Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Иаображення входного сигнала в смысле преобразования Лапласа н дискретного преобразования Лапласа соответственно равны Е(и(!)) =Е(1(!)!)= —,, Р(и(п))=й)Р(! (п] п) =й! Изображение по Лапласу выходного сигнала а(!) в этом случае ( (!))= —,'. К(р)= — '$®. где К(р) — передаточная функция непрерывной системы. Отсюда при известных полюсах передаточной функции К(р) общий вид функции о(!) будет определяться формулой (3.21), если число нулевых полюсов в ней положить на два больше (за счет множителя ЦР), т.
е. в и~э о(!)=1)~ '~~ С" (~-е ~О ь=о («„+2, т=О, г", =~ " Яг",=!и+2; .=!. о !и — степень полннома К,(р); 1 ° ~' — э — ! ° Ф С" чв (~~ ~р, — !)! ~ — э — ! )~ М )~[ ! К(р)(р — р,) '1~г; (3.45) ' где р,, ч= ),е, — полюсы передаточной функции К(р) кратности ! каждый, причем р,=О. Теперь, аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении предыдущего метода, можно сразу запи. сать окончательную общую формулу для дискретной передаточной функции К„(г) эквивалентной импульс- !67 ной снстемы'пра линейной ннтерполяцнн входного сиг-,.' нала (3.46) Выражения для К (з) прн в=0,5 помещены в табл.
3.1. 4. Метод, предложенный автором [17) Метод основан на замене формулы свертки рекуррентным уравнением. Сущность его состоит в следующем. Выразим сигнал оЩ на выходе системы с помощью Формулы свертки о (1) = ~ и (т) й (1 — в) Фс, (3.47) 6 где и(г) — сигнал на входе системы. Предположим сначала, что полюсы р„, т=О, т+1, передаточной функции системы простые, тогда импульсная переходная характеристика системы является суперпозицней экспонент (формула (3.33)): ЬЯ= ~ Ь„(1), Ь„Я=С, е, (3.48) где коэффициенты С„определяются формулой (3.34).
Разложению (3.48) соответствует разложение выходного сигнала в виде о, Я = ~ и (в) Ь„(1 — ч) Ич. (3.49) и(г)= ~ о,(Ф), Экспоненцнальная форма весовой фупкцнн й,(Ф) в формуле (3.48) позволяет найтн простое рекуррентное уравнение для вычисления дискретных значений сигнала о,(1) (см. й 2.3„ 1Ва -М~.: п. ' 2). авив]]вйтельно, дискретные значейгин' ''Ьй нала о„(1) в точкак,4 ""'пМ равны о [п]=С ~ и(т)е с6т о .нлн, после замены т на хИ, о„[п] =- Г, '] и (х) е " Нх, о где д, =С И(, д„=р„д(.
Значение сигнала о„[п] на Й шагов вперед, т. е. в точке и+й равно о,[п+к]= — С„, ] и(х)е " дх. (3.51) о Производи интегрирование в формуле (3.51) в два этапа: сначала- по промежутку (О, и), а затем по промежутку (и, п+л), придем к рекуррентной Фоомуле: и о„[п+л]=С 1] и(х) е" йх+ о +, [ и(х) е" Ох~=С„,]е" ] и(х)е" дх+ й Д 1 о +1' " '"" '"1=""""" "" Е„[п+Й]=С, [ и(х)е " г1х. Положив, в частности, й=! и применив к интегралу % л",[и+ Ц формулу трапеций с шагом 1, получим о,[и+ Ц= — (и[п]е '+и[и+ Ц)+е "о„[п] о„[п] = — (и [и[+и [и — Це ")+е"" о, [п — Ц. (3.53) 189 Данный:метод допускает обобщение на случай кратных поли>еой, когда импульсную переходную характеристику системы согласно (3.27) можно представить как суперпозицию составляющих вида й (т)=С„„— „е ' Ф'~ г,! Можно показать, что при использовании этого метода в сочетании со способом трапеций для нахождения передаточных функций К (з), соответствующих непрерывным фильтрам с импульсной переходной характеристикой вида (3.59), получаются результаты, совпадающие при р>0 с результатами применения метода з-преобразования.
