Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Частотный метод цифрового моделирования обычно требует значительных вычислений. Однако в последнее 178 время Кули 'и Таки 11001 предложили алгоритм так называемого гбыстрогоз преобразования Фурье на ЦВМ. Применение этого алгоритма позволнет существенно сократить объем вычислений при прямом и обратном преобразованиях Фурье дискретного сигнала, что в некоторых случаях делает частотный метод цифрового моделирования более экономичным, чем метод дискретной свертки. На практике широкое распространение имеют линейные системы, которые можно считать системами с постоянными сосредоточенными параметрами.
При цифровом моделировании систем этого класса значительную (для систем невысокого порядка весьма значительную) экономию вычислительных затрат дает применение разностных рекуррентных методов. Этн методы являются усовершенствованными методами численного интегрирования дифференцпальных уравнений (291 Вначале эти методы, используемые в основном для исследования дискретных линейных систем, были применены для численного анализа переходных процессов в непрерывных системах автоматического регулирования. Впоследствии они оказались эффективными методами цифрового моделирования динамических систем и были подвергнуты некоторой модернизации; в частности, автором этн методы были распространены на случай цифрового моделирования избирательных высокочастотных радиосистем, описываемых по методу огибающих (17).
Разностные методы цифрового моделирования динамических систем рассмотрены ниже. 3.3. Моделирование линейных непрерывных дннвмнческнх систем с помощью рекуррентных ревностных уравнений Сущность разностных методов 1851 состоит в замене процессов в непрерывных линейных системах процессами в эквивалентных импульсных линейных системах, поведение которых можно описать довольно простыми рекуррентными соотношениями (уравнениямн в конечных разностях). Математическим аппаратом при этом служит дискретное преобразование Лапласа (г-преобразование). Как было показано в $3.2 1см.
формулы (3.20), (321)), передаточная функция К,(г) эквивалентной им12ь 1тв пульсной системы в смысле дискретного:преобразо ция Лапласа является а-преобразованием от импул ной переходной характеристики Ь (М) приведеин непрерывной части, т. е. К. (з) ь й,+й,з+ ... +юм ~+ь, +...+ь (3.23) Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3,23) показана на рис. 2.2. Производя идентификацию передаточной функции (3.23), приходим к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений выходного сигнала: о [и] = а,и [п] + ... + а~и [л — (] — Ьр„~[л — !] -- ... — Ь о„[и — лг]. (3.24) Полученное уравнение во многих случаях значительно сокращает вычислении по сравнению с формулами дискретного свертывания, что показано на приведенных ниже примерах.
К настоящему времени предложено большое количество методов аппроксимации передаточной функции К(р) непрерывной динамической системы дробно-рациональной дискретной передаточной функцией К,(а). Выражения для К (а) в этих методах получаются непосредственно нз рассмотрения различных способов интерполяции входного сигнала, а также другими путями. Описания методов дискретной аппроксимации непрерывных систем в том нли ином виде приводятся, кроме первоисточников, также в работах [49, бЗ, 85, 109].
100 К (г)=0[Ь [п,])=Е Ь„[а]г". ь=в Для линейных систем с постояннымн сосредоточен-:;: ными параметрамн дискретные передаточные функция ' эквивалентных импульсных систем обычно удается ] найти в замкнутой форме в виде дробно-рацнональной -:,. функции [85] Нитке дйт(т[г(гг систематизированное нал6)кфнне основньа методов дискретной аппроксимации в прй!гнтых в данной книге обозначениях и с рациональными выводами формул. Менее перспективные методы вынесены в петит.
Сравнительная характеристика методов дана в заключительном пункте этого параграфа. 1. Метод а-преобразования Входной снгннл н(!), действующий на линейную систему с передаточной функцией К(р), при достаточно малом шаге дискретизации !южно приближенно там!нить модулированной послеловатсльносгъю Ь-функций с огибающей а!и[и) и периодом Ь!. Это в схеме рис. 3.! соответствует выбору в качестве интерполирующего фильтра безынерционного усилителя с коэффициентом усиления йе=ЬГ, т. е.
