Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 30
Текст из файла (страница 30)
32. 196 ОО К(р) д!~ы Н(и) е л (3.64» При малом Лг формулы (3.63) н (3.64) .шют близкий результаг. '1 С авинван (ЗА1) н (3.25), видим, что передаточиая функция г- . (е — т) при малом гааге Л! приблизительно равна передаточной функции К(р), если в ней переменную и заменить на 4/Л/: ,1 $к.к'„(1 +рт„) 11 ар ~ р' р=о Сы= К.К„[1 + РТ„[[, = К.К„ 2 з По формуле (3.30) находим Ке (г) = Смкее (г) + Сез Кее (г) (3.69) где в соответствия с табл. 3.! 1 г Км (г) — 1 г' Ке1 (г) = (1 г)з Подставляя (3.63) и (3.70) в (3.69) и провзводя элементарные преобразования, окончательно получим К,(г)= 1 2 + з ° аз=яК Т,М, а, =-ае — Кек„Ы . (3.71) Отсюда согласно общей формуле ~(324) иеносредсгзеняо получаем рекуррентпое уравнеяие, связывающее лискретный сигнал о.[л[ па выходе системы с дискретным сигналом и и[и[ иа входе системыы о, [и[=а,н [и)+а,а[и — Ц+2о [и — Ц вЂ” о, [и — 2[.
(3.7г1 Совершенно аналоги ао, используя формула (3.42) н >(3.46) с учетом формул (3.41), (3.4$) и табл. 3.1, пайлем лискрстные пере. двточиые функиии по методу Пыпкниа — Тольленберга: а,г+ лег* К*(г) 1 — 2г+ ге * (3.7О) а, = Кзвк~ (Из+ Т,йг). а, К,Кз (Ьгз- Т,ЬФ) (3.73) 197 8. П[зммврьз Пусть задана линейиан система с перелаточной функцией к.к'„(1 + ру.) К(р) = р Такую передаточную фуницию имеет разомкнутая следящая система радиолокационного автодальномера с двумя интеграторами, ковффициент передачи которых Кз [ели-е[, н коррсктирукяцей цепью с постоянной времени Т„[2[; Ке — безраамерный козффнцнент усиленин. Найдем лля иее эквивалентные дискретные передаточные функции н рекуррентные моделирующие алгоритмы.
нспользуи рааличные методы дискретной аппроксимации. Передаточная функция К(р) имеет только нулевой полюс кратности ге=2. По методу г-преобразования нахождение дискретной передаточной функции К,(г) сводятся к применению формулы '(3.30) при з=б, ге=2 с учетом формулы (323) и табл.
3.1. Согласно ~(3.28) получаем в по методу Рагаззмшь — Бергена и,+аьг+озг* ч (г 1 — 2г+зз о [и[ =аьи [л — Ц + ази [» — 2[ + 2о [л — Ц вЂ” о [л — 2[. (3.75) о [и[=или [и[+а,и[и — Ц+а,а[» — 2]+2о„[л — Ц вЂ” о,[л — 2[. (3,76) Лля использования метода Боксера — Талера поделим числитель и знаменатель передаточной фуикцви К(р) иа рзь К,К'„К,К,'Т.
К,Кзд К,К',Тай! где 4=ЕЛЕ Замешю операторы интегрирования 1/д и 1/дз соответствующими дискретными операторами интегрирования из табл. 3.2, запишем КчК".ПУ 1.» 1б, » га К.Карай!1.», К. (') !2 (1 — г)* + 2 1 — г После элементарных преобрчзоеаяий получим лв+ аьг+ аьгз ! з Кь(г) = — ! 2,+, ь ао= 2 КвКя(йгь+ буза»). (3.77) иь= !2 КвКай»е. иь =' !2 КвКьь(ДР— бу„з!).
(3.78) Отсюда находим рскурреитиый модезируюший алгоритм (3.76) Если рассматривать замкнутую следующую гастеву звтодааьвомера, то ее передаточная фуикция в линейном ргжвме имеет еид К(р) К.(р) =1, К(„. Авзлогичкой формулой выражается дискретная передаточная фуик- ция импульсной системы, зквиваленпюй замкнутой иепрерывиой св. стеве, К, (г) К ь(г) = — П[ ° ь где К. (г) — дискретпзя персдаточпая фушщия разомкнутой сп. схемы, !ай (3.79) а КзКя(ам+37 М иь = — К К йть (3.74) 3 В а 1 а,- б К.К',(Ь!з — 37.М.
Передаточным функциям ь(3.73) и (3.74) соответствуют следующие рекурреитиые алгоритмы: Подставляя в формулу 43.79) выражения для Кя(л), определяемые 4юрмулами (371). 1(373)„(3.74) и 13.77», легко найдем дискретные передаточные Функции замкнутой системы автодальномера ири различных методах дискремюй аппроксимации и соответствующие им рекуррентпые алгоритмы. Приведенные примеры показывшот, что для линейных систем невысокого порядка, таких, как следящие системы радиоустройств, могут быть получены весьма простые рекуррентны« цифровые модели.
