Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Дли чрормнровання на ЦВт1 реализаций случайных величин с заданными законами распределения можно использовать методы, рассмотренные в й 1.4. В частности, прн моделировании пуассоновского погока реала. нации случайных величин тд с показательным законом распределения (2.!39) можно получать с помощью алгоритма (см. $ 1.4) ! св — — — „1п хд, где хд — независимые случайные числа, равномерно распределенные в интервале (О, 1). Таковы методологические основы моделирования случайных потоков, Более подробные сведения о ъюделировапнн потоков и конкретные примеры моделирующих алгоритмов имеются, например, в (Ю) 2.13.
Моделирование случайных полей Случайными полями называются случайные функции многих переменных (7!]. ~В дальнейшем будут рассмат- риваться четыре переменные: координаты х, Еб г, опреде- ляющие положение точки в пространстве, -и время а. Случайное поле будет обозначаться как Е(г, 1)=Е(х, у, а, !)*>. Случайныс поля мсиут быть скалярными (одно- мерными) н векторными ()т'г-мерными). ~В общем случае скалярное поле Е(г, т) задается со- вокупностью своих И-вгорных распределений та(Еп..., Е,)дЕ,...ЙЕ„,=Р(Е кЕ(г, Г)~Е„+Щ, т=!,Лг, а векторное поле 11 Е, (г, У) 1! А = 1,Ж, — совокупностью своих йг~(й;мерных Распределений та (Еыо ..., Е,„; Еэо ..., Е,; ...; Е„п ..., Е„м) г1Е„...
с(Ея,я —— =Р(Ед„~Ед(г„, 1„) <Е„+г(Ед„) й= 1,)т',. н В этом параграфе векторы обэнача~отся так, как это принято в векторной алгебре. Такое обоэначение в теории полей является более привычным н наглялным, чем матричное обоэначеиие, 1б4 Если сзатдстические карактеристпки поля не изменяются при изменении начала отсчета времени, т. е. онн завясят только от' разности т=Гэ †(ь то такое поле называется сгамаонарным.
Если перенос начала координат ие влияет на статистические характеристики поля, т. е. они зависят только от разности р =гг — г„ то такое поле называется однородным по пространству. Однородное лоле изогролно, если его статистические характеристики не изменяются при изменении направления вектора р =гг — гь т. е. зависят лишь от длины р=)р) этого вектора. Примерами случайных полей являются электромагнитное поле при распространении электромагнитной волны в статистически неоднородной среде, в частности электромагнитное поле сигнала, отраженного от флюктуирующей нели (это, вообще говоря, векторное случайное поле); объемные диаграммы направленности антенн и диаграммы вторичного излучения целей, на формирование которых оказывают влияние случайные параметры; статистически неровные поверхности, в частности земная поверхность и поверхность моря прн волнениях, и ряд других примеров.
~В данном параграфе рассматриваются векоторые вопросы моделирования случайных полей на ЦВМ. Как и ранее, под задачей моделирования понимается разработка алгоритмов для формирования на ЦВМ дискретных реализаций поля, т. е. совокупностей выборочных значений поля В(г, ~ )=$(хь ул гм 8 ), где г = (хь уь гь) — - дискретная пространственная координата; Ä— дискретное время. ~При этом полагается, что исходнымн при моделировании случайгюго поля являются независимые случайные числа. Совокупность таких чисел будет рассматриваться как случайное 6-лоррелированное поле, называемое в дальнейшем 6-полем.
Случайное 6-поле в это элементарное обобщение дискретного белого шума на случай нескольких переменных. Моделирование 6-поля яа ЦВМ осуществляется весьма просто: пространственно- временной координате (г, г„) ставится в соответствие выборочное значение х,(г 1,) числа из датчика нормальных случайных чисел с параметрами (О.
1). !66 Задача цифрового моделирования случайных полей ~ является гювой в общей проблеме разработки системы эффективных алгоритмов для имитации различного рода случайных функций, ориентированной на решение статистических задач радиотехники, радиофизики, акустики и т. д. методом моделирования иа ЦВМ. .'В самом обгцем виде, если известен 7т' или ЙХЛ'и мерный закон распределения, случайное поле можно моделировать на ЦВМ как случайный 1У или )т'Хйгмерный вектор, используя приведенные в первой главе алго-' ритмы.
Однако ясно, что ~этот путь даже при сравнительно небольшом числе дискретных точек по каждой координате является очень сложным. Например, моделирование плоского (не зависящего от «) скалярного случай- ното поля в 10 дискретных точках по координатам х и у и дяя 1О моментов времени своднт-я к формированию на ЦВМ реализаций 1000-мерного случайного вектора.
Упрощения алгоритма и сокращения объема вычислений можно достичь, если, подобно тому, как это было сделано по отношению к случайным процессам, разрабатывать алгоритмы для моделирования специальных классов случайных полей. Рассмотрим возможные алгоритмы моделирования стационарных однородных скалярных нормальных случайных полей. Случайные поля этого класса так же, как и стационарные нормальные случайные процессы, играют очень важную роль в приложениях (7Ц.