выбору для аппроксимации входного сигнала и(!) функции из(!) а!и[а) Ь (à — пй!). (оюода и название метода). Импульсную переходную характеристику непрерывной системы с постоянными сосредоточенными параметрами, у которой передаточная функция Кг(р) 4в+Агр+."+А!рн К(Р) К,(о) и, В,р ...+и р~ (32б) щгеет в общем случае з+ ! различных полюсов дг ч= о,з (корнч уравнения К, (р) = О) кратности г„каждый, так что г,+ ...
+гз=е. согласяо известной теореме разложения (см., например, [4([). можно представить в виде г„— ! й(Г)-~)~~ ~~)~ С вЂ” „',, е'"'г (3.27) где !! гг [К (р)(Р— р„) "[[ . (3.28) С ч (г — )ь — ()! г„— ! — ! г ' Г(р В лзг!ьнейшем позожни р, =О. (8! При таком виде интерполяции импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части, кнк уже отмечалось в $2 3, с точностью да множителя Ь! совпадает с импульсной переходной характеристикой непрерывной системы. Следовательно, ли. скретная передаточная функции К.(г) эквивзлюпной импульсной системы равна з-преобразованию дискретной импульсной переходной характеристики непрерывной системы, умноженному на аа К (з) = б!г! (й [и[) = д! ~н й [и[ з", з = с- г. (3.25) з=о Из (3.2У) следует г м г — ! й(п) =~)~ ~~)~~ С д|" — „", е'"" пие' = — е", чюа чма М то иа осчоввнии теоремы дифференцирования раметру (85) можно записать у" ч а пн К (г)= — Р(е" )=— йф йф ! В частности.
при р. = 8,5 выражения для табл. 3.1. г-преобразовання по па- 1 (3.31) — е "г К„„(г) приведены в Таблица 3.! !/(1 — р„г). р„=е "= ел р„г/(1 — р„г)' р„г(1+у„г)/(1 р г)а р„г (1 + ар„г + р„г') /(! — р„г)' р„г (! + Пу г+ !1уаг + узг )у(1 р г)а у г(1 )„282 г ! 88 зга ! 28 зга )„4гау(! уз)а (3.28);.~ =о 1=о .ч где о, р„М. Подставчяя разложение (3.29) в фармуау (3,28) и используя свойство линейности г-преобразования, получим г — ! С 8!и+! К„(г) =Я ~ ! Р(пи+~ е" )= .=о и~ с -1 С Ын+' (г). (3.30) а=о и=о Передаточную функцию К„„(г) (г-преобразование от и'еч" ) можно найти по та6чицам дискретйого преобразования Лапласа (83) или же, поскольку Итак; окоиаательпое выражение для К4г) по методу л-преобраэовапии даегся следуюшей обшей формулой: С йФ'+' И~" К.() =Я ~~)~ ~„— „,,„° (3.32) ° 1-е "я «=о н=е где о„= р„й! — иорннровавиые аначеиия по,!юсов передаточной функции системы, а коэффициенты С определяю!си по (3.28).
Йря отсутствии кратных полюсов у перел.эточиой функция системы формула (327) лля импульсной переходной характеристики является суперпоэицией экспонент: ю-$ 'й(!) = ~ С„,е~ „ (3.33) ю~ гдв (3.34) С =(К(р)(р-р,)) В соответствии с этим формула (3.32) аереходнт в формулу т — 1 ю-! 1 К, (л) = Я С К„,( ) ~~ С„ , , (з.зб) — Э т — о тите с„о — — С,ойк р =е ' тч (3 38) Нулевой полюс передаточной функции с простыни полюсами (если такой пиен!ся) можно выделить особо, тогда 1 к(р) — к (р).
