Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1014573), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Метод Цыпкина — Гольденберга несколько уступает нм по точности. Паименьшей точностью при аппроксимации интегрирующих звеньев порядка выше 1-го обладает метод Тастина, так как он соответствует повторному применению формулы трапеций. Для увеличения точности дискретной аппроксимации непрерывных передаточных функций в принципе возможно применение интерполирующих функций более высокого порядка, чем линейяая и квадратичная (49, 63].
Однако при этом заметно усложняются алгоритмы. Поэтому приемы дальнейшего уве- 2Р) личепия точности дискретной аппроксимации часто не":, оправдывают себя. Практически бывает выгоднее не- ", сколько уменьшить шаг дискретизации, чем применять алгоритмы, основанные на высших пнтерполяцнонных формулах. Заметим, что приведенная здесь сравнительная характеристика методов дискретной аппроксимации основана на качественной оценке их точности. Задача количественной оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации является довольно сложной.
Методы решения этой задачи излагаются в ч 3.7. 3.4. Моделирование узкополосных линейных систем Рассмотренные выше алгоритмы позволяют находить мгновенные значении сигнала на выходе линейной динамической системы по известным мгновенным значениям сигнала иа входе н удобны для применения при цифровом моделировании видеотрактов радиоустройств, следящих систем и т. д. В радиотехнической практике широко распространены узкополосные высокочастотные линейные системы типа резонансных усилителей н фильтров промежуточной частоты. Узкополосные (избирательные) линейные системы можно определить как системы, у которых импульсная переходная характеристика представляет собой колебание с некоторой средней частотой ьи, равной средней (резонансной) частоте системы, и с медленно меняющимися по сравнению с сов е4 огибающей Н(4) и фазой ~ра(И) ЬД=Н(г)сгв[о4+ рь(Я =)тай(2)е~~', (3.8)) и„и1 где Н(г)=Н(()е " — комплексная огнбакхцая импульсной переходной характеристики.
При исследовании процессов в избнгательных системах, как правило, рассмат~жваются случаи, когда входной сигнал и(() (а следовательно, и выходной сигнал о(1)) также представляют собой колебания с медленно меняющимися ком'о плекснымн огибающими $У (г) =(/~ (г) е " и У' (г) = ии( =У'(1)е ' и с некоторой сгедней (несущей) частотой е„ ие и! мало отличающейся от резонансной частоты е„т. е. 202 и'я=цеу'яе""' ЮеЮяе " е е~"л; а в (г) — яе '(/е ((» е3~ ~ ое ~/ ф е где О = м, — м, — расстройка несущей частоты входного снгнала относнтелыю резонансной частоты системы, причем (.) < чь; 0 ((), т~ (() У ® сро(() законы амплитудной н фазовой модуляции входного и выходного сигналов, В дальнейшем расстройку частоты сигнала будем учитывать как дополнительное линейно изменяющееся слагаемое закона фазовой модуляции. Комплексный закан модуляции сигнала будем записывать в виде ИЯ=СЯе ', У(г)= — т'(Ф)е ", (3.82) где р (0=т„(О+Ж р (()= — т„(()+Ж.
Прн исследовании избирательных спстем обычно интересуются на мгновенными значениями сигнала на выходе системы, а мгновеннымн значениями его медленно меняющихся параметров — огибающей Ь'(Г) н фазы ~,(8), т. е. мгновенными значениями его комплексной огидаюп(ей т'Щ. В связи с этим задачу цифрового моделирования избирательных линейных систем целесообразно ставить как задачу нахождения алгоритмов, позволяющих вычислять на ЦВМ дискретные значения т(а)= =Ч(пМ) комплексной огибающей сигнала на выходе системы по известным дискретным значениям Щн]= =()(пбт) входного сигнала и заданным характеристикам системы.
Для вычисления дискретной комплексной огибающей выходного сигнала в принципе можно использовать описанные выше алгоритмы, с помощью которых можно найти последовательность мгновенных значений выходного сигнала, а затем, воспроизводя на ЦВМ операции амплитудного н фазового детектирования, можно найти дискретную огибающую г(п) и дискретную фазу Ч,(п) выходного сигнала.
Однако такай путь связан с болыпим объемом вычислений. Во-первых, для обеспечения требуемой точности при дискретном представлении быстро осциллирующих функций нужно выбирать очень малый шаг 203 дискретизации, который часто во много раз меньше времени наблюдения процессов в моделируемой системс, что приводит к необходимости формирования очень большого числа дискретных значений процессов. Так, например, для воспроизведения на ЦВМ одной реализации узкополосного сигнала длительностью 10 мксек.
имеющего среднюю частоту )о=30 Мга, прн шаге дискретизации йх=1/2)е т. е. при двух выборках на период средней частоты, требуется вычислить 600 дискретных значений сигнала. Во-вторых, моделирование операций детектирования требует дополнительных вычислений. Ясно, что такой прием моделирования обладает явной избыточностью, т. е. значительная часть операций является излишней. Весьма эффективным способом сокращения объема вычислений при цифровом 'моделировании избирательных радиосистем является применение негода огибаю- а(их, позволяющего свести преобразование узкополосных процессов при их прохождении через избирательные линейные системы к преобразованию медленно меняющихся комплексных амплитуд.
