Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Импульсные системы можно рассматривать как разновидность непрерывных систем, у которых воздействия прерываются во времени (чаще всего периодически). Поэтому для моделирования импульсных систем, в особенности тех, у которых интервалы между воздействиями (импульсами) соизмеримы с длительностями импульсов (системы с малой скважностью нли квазинепрерывные системы), можно применять те же методы, что и для моделирования непрерывных систем.
Задача моделирования так называемых амллигудноилпульсных систем 1-го рода (851 у которых информация заключена лишь в амплитудах импульсных сигналов, является, по сугдеству, упрощснным вариантом задачи тюделировання непрерывных систем, когда задан шаг дискретизации и метод дискретной аппроксимации (см. 5 3.2, и. 2, э 3.3) .
Какие-либо специальные методы моделирования импульсных систем в этой главе пе рассматриваются. (3.!) 3.2. Цифровые модели непрерывных линейных динамических систем, основанные на дискретной свертке Рассмотрим непрерывную линейную динамическую систему с постоянпымп параметрами. В качестве основ- ных характеристик системы обычно используются пере- даточная функция К(р) в смысле преобразования Лап- ласа и импульсная переходная характеристика й(1), представляющая собой реакцию системы на б-функцию. В общем случае функции К(р) и 6(() являются, как из- вестно, парой 'функций, сопряженных по Лапласу: К (р) = ~ Ь (!) е г'гИ, с+м й(()=т.! 1 К,(Р) ™'др с — м Если функция Ь(() абсолютно интегрируема, то ха- рактеристики К(р) и й(!) связаны прямым н обратным преобразованиями Фурье: (66 КОм)= ~Ь(()е ~ Ф, еч (3.2) Ь (()= — ~ К Ом) е'~йю, Формулы (3.2) являются частным случаем формул (ЗЛ).
Для того чтобы при нулевых начальных условиях определить реакцию линейной системы на сигнал произ- вольного вида, достаточно иметь характеристики К(р) плв Ь(с). При моделировании в качестве основной характери- стики линейной системы удобно использовать импульс- ную .переходную характеристику Ь(г), с помощью кото- рой можно довольно просто выразить сигнал о(() на выходе системы через входной сигнал и((): сь о (т) = и (() ф Ь (() = ) и (ч) Ь (г — т) г(ч = ~ и (г — с) Ь (с) г(ч. (3.3) Согласно формуле (3.3) сигнал на выходе линейной си-.
стемы является результатом скользяшего интегрирования входного сигнала с весовой функцией Ь(Ф). Формула (3.3) называется, как известно, интегралом Дюамеля, а также формулой свертки. В дальнейшем будет исполь- зоваться последний термин. З формуле (3.3) предполагается, что подынтеграль- ные функции заданы па всей оси, при этом они могут быть неограниченными и огранпченными во времени. В последнем случае значения функций вне области за- дания полагаются тождественно равными нулю. При различных односторонних н двусторонних ограпнченппх во времени функций и(Г» и й(Г» пределы интегрировании можно уточнить. В наиболее распространенных частных случанх ограни- чений по времеви формула (3.3», как нетрудно показать, имеет следующий вид.
1. Сигнал и(г» неограничен во времени. Функции а(Г» имеет одностороннее ограничение'. й(Г»и О ирн Г(0 (вто условие всегда имеет мстто длн физически осуществимых линейных систем», о(Г»= ~ и(ч»й(т — т)от )ГЬ(т»и(à — т»от. (ЗА» — со о О. 1<О, и(ч)Ь(1 — ч) с(ч= ) Ь (ч) а (1 — с) )сч, Очс~у. о т с и (ч) Ь (1 — ) Лт = у Ь (с) и (1 — ч) д., 1 > Т. о с — т о(1) = (3,7) 5.
Функции сл(1) и 1)(1) ал)еют одинаковое двустороннее ограничение: и(1) миЬ(1) — 0 ири 1<0 н прн 1>Т, О, 1(0. и (т) Ь (1 — ч) с(т.= ) Ь (ч) и (1 — с) с(ч, 0 й1~ Т, о с и(Ч)Ь(1 — )СС~= ~ Ь(С)а(1 — С)ССЧ, ТЫ;сч~27, с-т с — т 0 1>27 о(1) = (3.6) Формула (3.6) используется, например, нрв апалнзе прохождения импульсного сигнала через согласованный с иим оптимальный Фильтр (86). Выражения (3.4) — (3.8) представляют собой непрерывные математические модели линейных динамических систем с постоянными параметрами. Одним из принципов получения цифровых моделей непрерывных систем является переход от уравнений (З.З) — (3.8) к соответствугогциьс дискретным эквивалентам.
Рассмотрим методы дискретизации этих уравнений. 166 2. сигнал и(1) неоврвничеи во времеспс. фу)низин ь(1) имеет"ч двустороннее ограничение: ь(1) ~О при 1<О и 1>т. 1 т 3 и= 1 )))) — ) =)))) с — )л. а))': с — т 3. Функции и(1) н Й(1) имеют одностороннее ограничение: и(1) )ыО при 1<О и 1)ОЗ Био при 1<0, ) О, 1, О, о (1) = г г (3.6) ат и (ч) Ь(1 — ч) йч - ~ Ь(ч) и (1 — с) с(ч, 1 О, о о 4. Сигнал и(1) имеет двустороннее ограничение: и(1) — О при 1<0 и прн 1>Т, функция Ь(1) ограничена с одной стороны: Ь(1) иао прп 1<0, 1.