й(!) =к,(о)+ ~ с„р'"', (З.зу) Ке(х) ! ° + Ц (3.38) ° цн Если пожосы р„, т= 1,т. передаточной функции простые и ни одни ва ннх пе равен нулю, то формула (3.38) принимает вид П$ ю Кч(л)= Я и еКа(х) = 3: 1 дл 1 — рте ъ~! э~1 2. Метод Цыпкина — Гольденберга (Щ' Метод основан на ступенчатой ннтерполяции входного сигнала с помощью интерполирующего фильтра с импульсной переходной характеристикой вида (рис. 1.5,а) (1, О аг~м, (О, !<О, 1>И. (3.39) Наиболее простым путем для нахождения общего выражения для передаточной функции К (а) эквивалентной импульсной системы в этом случае является следующий. Возьмем в качестве входного сигнала и(1) единичную ступеньку, т.
е. положнм и,(!) = 1 (1)= ~ ! 1, Р-=О„ (О, !<О. .И=и(п )=!(и)=!' 11, и=О, ! О, пс"О с помощью интерполнрующего фильтра с импульсной переходной характеристикой (3.39) осуществляется, очевидно, точно: и„(1)= ~и(п)й',(г — пИ)= Ю =~ ! 111] Ф' (! — пЫ) =-1 (1)=и(1). Следовательно, в рассматриваемом случае реакции на единичную ступеньку непрерывной системы и эквнвалептной импульсной системы в точности совпадают: о*(1) ь и(1).
Нетрудно найти общие выражения для этих реакций, зная полюсы передаточной функция К(р). Действительно, поскольку иэображение по Лапласу единичной ступеньки есть 11р, то изображение реакция о(г) равно — К(р)=,— '-= — ' 1 ! К,1(р) 11 Я,+А,р+...+А~р' р —,р К,(р)= р ~В,-(-нр+...-+Н,р Интерполяция такого снгнапа по его дискретным значе- ниям Отсюда в)ахй[йарт;-'416 'функция о(г)1 оййй)[ейяетеи 'формулой (3,27~,'' если в ней число нулевых:полюсов положить на единицу больше (за счет множителя 17р перед К(Р)), т.е. ° ~ ю о(1)=~1 ~)~ ~е (нее', м Он=а где (г„+1, «=О, [ г„, т=),з, й4 ~ =0 и — степень полинома К, (р); 1 ( 1) ~ р К (Р) (Р Р ) д,~ (3.41) р, т =О,з, — попюсы передаточной функции К (р) кратности г„каждый, причем р,=О.
Передаточная функция К,(з) равна отношению з-преобразования о[в[ к х-преобразованию 1 [и[. Поскольку 11(1 [н[)= —, а а-преобрионанне о[и] дастся формулой (3.30) нри г„= =г'„и С =С' [сравни (3.40) и (3.27)[, то окончательно получим в С'ч,а1З К~ (е)~."= 1~ ~) 1 (1 х) К (з)в э=О в=О (3.42) К (г) *=— сР' 1 ч' йр 1 ч, Вырюкення для К„„(г) при р=0,5 даны в табл. 3.1. Если полюсы р,, у=1,и, передаточной функции К(о) простые н нн один из них не равен нулю, то выходной 18б з-преобразование от этой функции имеет внд В( Щ=', (о)+~~)'С„, 1 — е "з э=! Следовательно, дискретная передаточная функция К (я) по методу Цыпкина — Гольденберга в этом случае равна К„(г) = К (О)+ $~ С вЂ” (3,43) ьа 1 — е "г м=-! 3.
Метод Рагаззннн — Бергена В основу метода (104) положена линейнан интерполяция входного сигнала с помощью интерполпрующего фильтра с импульсной переходной характеристикой вида (рис. !.Б,е) !с! 1н (1) ( ( ага,щ к'йГ (О,(гс йг (ЗА4) Для нахождения передаточной функции К,(а) эквивалентной импульсной системы пойдем таким же путем, как и прн получения передаточной функции К,(з) в предыдущем методе. Возьмем в качестве входного сигнала пЩ линейную функцию Интерполяция ее по дискретным точкам и(п]=ап, и"=-:О, сигнал иЩ согласно (3.37) можно записать в виде $ и(Ц=К(0)+~'„С, е ', е — ! с помощцр':-'Митерполирующего фильтра, с импульсной переходной: характеристикой (3.44) осуществляется точно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
