Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Согласно этой схеме последовательность дискретных значений входного сигнала поступает на линию задержки с й отводами, задержка между которыми равна М. К отводам подключены весовые усилители с коэффициентами усиления а[й]=с[л]й[й]. Для образования ди- 171 свретного сигнала на выходе системы выходы бесовый::. усилителей суммируются. Процесс дискретной фильтрации по схеме рнс. 2.1 '1 можно легко реализовать на ЦВМ в виде стандартной ! программы, входными параметрами которой являются ':,' Л' н аЩ, й=1, 1У. Коэффициенты и(й) должны быть вы- ' числены заранее.
Значения их при выбранном М определяются дискретной импульсной переходной характеристикой системы и выбранным способом численного интегрирования. В простейшем случае иЩ=Л111(й). Линию задержки можно имитировать иа 1(ВМ, использун операцию пересылки содержимого ячеек оперативной памяти, хранящих текущие значения входного сигнала от и(п) до и(п — Ц. Вычисления по схеме рис. 2.1 можно производить также с помощью готовой стандартной операции перемножения матриц. Действительно, пусть входной дискретный сигнал и(л), п=О, У, н дискретная импульсная переходная характеристика системы л[п), п=О, У, причем %+!~У~+! ограничены во времени.
Тогда, очевидно„выходной дискретный сигнал будет последовательностью нз Л',=У~+У+! чисел, которая удовчетворяет следующему матричному равенству: и[й] и[1] и[й] 0 „, 0 и[1] и[а] ... й ° ° ° ° ° ° ч ° и[а)+й-1] где 4п)=с(п)Ь(п), п=О, й1. (3.! 6) Запись матриц для случая Л'~<)У аналогична. В выражении (3.16) матрица порядка (У+1) Х Р,'(У+В~+1), составленная из элементов и(п! п=О, Уь формируется следующим образом: каждая строка полу- 172 иГй] иГй-1] ... и[1] и[а] и[Рн1] и[й] ., и[Я] и[1] и[й,] «[йт-1] ...
и[7ч-й-1] и[и;й] й и[й4 ., и[й-й-0 и[и, й1] а й „, и[й] и[й,-1] й О д и[йг] [а] а[1] а[й-1] а[й] чается нз,арйдыдущей строки сдвигом гпг один элемент вправо. »ак,' "например, если »у~=»ох=2, 'то матричная запись будет иметь вид: В наложенной процедуре замены непрерывной системы эквивалентной дискретной системой использован косвенный путь, основанный на применении методов численного интегрирования к интегралам свертки (3.4)— (ЗЗ).
Дискретный фильтр, приближенно заменяющий непрерывный фильтр, можно получить также несколько иным путем: непосредственно из рассмотрения импульсной системы. эквивалентной непрерывной системе. 2. Дискретизация по методу замены непрерывных систем эквивалентными импульсными системами На рис. 3.[ показан пример линейной системы (а) и ее импульсного эквивалента (б). Импульсная система работает следующим образом (85). Входной сигнал и(~) подается на импульсный эде иенг (ИЭ), который превращает его в последователь.
ность импульсов, следующих с периодом повторения Ж, равным шагу дискретизации, и промодулнрованных по амплитуде сигналом иЩ, т. е. и, (у)= ~ и„(и)[Оо(à — пй»). где йо(Г) — функция, описывающая форму импульса. Импульсный элемент можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента, преобразующего сигнал иЩ в модулированную последовательность мгновенных импульсов (б-функций) вида оо и (») о ~1 — пдг) !73 о [О» о [Ц о [2» о [3» о [4» и [О[ 0 и[Ц и[О» и[2» а[Ц [О и [2) 0 0 0 О» Х [1[ и [2) ин) и ги иьЮ кэ гщ им) ь)г) астр) в) Рис. Э.1. и(Е) и аппроксимации ее отрезками прямых (линейнан интерполяция в точках Е„=пЬЕ).
В первом случае импульсная переходная характеристика >штерполирующего фильтра представляет собой прямоугольный импульс с единичной амплитудой длительностью АЕ, а во втором — симметричный импульс треугольной формы с единичной амплитудой длительностью 2ЬЕ. Аналитические выражения импульсных переходных характеристик для этих случаев приведены в табл. 1.1. При других более точных видах интерполяции, например при квадратичной интерполяции, форма импульсной переходной характеристики ннтерполирующего фильтра будет более сложной (49).
Интерполирующий фильтр н система с передаточной функцией К(р) образуют так называемую приведенную непрерывную часть (351 (на рнс. 3.1 показана пунктиром). Импульсная переходная характеристика приведенной непрерыююй части, как нетрудно видеть, равна свертке функций Ьо(Е) и ЬЩ: Ь„ (Е) = Ь (Е) ф Ь (Е) = $ Ь ( с) Ь (Š— т) )Ет, 174 и интерполируюи(его фильтра (ИФ), представлякпцего. собой линейную непрерывную систему с импульсной переходной характеристикой Ьь® (рис. 3.1,в).
Выбирая шаг дискретизации ЛЕ н функцию Ьь(Е), можно с достаточной точностью аппроксимировать непрерывнуюфункцию и(Е) функцией и„(Е) (см. $1.7). На рнс. 1.5 показаны примеры ступенчатой аппроксимации функции где й٠†импульсн переходная характеристика непрерывной системы. Поскольку приведенная непрерывная часть' находится под воздействием Ь-импульсов, сигнал о,(1) на выходе импульсной системы южно представить в виде о„(1)= ~ и[п]'й (1 — по1).