Такие поля полностью задаются своими пространственно-временными корреляционными функциями Р~(р, с) = М ($(г, ч) Е (г + р, Г + т)). (Здесь и в дальнейшем предполагается, что среднее значение поля равно пулю.) Столь же полной характеристикой рассматриваемого класса случайных полей является функция спектральной плотности поля 6(з, ы), представляющая собой четырехмерное преобразование Фурье от корреляционной функции тг(р, т) (обобщение теоремы Винера — Хннчина (7Ц): ОЭ СЮ 6(з, м)= ~ ~)г(р, с)е 1(зг+'"мс(рФс, где вр — скалярное произведение векторов а=(з„, з„, з,) и р=(р„, р„, р,); г(у=с(р„с(р4р,, При этом 1бб йф, в)=. ~ ~б(й, ю) Е!(зр )!(йг(зь (2к)ч Фупкция епектралыюй тшотности 6(э, <о) случайного поля в энергетический спектр 6(ы) стационарного случайюго процесса имеют аналогичный смысл, а именно: если случайное поле З(г, !) представить в виде суперпозицпи пространственно-зремеиойх гармоник со сплошным спектром частот, то интшкивиость их (суммарная дисперсия амплитуд) в полосе частот (ы, ы+4е) н полосе про граистаенпых частот (з, з+оз) равна 6(з, ы)с(ы(ы.
Случайное поле с нитепсишюстью 6(з, в)Жйэ можно получить из шчучайного поля Г(г, !), имеющего спектральную плотпосп 6(з, ы), если пропустить поле З(г, !) через пространственно-времепцой фильтр с коэффициентом передачи, раввым единице в полосе (иь ы+Лгэ), (з, з+~(з) и равным нулю вве этой полосы. Пространственно-времеивйе фильтры (4)ВФ) являются обобщением обычных ~(временпйх» фильтров. Линейные ПВФ, как и обычные фильтры, описываются с помощью импульсной переходной характеристики (87) сО сь — К ()э, рз) е 0ш(ы Г Г ! 1вг+"'! — М вЂ” ОО я передаточной функции К()э, )ы) = ~ ~ Ь(г, !) е зг Нш(м. Процесс липейиой пространственна-иргигпибй фильтрации поля рл!г, !! можно записать в виде четырелморпой свертки: Вз(г, !) =-$~ (г, !) Э!Сй(г, !) = ~ ') $, (г — р, ! — т)й(р, ч)Ыр~(ч= — ~ Ь (р, т) й(г — р, ! — ) Фдт, (2.140) где $э(г, !) — поле ва выходе ПВФ с импульсной оереходиой характеристикой й(г, »). При этом 6,(з, ы) 6,(в, ы)! К ()з.
)ы))', (2.141) Ггэ(р ч) = Ю~ (р, ч) Э)С й (р, ч) ф й ( — р, — т), (2,!42) .где бэ (в ш), бэ(в, ю), Р,(р, ч), Рэ(р, г) — фуякппи спектральной плотпостм и корреляционные Функции полей на входе п яа.выходе ПВФ соотпетствеипо. Доказательство соотиошепий (2.!41), (2.!42) полностью совпадает с доказательством аиалогичиых соотношеипй для стацпошгрвьш слу шйяык процессов. Аналогия гармонического разложения и фильтрации'' случайных полей с гармоническим разложением и фильтрацией случайных процессов позволяет предложить для их моделирования аналогичные алгоритмы. Пусть требуется построить алгоритмы для моделирования на ЦВМ стационарного однородного по пространству скалярного нормального поля 5(г, г) с заданной корреляционной функцией Я(р, т) нли функцией спектрачьной плотности 6(з, ы).
Если ноле $(г, о) задано в конечном пространстве, ограниченном пределами О~х -Д, О~у~у, О~а.с-Л, и рассматривается иа конечном интервале времени (О, Т), то для формирования на ЦВМ дискретных реализаций итого полн можно использовать алгоритм, основанный иа каноническом разложении поля и пространственно-вреленнбй ряд Фурье 'и являющийся обобшением алгоритма (!.31); й(г~, Ч=Е Аьсов(йв,г +йщ,Ч+ +Воз(п(йз,г, +йв,1 ). (2.143) Здесь Аь н Вь — случайные независимые между собой нормально распределенные числа с параметрами (О, о„) каждое, прнчем дисперсии оа определяются из соотношений: и г оо тХГг '1 ') 11(г ч) "гб'о= 6' о 'х г л т =тхгх ~~ 1 1)1(л, у, з, МхФЫЫк (2.144) о о за и г аз=тл.„г 1Р(г. %)соз(йа,г+йо,о)с(гд%, й=1, 2,..., во где й=(Х, Г, Я) — вектор, изображающий предел интегIао й~ ао ъ ао РИРовання по ПРостРанствУ1 йа1 — — ~ —, у з х ~з ЙВ1 — — г дискретные частоты гармоник, по которым производится 168 кй ион йческбе разложение корреляционной функций в пространствеино-времепнбй ряд Фурье.
Если область разложення поля во много раз больше его простраиственно-временного интервала корреляции, то дисперсии легко выражаются через спектральную функцию поля (см. $ ~1.5, и. 3) з а(о, о)» с(»,. «м,) '»= ттмтг ' ' тлгг, й=1, 2,... (2.145) Формирование дискретных реализаций Цг„„ь' ) при моделировании случайных полей по данному методу осуществляется путем непосредственного вычисления нхзначений по ь)ьормуле (2.143), в которой в качестве А» и В» берутся выборочные значения нормальных случайных чисел с параметрамн (О, о'»), при этом бесконечный ряд (2Л43) приближенно заменяется усеченным рядом. Дисперсии ое» вычисляются предварительно по формулам (2Л44) нли (2Л45). Рассмотренный алгоритм хотя и не позволяет формвровать реализации случайного полн, неограниченные по пространству и по времени, однако подготовительная работа для его получения довольно простая, а особенности при использовании формул (2.145), и этот алгоритм позволяет формировать дискретные значения поля в еьроизвольних точках пространства н времени выбранной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
