильтрацию дискретного белого шума.
Наибольшие трудности встречаются при факториза- ции спектральных матриц. В настоящее время разрабо- тапы алгоритмы факторизации лишь рациональных спектральных матриц, т. е. таких матриц, элементы ко- торых являются дробно-рациональными функциями аргументов р или а Опишем, опуская доказательстиа, один из алгорит- мов факторизации рациональных спектральных матриц, взятый из (70). Пусть задана рациональная спектральная матрица б„(в)... бьт (в) )! б (в) )! = бю (в)... бяэ(в) Матрица !((г(в)(! может быть приведена я виду !(6(м) !! = !!К()в))! !(К( — )в) !! путем следующих преобразований, $1 1.
Определяется ранг матрицы и(, затем один из ! главных миноров порядка и( располагается в левом верхнем углу матрицы !16((з) 11. 2. Матрица 116((о) 11 приводится к диагональному виду. Для этого к л-й строке матрицы 116((о)11, А=2, Л~, прибавляется первая строка, умноженная на — 6х(/6и, затем к 1-му столбцу прибавляется первый столбец. умноженный на — 6п/6п,. получается матрица 11 6(п(м) 11 = !1 ""1 ) 1~, (2.109) О Еп) (м)1 где элементы матрицы 11 Е о ( ) 11 11 Е(м ( ) 11 ( = 2, "( имеют внд (2.! !О) С матрицей 11Етв(е() 11 проделываются те же преобразования, что с исходной матрицей 11Е(о((0) 11=116(ы) 1!. При продолжении этого процесса на (л-м шаге получается диагональная матрица 1! 6 (м) 11 =,'1 В(м) 1! = 11 6„((м) 11 '= ' ~ такая, что Ох„— О, й=л(+1, (У.
3. Находится вс(юмогательная матрица элементы которой имеют следующий вид; Вы (е) = О, 1) й, где В~„',~ 'опредвиаютса пз рекуррентнйх Мьтношеиий в~'-.ц — вн-'> В и В Р ~ » ! л и и Лр — и ~ — ь» — ~ (2.112) 4. Находите » вспомогательные поанноиы С»(е)=Ц(е — вщ), ю Вы(е) =— РмМ. О»» (м) 5. По способу, рассмотренному в $2.9, п.
2, дробнорационалъные функции т>н (е) (с, (»»1 1» представляются в виде А( ) =~~,'(„) ~ где полиномы Р~(е») и Ще) не имеют нулей в нижней полуплос кости. На этом процесс факторизации заканчивается. Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра записывается в ниде (2.113) Здесь описан алгоритм факторнаацяи рациональных спектральных матриц непрерывных многомерных про- 333 где в„"», т=1, 2, ..., — нули полниомов Я»»(е), й=1, и», лежащих в нижней полуплоскости, счптаемые столько раз, какова их максимальная кратность, причем 9и(м) †знаменате дробно-рациональных функций, представляющих собой элементы матрицы !!В(ы) !1: ам агэ Ь'и+:в Ь'„+ * ~~6ы (в) 6~ ° (в)~~ 6$1(в) 6.(в) (2. П4] Ь~31+в' ~ь~+в' где агь Ьэь а=1, 2, 1=4, 2, — некоторые положительные константы, причем «в=он, Ьгз=ап.
Корреляционная матрица, соответствующая спектральной матрице (2.114), ямеет внд эе е э" 1'1 яэ е э"'1 э т ~~~а где ~п — — 21,' эта = 21, и егэ — — ею — — 2Ь' э„ээ,г.— автокор- И ээ 1э реляционные и взаимно корреляционный моменты процессов йг(1) н вз(1) соответственно; г — коэффицнсчгг взаимной корреляции про. цсссов $г(1) и йт(1) в совпадающие моменты времеви. Коэффициенты Ьм, Ьзг и Ьгз представляют собой в данном случае гвирину (иа уровне 0.5) энергетических спектров 6п(ы), 6м(ю) и взаимного энергетического спектра 6„(ы) процессов $,(1) и йт(1). Требуется произвести факторизацию спектральной матрицы (2.114) для получения передаточной матрицы формирующего фильтра.
Будем осуществлять процедуру факторизации поэтапно в соответствии с приведенным выше алгоритмом факторизации. 1. В данном случае ранг спентральной матрицы лг=2. 2. Для приведения матрицы ((О(ы)й к дншональной требуется олин шаг. По формулам 1з.109) н (2.!10) получаем )) 6(в) )) =))6~(в) )) =- а„ 6„0 Ьэп+' 6)э 0 6 — 6 ы аю ап (бы + вз) э э аы(йт1з+'в')' 134 'ф4 цессов. Факторивацнн спектральных матриц дискретных :: процессов осуществляется аналогично, только вместо корней, расположенных в нижней полуплоскости, берутся корин, расположенные в единичном круге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