Поэтому рассматриваемый метод при наличии Рис. ЗЗ. кратных полюсна можно применять совместно с ме2б;:, дом г-преобразования, находя К, (а) по формулам (3.55) ", или (3.58), а К.~ (а), )!=1, 2, ...,— по формуле (3.31) ! нлн по табл. 3.1. В заключение заметим, что изложенный метод несколько расширен по сравнению с [1У). Прежде чем переходить к характеристике других методов дискретной аппроксимации, необходимо сделать некоторые замечания к перечисленным методам. Вес описанные методы требуют отыскания полюсов передаточной функции К(р), после чего дискретная передаточная функция К,(г) находится непосредствен- ,4 но по соответствующим формулам. Преобразование ее к дробно рациональному виду (3.23) осуществляется с помощью простых алгебраических операций (приведение суммы рациональных функций К,„ (а) к общему знаменателю н приведение подобных членов).
Полюсы передаточных функций систем невысокого порядка отыскиваются легко. При нахождении полюсов для систем высокого порядка встречаются большие трудности. В этих случаях дискретную передаточную к. о! К !к1 Метол а.преобрвэоввиня 1 рМ 1 ! — г ! р*ан (1 — г)з ! АР 1 г(!+г) 2 (1 — «)~ 1 2 (2 + 4е + г~) 6 (1 — к)4 ! ,ФЬ~Р 1 к (!+112+112 +2~) 1 рВЯВ 24 (! — а)' функцнЮ.;гг,(л) всей системы можно найти по дискретным передаточным функциям ее отдельных звеньев, полюсы которых легко определяются, пользуясь при этом 'обычныыи правилами получения передаточной функции системы для различного соединения ее звеньев (8Я. В качестве элементарных звеньев системы удобно использовать интегрирующие звенья й-го порядка.
Для этого передаточную функцию (3.26) путем деления чцслителя н знаменателя на р'" нужно привести к виду А, А, А~ — +=+'-+=-: Ф" Р"'-' Р"*-'й (((р)=,„ т+ ~-ю+ ° ° -+Вщ Это преобразование эквивалентно замене системы с передаточной функцией К(р) системой с такой же передаточной функцией, но с другой структурой, включающей лишь интегрирующие звенья различного порядка с различными коэффициентами передачи, соединенные Таблица 3.2 к.м! метод тасдида мегдд надмире — твдерд 1 1+г 1 !+г 2 1 — г 2 1 — г ( 1+ ) 1 1+ 10г+гг !2 (1 — г)~ 1 г(1 — гг) 2 (1 — г)д ! г (1+4г+г*) 1 0 (1 — г)д т20 1+г ~1 1 г(1+! 1г+11гг+ад) 24 (1 — г)д !0З по схеме, которая показана на рис. 3.3.
Звенья с пере~ даточнымп функциями вида [[ра имеют только нулевые11 полюсы кратности ге= л. Дискретные передаточные функ- '.! ции зтих звеньев можно легко найти по формулам (З.ЗО), (3.42) и (3.46), положив л=О, ге=й, А(р) =1/рл. Этим самым операторы непрерывного интегрирования заменяются операторамн дискретного интегрирования. Операторы дискретного интегрирования, полученные различными мстодамн для звеньев с передаточными функциямн 1)(ра() з=[/да, даны в табл. 3.2. При таком расчленении системы на отдельные звенья не требуется знать пол)осы передаточной функции. Ниже описываются ыетоды дискретной апироксимации, использую)цие прин))иг) замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования. 5.
Метод Тастмиа (111) Вто одип из первых методов дискретного представлеиия операторов иитегрпроваиия. Метод Тастииа в конечном счете соответствует повторному примепеиию формулы трапеций для вычислевия интеграла. Возьмеи иптегрирующ«е звено ).то порядка. Смгиал и()) преобразуется этим звеном в сигиаа о(г) по формуле г о()) =й) п(т)оч. В дпскреп)ые момеиты времени г„=пзт зиачеиия сигиала раппы лаг <л — ))ы аы о [и[ = ~ и (ч) г)с = ~ и (ч) оз + ~ и (т) э)ч = о (л — )) ы =ой) — )1+У. [п[.