1. Метод огибающих. Комплексные линейные фильтры Приведем некоторые, необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к методу огибающих. Согласно методу огибающих ~ЗЦ комплексная амплитуда У(1) сигнала на выходе узкополосной линейной системы выражается через комплексную амплитуду 11(1) входного сигнала следующим интегральным соотношением: СО где Н٠— комплексная огибающая импульсной переходной характеристики системы. Выражение (3.83) является комплексным аналогом интеграла свертки (3.3) (ннтеграла Дюамеля).
Простой вывод формулы (3.83) имеется в работе (88). В частном случае, когда входной сигнал точно настроен на среднюю частоту системы и имеет лишь амплн- 204 тудную модуляцию $рв(1) — 0), а импульсная переходная характеристика системы не имеет фазовой модуляция (<рь(Х) — О), огибающие в выражении (3.83) будут вещественнымн: Р(()= —,,' ~Н(.)(~(1 —.)д.. В этом случае формула свертки для амплитуд отличается от формулы свертки для мгновенных значений лишь множителем /2. Следует отметить, что равенство (3.83) является прнближепным.
Однако погрешностью метода огибающих можно пренебречь, если функции $)(() н 'т"Я медленно меняются по сравнению с созыв<. Это условие выполняется, если ширина спектра колебання и((), ширина полосы пропускания линейной системы, на которую оно воздействует, н расстройка частоты входного сигнала по отношению к средней частоте системы малы по сравненню с частотой ыа. Абсолютные значения полосы н расстройки роли не играют. Если функции НЯ и Н<'() имеют рассмотренные в 5 3.2 односторонние илн двусторонние ограничения по времени, то пределы в пнтсграле (3.83) будут иметь такой же внд, как н в интегралах (3.4) — (3.8).
В частности, если 0<т)ям 0 прн 1(0 н узкополосная система фнзнчсскн осуществима (Н(() =О прн 4<0), то е 'Р <() = + ~ Н < ) (Р<г; — ) Ь. (3.84) . о .Если же нмпульсная переходная характеристика снстемы имеет конечную длительность (нлн допускает аппроксимацию функцией, ограниченной во времена), то г Р()= —,' ~Н()()(( — М. (3.85) о где Т вЂ” длительность импульсной переходной характернстикн. Существенным достоинством формулы комплексной свертки (3.83) является то, что она позволяет при линейных преобразованиях высокочастотных процессов в05 оперировать лишь с их медленно меняющимися закона-'З ми модуляции практически без потери точности н инфор- ' мации, заключенной в высокочастотных колебаниях.
Прн этом несущая частота, не содержащая информации, исключается из рассмотрения. В этом и состоят сокра- щение избыточности при использовании метода огибаю- щих. Комплекс ную свертку (3.83) можно рассматривать как описание поведения так называемого линейного ком- плексного фильтра (34, 43), преобразующего комплексный сигнал ()(г) в комплексныйсигнал ЧЩ,при этом Н~(() = = — Н(г) — импульсная переходная характеристика ком- плексного фильтра.
В операторной форме процесс ком- плексной фильтрации можно записать в виде У(р.) = К(р) Щр), где Н(р) и У(р) — изображения по Лапласу входного и выходного комплексных сигналов соответственно; К(р) — передаточная функция комплексного фильтра (изображение по Лапласу функции Не(г)).
Комплексный сигнал ЮЩ имеет вполне определен- ный физический смысл, если его рассматривать как пару вещественных сигналов: $А(г) =Ке ()(г), НзЩ =)т Н((), представляющих собой вещественную и мнимую части комплексного сигнала (квадратурные компоненты сигнала). Представляя выходной комплексный сигнал УЩ н импульсную переходную характеристику Не(4) комплексного фильтра в виде квадратуриых компонент, запишем формулу (3.83) в виде УЕ=У. (()+(У.т= ~(о,(.)+)и.(.)Ии,(( — )+ +К.
(( — )) ~' Отсюда Со ФФ У, (г) = ) Н, (е) О, (г — ч) Фс — $ О, (ч] У, (Š— ч) Фс, узкополосной фильтрации по методу огибающих пр почтительнее, чем матричная форма записи, тая каи пер-':; вая полностью совпадает с обычной формой записи од-:... номерной вещественной фильтрации. Использованпе ее Рмо 3.4. позволяет обобщить данные выше методы цифрового моделирования линейных динамических систем на слу- чай моделирования узкополосных линейных систем, опи- сываемых по методу огибающих. 2. Цифровые модели узкополосных линейных систем, основанные на дискретной комплексной свертке Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда импульсная переходнаи хараитеристика системы имеет одностороннее нли двустороннее ограничение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