Действительно, согласно алгоритмам (3,72), (3.75), (3.76) и (3.78) для вычисления одного дискретного значения сигнала нз выходе следящей системы автодальномера с двуми интеграторами требуется произвести всего лишь 6 — 8 элементарных операций. При этом количество операций не зависит от выбранного шага моделирования. Использование дискретной свертки в качестве алгоритма цифровой моделя в данном случае потребовало бы 2п элементарных операций на одну днскрсту, где и — номер дискреты. В самом деле, импульсная переходная характеристика разомкнутой системы согласно формуле 1(3~27) имеет вид й (1) Сы+ Ссчг = КэКЗ (Т + 1) 1: О.
(3.80) где Свэ я Свг определяются формулой (3.68). Импульсную переходную характеристику (3.80) нельзя замснить ограниченной яо времени. Поэтому вычисление выходного сигнала и [и) по методу дискретной свертки нужно производить согласно алгоритму [см., на- пример. (3 12)) о, [и[ =,]~~~ С [й) й [й) и [и — й[. где Ь [и) .= К Кзт Х ь=в Х (1+ Ып7Т ). Отсюда следует, что в рассматриваемом случае лля получения щирровой полети системы нз основе дискретной свертки объем вычислений значительно больше, чем при моделировании с помощью рскурревтных цифровых моделей. 9. Сравнительная характеристика методов дискретной аппроксимации Приведенные методы не охватывают всех известных к настоящему времени методов.
Сюда не вошли методы, которые можно использовать только прн типовых воздействиях на входе системы, такие, кнк метод Красовского — Поспелова [44], требующий, чтобы изображение по Лапласу входного сигнала было дробно-рациональной Функцией; метод Андерсона — Болла — Босса [93], в котором входной сигнал аппроксимируется полиномом; метод оптимального цифрового моделирования Сейджа и Барта [108] и другие методы, нашедшие ограниченное применение. 199 Рассмотренные выше методы являются универсальными а том смысле, что они могут быть применены пря произвольных входных сигналах и к любым линейным системам с постоянными сосредоточенными параметрами.
Независимо от метода дискретной аппроксимации (исключение составляет лишь метод автора при использовании формул численного интегрирования повышенной точности) рекуррентные алгоритмы при моделировании одной и той же системы получаются одинаковыми по сложности: порядок рекуррентного уравнения вида (3.24) совпадает с порядком моделируемой системы (см.
п. 3). Различные методы дискретизации дают лишь различные значения коэффициентов ах н Ьх в формуле (3.24), при этом будет различной точность аппроксимации при выбранном шаге дискретизации. Изложенные методы различаются еще и по объему подготовительной работы. Выбор того или иного метода дискретной аппрокснмапии в конкретной задаче должен производиться с учетом указанных соображений. Подготовительная работа при всех методах дискретной аппроксимации упрощается и имеет практически одинаковый объем, если дискретизация осуществляется по принципу замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования, так как при этом не требуется отыскивать полюсы передаточной функции моделируемой системы. Методы Тастина, Мадведа — Траксела и Боксера — Талера могут быть использованы только таким образом.
Однако в этих случаях снижается точность аппроксимации. Действительно, при дискретной аппроксимации с использованием полюсов всей системы, погрешность выходного сигнала возникает только в результате неточной интерполяции входного сигнала импульсным элементом, включенным на входе системы (см. рнс. 3.1). Дискретная аппроксимация по принципу замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрировании означает, по существу, замену непрерывной системы импульсной системой с многими импульсными элементами, по одному на каждое интегрирующее звено, подвергаемое дискретизации (49, 631 Такое многократное прерывание и сглаживание входного сигнала при прохождении его через систему увеличивает погрешность выходного сигнала.
аоо Для увеличения точности следует стремиться применять методы дискретной аппроксимации, позволяющие использовать информацию о полюсах передаточной функции (методы дискретной аппроксимации повышенной точности). К ним относятся методы, описанные в пп.1 — 4 этого параграфа. Если передаточная функция имеет высокий порядок и нахождение ее полюсов связано с большими трудностями, то методы повышенной точности следует применять к отдельным звеньям системы, полюсы которых известны или легко находятся. Подготовительная работа прн этом усложняется незначительно, ибо она, как уже отмечалось, сводится к расчету по готовым формулам.
В тех случаях, когда полюсы найти не удается и в качестве элементарных звеньев системы приходится использовать интегрирующие звенья, методы дискретной аппроксимации повышенной точности теряют свои заметные преимущества в точности; однако возможность применения их не исключается (табл. 3.2).
В этом смысле методы повышенной точности являются универсальными н более перспективными. При прочих равных условиях иаиболыпей точностью среди описанных методов дискретной аппроксимации обладают, по-видимому, метод Рагаззини — Бергена и метод, предложенный автором, в случае, когда интеграл )'„[я+2) вычисляется способом Симпсона (формула (3.58)), так как первый основан на линейной интерполяции, а второй — на квадратичной интерполяции функций по дискретным точкам. Эти виды интерполяции обладают большей точностью, чем ступенчатая интерполяция (метод Цыпмипа — Гольденберга) н интерполяция с помощью б-функций (метод г-преобразования), и могут быть рекомендованы как наиболее перспективные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