В дискретных точках 1„=пЛ1 выходной сигнал импульсной спстемы равен ОР Об оя [и] = ~ и [п] Ь [и — й] = ~ Ь„ [и] и[п — й], (3.17) Ф вЂ” со А= — м т. е. последовательность дискретных значений выходного сигнала выражается в виде дискретной свертки последовательности значений входного сигнала и дискретной импульсной переходной характеристики Ь„[П] приведенной непрерывной части.
Суммирование н формуле (3.17) распространяется на всю область существования дискретных значений, стоящих под знаком суммы. В частном случае, когда и(1) *.мйе(М) =— й(1) яаО, 1<0, формула (3.17) запишется в виде о„[п] = ~ й„[й] и [п — А]. (3. 18) Если, кроме того, импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части ограничена справа. т. е. имеет конечную длительность, равную Т, то о [п]=ЯБ„[й]и[п — й], Ф == (3.19) а=о Передаточные функции дискретных фильтров, описываемых формулами (3.18) и (3.19), имеют соответственно внд ОР К (г)=Е й„[й] ".
(3.20) К„(з)=~ й„[й]зь. (3.21) Структурная схема дискретного фильтра с переда-~ точной функцией (3.20) будет такой же, как н схема'. фильтра, представленного на рис. 2.1, если в ней заме- )з нить коэффициенты 4Ц на Й.[й1 Подготовительная работа к моделированию прн ис-,", пользовании алгоритмов дискретной свертки рассмотренного типа сложнее подготовительной работы при использовании алгоритмов дискретной свертки, основанных на методах численного интегрирования, тзк как по заданной импульсной переходной характеристике системы требуется еще находить импульсную переходную характеристику Й„1А] приведенной непрерывной части, задавшись формой импульсной переходной характеристики АтЯ интерполирующего фильтра.
Наиболее просто функция й.(1) находится в случае, когда интерполируюший фильтр представляет собой просто безынерционный усилитель с коэффициентом передачи, равным Л( (непрерывный входной сигнал иЩ- заменяется при этом модулированной последовательностью б-функций с огибающей Лг и(п)), а именно Ь,(1) = =М й(1). Тогда согласно (3.18) и, 1л) = Ы ~; Ь (й1 и 1л — Ц. (3.22) Сравнивая (3.22) с (3.10), убеждаемся, что такая же дискретная свертка получается из непрерывной свертки при использовании метода прямоугольников. Дискретная аппроксимация непрерывных систем по принципу замены их эквивалентными импульсными системами имеет самостоятельное значение при получении рекуррентных моделирующих алгоритмов Я 3.3). 3.
Применение к системам с переменными параметрами Одним из преимушеств метода цифрового моделирования линейных динамических систем, основанного на дискретизации непрерывной свертки, является возможность простого обобщения его на случай моделирования линейных систем с переменными параметрами (нестационарных во времени систем). Связь вход — выход в системах г переменными параметрами. как известно, можно задать с помощью им- 176 пульсной переходной характеристики й((г-"т); зависящей от двух переменных и описывающей реакцию системы на Ь-функцию, поданную на вход в момент времени й где ( — текущее время, с — время, прошедшее с'момента подачи о-импульса (Щ.
На рис. 3.2 дан пример реакции ~л.л а, гг а е, гг а иЮ иФ а(е,н системы с переменными параметрами на импульсное воздействие, поданное в моменты времени г1 и гз>6ь При таком определении импульсной переходной характеристики нестанионарной системы реакция ее на сигнал и(г) запишется в виде и(Ц) = ~ и (т) й (ч, ( — ч) Ит. В дискретной форме о (л]=КиЯЦй, л — Цс( — Ь), о„(л.1 = ~ и Я(й, [Ф, л — л), где с٠— коэффициенты, зависящие от метода числен- ного интегрирования; 6,(г, т) †импульсн переходная ' характеристика приведенной непрерывной части неста- ' цн6нарной системы. Таким образом, цифровые модели нестационарных линейных систем, оснонанные на дискретной свертке, представляют собсй формулы скользящего суммирова- ния с переменным весом (весом, зависящим от теку- щего значения дискретного времени), 12-1чО 4.
Заключительные замечания Рассмотренные выше методы моделирования, использующие дискретную свертку, удобны в тех случаях, ' когда известна (нли легко находится) импульсная переходная характеристика линейной системы (функция Грина дифференциального уравнения, связывающего входной н выходной процессы). Метод дискретной свертки одинаково успешно может быть применен для цифрового моделирования линейных систем как с постоянными (сосредоточенными и распределенными), таки с переменными параметрами. Недостатком метода дискретной свертки является относительно большой объем вычислений.
Действительно,если импульснаяпереходная характеристика системы имеет ограниченную длительность (или допускает ограничение), то для получения одного значения выходного сигнала требуется произвести, как это следует, например, из (3.9), 21т' элементарных операций: У умножений и У сложений, не считая операций пересылки. Прябольшом отношении длительности импульсной переходной характеристики к шагу дискретизации число 1У велико, что и приводит к большим вычислительным затратам.
Если же импульсную переходну1о характерпстику нельзя аппроксимировать ограниченной, то объем вычислений на одну дискрету выходного сигнала растет пропорционально ее номеру п '1см. формулу (3.!8)1. Другим распространенным методом описания радиосистем является частотный метод (метод Фурье). При использовании этого метода для цифрового моделирования линейных систем требуется произвести трн основные операции: !) численное преобразование Фурье входного сигнала (задание входного сигнала в виде суперпозиции гармоник; 2) умножение спектра входного сигнала на частотную характеристику системы К()ы) (изменение амплитуд и фаз входных гармоник в соответствии с амплитудно- и фазо-частотной характеристиками системы); 3) обратное преобразование Фурье спектра выходного сигнала (суммирование выходных гармоник).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