Дис((ретизация с использованием фор*й(ул численного интегрирования Наиболее простым по своей идее способом получения цифровых моделей непрерывных систем является замена интегралов вида (3.3) — (3.8) соответствующими суммами. Для замены интегралов суммами существует большое количество методов (методы численного инте= грнрования). Рассмотрим применение формул численного интегрирования на примере выражения (3.5), когда функция Ь(4) имеет двустороннее ограничение (функцию ЬЩ, неограниченную вправо, можно приближенно заменить ограниченной, если Ь(г) — ~0 при г — ~-оо).
Дискретные значения сигнала на выходе системы в точках г„=пМ равны п[а) = ~Ь( ) и(пМ вЂ” ~)г(~. о Пусть дискретный входной сигнал и[я[=и(пМ) задан с тем же шагом М н пусть М в целое число раз меньше Т, т. е. Т1М=И. При достаточно малом М последовательность п[л) проще всего найти, заменяя интеграл суммой по способу прямоугольников, основанному на замене подынтегральной функции ступенчатой кривой: У вЂ” ! [[=.[1= ЕЬ[Ь) [ — [ (3) ь=а где ЬЩ= Ь(ЬМ) — дискретная импульсная переходнан характеристика. Аналогично осуществляется дискретизация н других уравнений (3.4) — (3.8). Например, уравнению (3.4) соответствует следующий дискретный эквивалент: в-1 о, [л[=-М ~ Ь [Ь[и [и — Ь[..
(3.10) Согласно алгоритму (3.9) преобразование дискретного входного процесса и[а) в дискретный выходной процесс п[п) осуществляется путем скользящего суммирования первого с весовой функцией аЩ МЬ[Ь[, равной ,% точ"остью до множнтедя ~И дискретной импульсной (69 ') переходной характеристике системы, другими словами,.:, путем дискретной свертки функций и[п] н и[п]=МЬ[п]. Существует ряд других методов численного интегрирования, более точных по сравнению со способом прямоугольников (см., например, [3]).
Из них часто применяются метод трапеций и метод Симпсона (формула парабол). При использовании метода трапеций формулы (3.9) и (3.10) имеют соответственно вид о,[п]=~ с[Ь]Ь[Ь]и[п — Ь], (3.11) аеа и о [п]=2', с[Ь]Ь[Ь]и[и — А], (312) а=о где с[Ь]= г с,[Ь]. се[Ь]=-1, 2, 2 "' 2* 2.
1. При использовании метода Симпсона нужно выбрать параметр Й четным и вычисления производить по формуле о„ [п] = ]~ с [Ь] Ь [Ь] и [и — Ь]. (3.13) где [Ь]= з се[Ь], с,[Ь]=1, 4, 2, 4,..., 2, 4, 1. В общем случае применение методов численного интегрирования сводится к различному выбору коэффициентов о[Ь]. Это относится и к методу прямоугольников, для которого согласно (3.9) с [Ь] =Ис,~[Ь], с, [Ь] =„'1, 1, ..., 1, 1, О, т. е.
все с,[Ь], кроме последнего, равны единице; последний коэффициент равен нулю. В задачах,не требующих большой точности решения, удобно использовать формулу прямоугольников как наиболее простую. Погрешность интерполяции систем по способу прямоугольников будет оценена ниже. Как было показано в $2.2, п. 2, аппроксимация ио способу прямоугольников не сопровождается погрешностью, если функции и(1) н Ь(г) имеют спектры, ограниченные часто- 170 той ы,=п1Ж,"'что соответствует случаю, когда спектр входного сигнала и полоса пропускания системы строго ограничены частотой ы„а шаг дискретизации Мвыбран а соответствии с теоремой Котельникова.
Следует заметить, что если подынтегральная функция на концах интервала интегрирования обращается з нуль, например прн 6[0]=ЛЬЕ=О, формула примо- угольников н формула трапеций дают совершенно одинаковый результат. Такой вывод с очевидностью следует пз формул (3.9) и (3.11). Формулы (3.9) — (3.13) - описывают поведение некоторых дискретных линейных фильтров (см.
9 2.1). Передаточные функции этих фильтров, определяемые как отношение г-преобразования дискретного выходного сигнала о [и] к г-преобразованию дискретного входного сигнала и[я] имеют вид (83]: ФЮ СФ К„(а)= — ф„— -=~~~~ ~с [й] Ь [й) ах='~~ а [й] аа (3.14) ь=е а=о при одностороннем ограничении, )(„(а)=„("„'1„"~ =~~ ~с [й] й.[й] а" = ~~)~~ а [й) г" (3.15) 1=0 аьа при двустороннем ограничении по времени импульсной переходной характеристики системы.
Формулы (3.14), (3.15) непосредственно получаются из формул (3.9) — (3.13), если гь рассматривать как оператор задержки последовательности а[и] на А периодов. Отсюда следует, что передаточные функции К,(а) являются х-преобразованием от весовой функции аЩ, представляющей собой последовательность значений импульсной переходной характеристики системы с весом сЩ ' Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.15) изображена на рис. 2.1 (если заменить х[п], сЩ, ф[п]на п[п], а[й], о.(п] соответственно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