Вычисляя ивтеграл гэ [п[ 1 и(т) г)ч )а-1) Ф по формуле трапепвй с шагом И, получим ат )э [п[= З (и [и[-1-и[и — Ц). 194 Такпм образом, дл» пймысленпн погледовательмэстп о(я) имеем рекуррептыое урамшппе втп) = 2 (и Щ+ы (п — 'Ц)+о (п — Ц, которому соответствует дискретная передаточная функция К(11(г) йг 1+г (3.61) 2 1 — г Интегрирующее звено й-го порядка можно представить квк последовательное соеднвенпс нз й пнтегрнрующнх звеньев 1-го порядка. Заменяя в этой цепы же пнтегрнрующяе звенья первого порядка дискретныыи звсньямн с ыередаточпымн функциями (3.6Ц, получнм следующую дискретную аппроксимацию интегрирующего звена й-го порядка: Кгэз (г)-~ — — ~ .
И 1+г (3.62) Операторы (3.62) помещены в табл. Зн. 6. Метод Мадпада — Траксала 1102, 1101 Метод сводмгтя к замене непрерывной спстемы с передаточной Функцией 1)рз нмаульспой системой по схеме рнс 32 с нптерполпрующнм фвлщром, пмеющнм треугольную импульсную переходную характернстыку (линейная пнтерполяцыя входного сигнала). Поэтому шкмретшш аппроксимация операторов нптегрнровання в методе Мадведа — Траксела и точности совпадает с дискретной аппроксимацией зтвх операторов по методу Рагаззинн — Бергсна (табл. 3.2). Т.
Метод Боксера — Талера 1941 К(р)- айте-аЧ!, Ф Этот метод аппрокспмвыын передаточвой функция К(р) непрерынной дынаннчсской снстемы дискретной передаточной функция К,(г) по своей идее оттичается от описанных выше методов. * Переход ат К(р) н К,(г) ыо этому методу осущесталыегся нз следукнцнх ссюбрэженнй. * По методу г-преобразования, как показано выше, передаточная фупкцнп зквппплептяой импульсной системы пмсег внх К (г)=К,'(е-т) М'Я й(м)е-ав, а в тда й٠— двскрегные эначення ннпульсной переходной хврактеристымн 'й(Ф) непрерывной спстемы.
Посвтмпму тп, вычислив интеграл 73.63) по методу прямоугольников с шаго Лг, получим К (е т) зК( — ) К„(г) =К~ —,) 1пг т Функция К ( — — Л) — трансцендентная функция от г. Требуется же д!) получить дробно-рациональнук1 функцию от ж Для этого авторами метода предложено выразить операторы вида '1/ах, входящие в пе- редаточную функцшо К(д/Л/), через е-т, используя известное [25) разложение 1пее и ряд 1 ! 1пет =4=2 х+ — хз+ — хв-(- )* 3 5 (3.65) где 1 — е-т 1 — г х =- 1+ е-г 1+а Согласно (3.65) 1 / 1 1 — = 1/2~х + — хз+ — хз+ ...) 3 5 (3.66) Выполнен деленце и (3.66), получим 1 1/! 1 4 44 — = — — — — х — — х' — — х" — ...) (3.67) Ч 2 ! х 3 45 945 Ввиду быстрой сходимости ряда (3.67) можно пренебречь членами с положительными степенями х, тогда 1 1 1 11+г — — — — — =/7 (г).
д 2 х 2 1 — г 4)риближенные выражения //х(г) для 4/йь получаются путем возведения ряда (3.67) в А-ю степень и отбрасьшання в результн. рующем ряде членов с по.чожительными отенскими г. Этн выражения,для г=1,5 приведены в табл. 32. Заметим, что аппроксимация в данном методе производится, по существу, в частотной области, а не во временной. как это было в описанных выше методах дискретной аппроксимации. Итак, для полученяч дискретной передаточной функции по методу Боксера — Талера нужно заменить в яерелаточиой функции К(р), представленной в виде (3.60), сшераторы интегрирования 1/р" операторами Боксера — Талера из табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
